最優(yōu)控制極大值原理

第三章極小值原理及應(yīng)用經(jīng)典變分法缺陷：1、應(yīng)用前提：a、控制量u(t)的取值不受任何限制，沒有任何不等式約束。b、f、L、等函數(shù)對其自變量有充分可微性。2、實(shí)際控制要求：a、控制量u受不等式約束，如：，i=1,2,3……b、性能指標(biāo)有時并不完全可微1編輯ppt如：燃料最優(yōu)控制：若采用經(jīng)典變分：2編輯ppt若采用經(jīng)典變分法：不再適用，求不出解來實(shí)際應(yīng)為極小值原理若在容許控制范圍內(nèi)，J或H有極值且唯一，用極小值原理與經(jīng)典變分法，所得結(jié)論一致。3編輯ppt一、<定理>極小值原理：[時變系統(tǒng)]時變受控系統(tǒng)，其中控制向量，為容許控制域，U(t)是在內(nèi)取值的任何分段連續(xù)函數(shù)，為使?fàn)顟B(tài)向量由初始轉(zhuǎn)移到末端，滿足約束：，未定，并使性能指標(biāo)達(dá)到極小值。設(shè)和是如上J為最小的最優(yōu)解，為最優(yōu)狀態(tài)軌為0的n維向量，滿足:1、規(guī)范方程：2、邊界條件：線，則必存在不4編輯ppt3、與對應(yīng)的哈密頓函數(shù)H取極小值。即:設(shè)為滿足狀態(tài)方程和協(xié)狀態(tài)方程的最優(yōu)解。在中。把H僅看作U的函數(shù)，若J為最小，必要條使得僅看作U的函數(shù)時也取最小值。極小值原理的證明：應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較多，有些書中用很大篇幅進(jìn)行二、極小值原理的意義：1、容許控制條件放寬變分法：在整個控制域，對U沒有約束有時計算不易。極小值原理：H在U的約束閉集中取極小值。變分法僅為極小值原理的一個特例。件為證明，省略。且即使U不受限制，5編輯ppt2、最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù)H取極小值，極小值原理由此得名。這一原理是蘇聯(lián)學(xué)者“龐特里亞金”等人首先提出，而后加以證明得。在證明過程中：與H得符號與這里所定義的相反?！嗨杂械奈墨I(xiàn)中也稱為“極大值原理”。3、H對u沒有可微要求，因此應(yīng)用拓寬。4、極小值原來是求取最優(yōu)控制的必要條件，非充分條件。即：滿足極小值原理不一定J取極小值,需進(jìn)一步判斷。一般:對于實(shí)際系統(tǒng)有最優(yōu)解有唯一解最優(yōu)解6編輯ppt三、幾種邊界條件得討論：上面所討論的是和已知。受約束，自由的最一般情況。若和末端狀態(tài)不同，只需改變極小值原理的邊界條件即可。1）已知，邊界條件為：2)給定，自由，未給定，邊界條件：確定3)已知，給定,末端受約束邊界條件為:若自由:外加:7編輯ppt四、例題分析:設(shè)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程：

x(0)=5

控制約束:

試求使性能指標(biāo):為極小值的最優(yōu)控制及最優(yōu)性能指標(biāo)解:定常系統(tǒng),固定,末端自由問題根據(jù)極小值原理,使H絕對極小相當(dāng)于使J為極小所以由協(xié)狀態(tài)方程:8編輯ppt由橫截條件:顯然:當(dāng)時，產(chǎn)生切換所以9編輯ppt由x(0)=5代入,得所以令t=0.307可得0.307≤t≤1時x(t)的初始條件:解得所以將代入J可得:10編輯ppt例2:求

a)對U沒有約束

b)|u|解:a)011編輯ppt解得:b)|u|由極小值原理:當(dāng)t=1時在[0,1]區(qū)間所以12編輯ppt五、極小值原理中哈密頓函數(shù)H的性質(zhì)討論用途：對于所求解的最優(yōu)控制的驗(yàn)證，或幫助求解最優(yōu)控制及1、線性定常系統(tǒng)：固定，包括(與末端狀態(tài)無關(guān))則:常數(shù)。

{H中不顯函t}自由，沿最優(yōu)控制軌線：（與末端狀態(tài)無關(guān)）因?yàn)橹胁伙@函t所以常數(shù)又因?yàn)樽杂?13編輯ppt2、對于時變系統(tǒng)：固定:

自由:，末端若末端自由:證明：見胡壽松P91頁14編輯ppt第四節(jié)最小值原理在實(shí)際中的應(yīng)用幾個典型例子：1.時間最優(yōu)控制問題2.最小燃料消耗問題3.最小能量控制問題4.線性調(diào)節(jié)問題介紹重點(diǎn)：時間最優(yōu)控制問題（其他求解思想與此類似）15編輯ppt一、時間最優(yōu)控制問題

所謂時間最優(yōu)控制，就是把系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)狀態(tài)的時間作為性能指標(biāo)，即使轉(zhuǎn)移時間為最短。這也是發(fā)展得最早的最優(yōu)控制問題之一。16編輯ppt1、問題提出（時變系統(tǒng)）

已知受控系統(tǒng)并設(shè)f

和B對X(t)和t連續(xù)可微。

X：n×1狀態(tài)向量

u：r×1控制向量

f：n×1函數(shù)向量

B：n×r函數(shù)值矩陣控制向量約束條件:末端狀態(tài)：g：p×1維函數(shù)向量目標(biāo)函數(shù)：:自由問題：尋求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)由初態(tài)到終態(tài)，目標(biāo)函數(shù)J為最小17編輯ppt應(yīng)用最小值原理進(jìn)行問題的求解步驟：⑴列寫哈密頓函數(shù)⑵由控制方程求u*(t)∵u有約束，∴H在u*上取得極小值，即：令q:r×1維向量函數(shù)

[注：]18編輯ppt則有：

j

=1，2…r最優(yōu)控制u*(t)是使為極小，則：

不定可見：當(dāng)時，有確定值，正常情況當(dāng)時，不定，奇異情況＋１－１t+1-1u*(t)奇異19編輯ppt我們僅研究正常情況u*(t)寫成符號函數(shù)sgn{

}形式則j

=1，2…r向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}

=-sgn{}⑶根據(jù)規(guī)范方程：及初始條件和橫截條件：可求得x*(t)及20編輯ppt⑷求最優(yōu)控制u*(t)

→砰一砰控制2、砰一砰控制定理：要求控制量始終為最大或最小設(shè)u*(t)是上述問題提出的解，x*(t),是相應(yīng)的狀態(tài)軌線和協(xié)狀態(tài)軌線。若問題正常(非奇異)，則

這是一個繼電器控制方式，稱為砰一砰控制21編輯ppt3、線性定常系統(tǒng)的最小時間控制問題的解法：⑴如何確定最優(yōu)控制u*(t)設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

其中，X：n×1維狀態(tài)向量u：控制變量

A，B分別為n×n，n×1矩陣約束條件：末端條件：求，使系統(tǒng)狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到所用時間最短，即使為最小22編輯ppt⑵問題的求解①首先列寫哈密頓函數(shù)：②根據(jù)極小值原理分析可得：③有規(guī)范方程：注：為標(biāo)量函數(shù)，題意要求23編輯ppt代入得：可見，的值完全由的符號決定但是，的確定是不容易的。因?yàn)樗€和系統(tǒng)的狀態(tài)變量有關(guān)系。通常采用的方法是：先設(shè)一個，求出，求出，判定若為０，則即為所求；否則修正重復(fù)上述過程24編輯ppt⑶開關(guān)次數(shù)定理：設(shè)線性系統(tǒng)是正常的（不存在非奇異問題），若矩陣A的特征值均為實(shí)數(shù)，假定時間最優(yōu)控制存在，并令其為則u*(t)的切換次數(shù)最多不超過（n-1）次，n為系統(tǒng)的維數(shù)。以下將根據(jù)極小值定理，開關(guān)次數(shù)定理及相平于狀態(tài)空間分析，求u*例題分析1：時間最優(yōu)控制問題求u*(t)25編輯ppt解：對象為二階線性系統(tǒng)[雙積分模型的時間最優(yōu)控制]（應(yīng)用最普通最廣泛的一種）由規(guī)范方程：則26編輯ppt由C1，C2的取值要求：保證由開關(guān)次數(shù)定理知：切換一次，設(shè)切換時間為ts，則令為了求出ts，必須首先找出狀態(tài)在平面上的轉(zhuǎn)移軌線。tstf27編輯ppt由設(shè)u=1，則則：如圖(a)所示，為一組拋物線，當(dāng)K=0時經(jīng)過原點(diǎn)[pos]其中tsp0X228編輯ppt若u=-1，則為一組拋物線，如圖(b)，當(dāng)K1=0時過原點(diǎn)[NOT]X1X2u=-1NTo29編輯ppt顯然：若初始狀態(tài)在NO或在PO上，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)移到目標(biāo)原點(diǎn)，稱NOP為開關(guān)曲線由題意假設(shè)它落在u=-1相應(yīng)拋物線組中的一條上，即AQB，這時在u=-1的作用下，狀態(tài)由沿AQB轉(zhuǎn)移到B，進(jìn)行切換，B位于PO上，一步可到達(dá)原點(diǎn)。NX2opX1Bu=+1u=-1A[1,1]30編輯ppt因此，問題的解為:①先以u=-1控制到達(dá)Po曲線上的B點(diǎn)②以u=+1沿開關(guān)曲線Po到達(dá)原點(diǎn)從初始狀態(tài)到達(dá)末端狀態(tài)的軌跡為AQBO，即u*=

進(jìn)而，可求出轉(zhuǎn)移時間ts及最優(yōu)時間把狀態(tài)軌線控制序列分成若干段，逐步算出所需時間，最后相加。求及ts在AQB段,u=-1,切換次數(shù)為1-1,+1到達(dá)B點(diǎn)：t=ts,31編輯pptBO段：u=+1，當(dāng)時，，則在B點(diǎn)應(yīng)有：聯(lián)立求解：即：32編輯ppt例題分析2：二階積分系統(tǒng)的最小時間控制系統(tǒng)最小時間控制問題：求u*(t),使系統(tǒng)由初態(tài)轉(zhuǎn)移到末端狀態(tài)的時間為最小，且滿足解：⑴列寫哈密頓函數(shù)：⑵求解協(xié)狀態(tài)方程設(shè)，則：33編輯ppt⑶確定控制序列：顯然，由⑵知，為一條直線，其形式有可能為4種因此，u相應(yīng)的控制序列為：{-1}，{+1，-1}，{-1，+1}{+1}-1-1uuuu+134編輯ppt⑷狀態(tài)軌線：由⑶知，u有4種可能的取值，其值為±1，代入狀態(tài)方程：注：35編輯ppt利用上式，消去中間變量t，可導(dǎo)出x1和x2的關(guān)系為：其在X1，X2平面上為一組拋物線如圖：u=+1為實(shí)u=-1為虛X1X2BAu=+1u=-136編輯ppt⑸確定開關(guān)曲線：使系統(tǒng)狀態(tài)直接回到末端狀態(tài)的曲線AO和BO總的開關(guān)曲線：AOB顯然：AOB將狀態(tài)平面分為兩部分和顯然：X1X2BAOu=-137編輯ppt⑹確定最優(yōu)控制作用u*

u*與初始狀態(tài)有關(guān)分析：①若位于BO上，則u*=+1；②若位于AO上，則u*=-1；③若位于內(nèi)，則u*=[-1，+1]；④若位于內(nèi)，則u*=[+1，-1]；③④在開關(guān)曲線上為轉(zhuǎn)折點(diǎn)38編輯ppt例3：升降機(jī)的快速降落問題：設(shè)有一升降機(jī)W，它的質(zhì)量為1，升降機(jī)一方面受重力g的作用，另一方面受控制器的作用力u(t)的作用，且（M＞g是常數(shù)）設(shè)x(t)為升降機(jī)離開地面的距離，當(dāng)t=時，[離地面距離]

[垂直運(yùn)動速度]

問題：求u*（t）,使升降機(jī)最快的到達(dá)地面，并且到達(dá)地面時的速度為零。即：最小，自由WugX(t)39編輯ppt解：建立升降機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，F(xiàn)=ma即：令：即：哈密頓函數(shù)：顯然，為了使H為最小，則即：不確定40編輯ppt協(xié)狀態(tài)方程：即：常數(shù)相應(yīng)于的4種可能，u*的取值有4種可能{+M}，{-M}，{+M,-M}，{-M，+M}因此，下面只研究u=±M時升降機(jī)的狀態(tài)軌線設(shè)u=M，則狀態(tài)方程為：…①…②①/②：是一組拋物線，圖中實(shí)線箭頭表示狀態(tài)運(yùn)動的方向

在此族曲線中，只有到達(dá)原點(diǎn)，41編輯ppt設(shè)u=-M，同理可得：如圖虛線所示只有到達(dá)原點(diǎn)，開關(guān)曲線r將相平面分為兩部分，在r下半部的記為，包括在r上半部的記位，包括∵u*只取+M或-M，切換最多一次，因此可得到結(jié)論：〈ⅰ〉初始狀態(tài)在上，狀態(tài)沿回原點(diǎn)42編輯ppt〈ⅱ〉當(dāng)在曲線上時，狀態(tài)沿回原點(diǎn)〈?！诞?dāng)時，沿相應(yīng)的虛線拋物線運(yùn)動到時，沿回到原點(diǎn)。

馬上切換〈ⅳ〉當(dāng)時，，沿相應(yīng)的實(shí)拋物線運(yùn)動到時，

馬上切換總之：，沿回到原點(diǎn)。43編輯ppt對于實(shí)際問題升降機(jī)的分析：它在地面之上，∴，處于相平面的右半部分，且設(shè)a〉若，而時狀態(tài)沿實(shí)拋物線運(yùn)動與軸交于N，這意味著升降機(jī)到達(dá)地面時，速度不為0，不合要求。<b>當(dāng)即開始以最大推力向下最用，使升降機(jī)盡快下降。當(dāng)其狀態(tài)檢測到達(dá)時，馬上改變控制，使它以的最大推力向上作用，這樣升降機(jī)將以速度0到達(dá)地面。N44編輯ppt從上例可以看出：快速最優(yōu)控制有如下特點(diǎn)：<ⅰ>u*要么最大，要么最小。<ⅱ>u*的取值經(jīng)過有限的（n-1）次（可為最多次）數(shù)切換可到達(dá)平衡點(diǎn)。<ⅲ>u*的取值僅在開管曲線上切換。注意：時間最優(yōu)控制的應(yīng)用中，有些實(shí)際問題并不要求將相點(diǎn)控制到狀態(tài)空間原點(diǎn)，而是到某一集合，其分析方法與上類似（若二階系統(tǒng)為一般的二階系統(tǒng)，特征值為實(shí)數(shù)時，分析方法類似；為復(fù)數(shù)或純虛數(shù)時，開關(guān)次數(shù)定理不成立，問題較為復(fù)雜，如無阻尼振蕩二階系統(tǒng)。45編輯ppt二、燃料最優(yōu)控制問題節(jié)約能源，減少燃料消耗在國民經(jīng)濟(jì)各部門中都是一項(xiàng)重要的技術(shù)經(jīng)濟(jì)課題。在航空和宇航中使用的原料是由地面起飛時帶到空間去的。在空中攜帶的燃料是有限的，要保證長時間的飛行計劃，就希望空中的控制系統(tǒng)消耗的燃料最小，而燃料的消耗一般是和控制力u的大小成正比的。U有正有負(fù)。因襲燃料消耗的性能指標(biāo)：

也可以以升降機(jī)系統(tǒng)分析，只是相應(yīng)于時間最優(yōu)控制，要求到達(dá)地于所用時間最小，相應(yīng)于燃料最優(yōu)控制，要求達(dá)到目的地時所用燃料最小46編輯ppt1、數(shù)學(xué)描述[以二階級分模型的燃料最優(yōu)控制為例]系統(tǒng)：約束：要求：系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到（0，0）使最小，給定。解：應(yīng)用極小值原理47編輯ppt正常：僅在有限個點(diǎn)上奇異：至少在一段時間[t1，t2]間隔內(nèi)正常：u*可取+1，-1，0隨著t增大，u*在三個值上切換，是一種三位控制{開關(guān)控制}。奇異：不能用極小值，死區(qū)函數(shù)。為使Ｈ為最小，則使為最小分析：①若ｕ＝＋１，則若使Ｈ最小，則②若ｕ＝－１，則若使Ｈ最小，則③若48編輯ppt由：和相應(yīng)的最優(yōu)控制之間的關(guān)系：顯然，燃料最優(yōu)控制也是開關(guān)式控制，控制器應(yīng)為一個具有死區(qū)的繼電器。+1+1+1+1-1-1-1-1tbtatf49編輯ppt和的計標(biāo)當(dāng)時，相平面上一組拋物線［實(shí)線］當(dāng)時，相平面上一組拋物線［虛線］當(dāng)時，50編輯ppt以下兩個圖形畫出了不同初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線僅為＜１＞進(jìn)行分析：在ｔ＝ｔａ處應(yīng)滿足：

相對于Ｘ２而言，ａ點(diǎn)相對于Ｘ１而言，ａ點(diǎn)=1=0=-1[1,1]ab=-1=-1a=0=0=1=1bba-51編輯ppt在ｔ＝ｔｂ處應(yīng)滿足：解方程可得ｔａ，ｔｂ的值52編輯ppt習(xí)題１：設(shè)系統(tǒng)為求最短時間控制及最短時間提示：開關(guān)曲線：對于ＡＢ段，對于ＢＯ段，切換點(diǎn)為ＢA[10,0)=1=-1Bts53編輯ppt當(dāng)t=ts時BO段：u*=+1當(dāng)時，X1=X2=0，則：54編輯ppt在B點(diǎn)應(yīng)有：聯(lián)立求解：55編輯ppt習(xí)題2分析：設(shè)線性狀態(tài)方程為：邊界條件：容許控制為：求最短時間控制u*(t)及開關(guān)曲線（做出大致圖形）分析:根據(jù)最小值原理：則：切換周期為56編輯ppt當(dāng)u*=+1時，是一組同心圓，圓心為（0，1）同理，當(dāng)u*=-1時，可得：只有NO右半圓及MO坐半圓弧能夠到達(dá)原點(diǎn)，，u*的切換周期為，曲線如圖。是一組同心圓，圓心為（0，-1）57編輯ppt箭頭方向：以u=+1為例，當(dāng)X2>1時，∴X1↑，X2↓當(dāng)X2<1時，X1↓，X2↓所以箭頭如圖當(dāng)相點(diǎn)運(yùn)動到或上的任意一點(diǎn)時,均可在相應(yīng)的控制律u=+1或u=-1作用下，沿或最快地到達(dá)原點(diǎn)?，F(xiàn)在改查最優(yōu)軌線的倒數(shù)第二段。設(shè)u*(t)的最后一次切換發(fā)生在上的A點(diǎn)，則倒數(shù)第二段的控制必有：u=-1，其最優(yōu)軌線必為（0，-1）為圓心的圓弧。X058編輯ppt由于時間持續(xù)不超過，故改圓弧的長度最多等于半圓，到達(dá)A’點(diǎn)，發(fā)上第二段轉(zhuǎn)換進(jìn)而進(jìn)入倒數(shù)第三段。由于A點(diǎn)為上的任一點(diǎn)，因此A’點(diǎn)形成以（-3，0）為圓心，1為半徑的半圓。顯然：是u=-1到u=+1的開關(guān)曲線，而則為u=+1到u=-1的開關(guān)曲線。同理可?。?，一次類推，可得一系列圓弧，可謂開關(guān)曲線。59編輯ppt極小值原理的證明：、基礎(chǔ)證明：針對定常系統(tǒng)末端自由，得出的極小值原理的結(jié)論，<定理>二、對于時變系統(tǒng)及引入新狀態(tài)變量的方法，將時變系統(tǒng)化為定常系統(tǒng)，利用定常系統(tǒng)極小值原理定理的結(jié)論進(jìn)行證明。等情況，可通過60編輯ppt極小值原理的應(yīng)用（時間最優(yōu)）已知無阻尼振蕩二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：其中試求最優(yōu)控制使系統(tǒng)由任意初態(tài)以最短時間轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)。解：由極小值原理，可求取最優(yōu)控制的必要條件為：

正則方程：例：61編輯ppt邊界條件:極小值條件:解協(xié)狀態(tài)方程為：

所以最優(yōu)控制特點(diǎn)：a、只在某些孤立時刻為0，不存在奇異段，故為砰-砰控制。b、的切換次數(shù)與系統(tǒng)階數(shù)無關(guān)。c、除首尾兩端外，最優(yōu)控制每隔π時間切換一次。62編輯ppt63編輯ppt下面分析開關(guān)曲線：首先考慮相平等方程：若則：是一組(1,0)為圓心的同心圓。若則：是一組(-1,0)為圓心的同心圓。方向如圖：-1164編輯ppt顯然，只有c=1及兩條曲線可到達(dá)末端而考慮到最優(yōu)控制最優(yōu)一段的時間間隔≤π，則最優(yōu)軌線最后一段必位于下列兩條半圓形開關(guān)線上。當(dāng)相點(diǎn)運(yùn)動到上的任一點(diǎn)時，均可在相應(yīng)的控制律U=+1或U=-1作用下，沿很快地到達(dá)原點(diǎn)?，F(xiàn)在考查最優(yōu)軌線的倒數(shù)第二段。設(shè)的最優(yōu)一次切換發(fā)生在的A點(diǎn)，則倒數(shù)第二段的控制必為：軌跡為(-1,0)為圓心的圓弧?？紤]到第二段在時間上不大于π。故設(shè)圓弧最多等于半圓，到達(dá)發(fā)生倒數(shù)第二段轉(zhuǎn)換，進(jìn)入倒數(shù)第三段。最優(yōu)控制在某曲線上進(jìn)行切換的曲線稱為開關(guān)曲線。65編輯ppt由于A點(diǎn)可為上的任一點(diǎn)，所以點(diǎn)形成(-3,0)為圓心，1為半徑的半圓。顯然:到的開關(guān)曲線:到的開關(guān)曲線同理：對亢于可得：依上述過程類推可得一系列圓弧:66編輯ppt67編輯ppt開關(guān)曲線r將相平等分為兩部分所以起點(diǎn)

的最優(yōu)軌線這些圓弧的全體構(gòu)成了所求問題的開關(guān)曲線：68編輯ppt所以總的控制作用：共轉(zhuǎn)換四次。EO弧:

回到終點(diǎn)。DE?。?(+1,0)為圓心，

為半徑，交開關(guān)曲線于E。CD弧:,(+1,0)為圓心，

為半徑，交開關(guān)曲線于DBC?。?(-1,0)為圓心，,(-1,0)為圓心，

為半徑圓弧，交開關(guān)曲線于CAB?。簽榘霃降膱A弧交于開關(guān)曲線BEABCD69編輯ppt習(xí)題：已知線性定常系狀態(tài)方程：其中,求使系統(tǒng)由任意初態(tài)以最短時間轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集：習(xí)題：已知受控系統(tǒng)：，目標(biāo)集：求滿足約束條件的時間最優(yōu)控制函數(shù)，求開關(guān)曲線70編輯ppt注：在時間最優(yōu)控制中，我們知道：可知：之間的關(guān)系由前分析知：時，可由極值條件確定，正常情況；時，可為滿足約束條件的任意值，為不定狀態(tài)，異步情況。但是，奇異狀態(tài)并不表示時間最優(yōu)控制不存在，只表明用極小值原理不能確定最優(yōu)解，需采用奇異最優(yōu)控制方法，以下介紹：71編輯ppt<定義1>若在區(qū)間[]內(nèi)，存在時間的可數(shù)集合:即：使得對所有的均有：則稱時間最優(yōu)控制是正常的。<定義2>若在區(qū)間內(nèi)，存在一個（或多個）子區(qū)間，使得對所有，有

則稱時間最優(yōu)控制異步。奇異區(qū)間。72編輯ppt如何判定系統(tǒng)是正常的，還是奇異的。

設(shè)計時間最優(yōu)控制之前總希望知道問題是否有解？是否有唯一解？問題是正常的，還是奇異的。初次之外，我們還希望了解時間最優(yōu)控制的共同特點(diǎn)和性質(zhì)。這種一般規(guī)律的認(rèn)識和了解會有助于具體系統(tǒng)的設(shè)計計算。然而：對任意的非線性系統(tǒng)和任意的目標(biāo)集，沒有明確結(jié)論。對于線性定常系統(tǒng)，可以回答上述問題，（目標(biāo)集假設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)）至于線性時變系統(tǒng)及一般性目標(biāo)集問題，只有其中的部分結(jié)論適用。73編輯ppt<問題1>：已知線性時不變系統(tǒng)，時完全能控的求滿足下列不等式或約束的r維容許控制向量U(t),由已知初態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)的時間最短，根據(jù)極小值原理，使系統(tǒng)<問題>最優(yōu)控制的必要條件如下：或?yàn)锽的第j列向量74編輯ppt從上述必要條件出發(fā)，可得一些有用的結(jié)論：<定理1>當(dāng)且僅當(dāng)個矩陣中至少有一個奇異矩陣時<問題1>是奇異的。證明：由已知條件：由6式知，否則1＝0錯若問題正常，則對于給定的初協(xié)態(tài)，可唯一確定砰－砰控制怎樣知道是正常還是奇異呢？推證定理。假定<問題1>是奇異的，至少存在一段時間使某對所有

均成立：75編輯ppt由此：考慮到A與可前后交換順序，則有：令：則關(guān)于n維待定向量的代數(shù)方程組可寫成：所有由于為奇異矩陣，為使，則必為奇異矩陣，即：奇異控制問題的必要條件。可以證明其為充分條件<定理1>得證：由設(shè)定理可進(jìn)一步得出<問題>為正常得充分必要條件76編輯ppt<定理2>：當(dāng)且僅當(dāng)全部為非奇異矩陣，則時間最優(yōu)控制是正常得。<定理1>和<定理2>得推證過程都沒有設(shè)計到目標(biāo)集，因此，不論目標(biāo)集如何，只要受控系統(tǒng)是線性時不變得，因此兩個定理可用。將滿足<定理2>得系統(tǒng)叫做正常系統(tǒng)。正常受控系統(tǒng)，其時間最優(yōu)控制問題也是正常得，對于正常問題，由下列存在性與唯一性定理。<定理3>若受控系統(tǒng)是正常的，且時間最優(yōu)控制存在，則最優(yōu)控制必定唯一。證明：見“百年學(xué)書”p176頁。77編輯ppt另外，我們知道，一個完全能控的線性定常系統(tǒng)：必需滿足n:系統(tǒng)維數(shù)若把系統(tǒng)表征為：其中控制分量正常問題要求都是完全能控。即：說明：每一個控制分量均能單獨(dú)使受控系統(tǒng)由任意初態(tài)在有限時間內(nèi)轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)。據(jù)此，?？珊苋菀椎嘏袛鄦栴}的時間最優(yōu)控制是否屬于正常情況。顯然：一個輸入完全能控的線性不變系統(tǒng)，其時間最優(yōu)控制問題也一定是正常的。燃料最優(yōu)控制的一般情況，接<之二本>78編輯ppt<問題>已知線性定常系統(tǒng)：求最優(yōu)控制，使系統(tǒng)由任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集：且使性能指標(biāo)：為最小，T未知。分析：若記：為B的第j列向量，則H種與U(t)由關(guān)的部分R(u)為：79編輯ppt根據(jù)極小值原理，應(yīng)使H或R（u）取極小，則：求出：這就是燃料最優(yōu)控制。如何判定燃料最優(yōu)控制是正常還是奇異？<定理><問題>為正常得充分條件為,對所有j＝1，2，3，……r，均有其中<問題>為奇異得必要條件為：對于某個或某些有：證明從略80編輯ppt注意：在燃料最優(yōu)控制中，區(qū)分正常情況與時間最優(yōu)控制不同。首先：對時間最優(yōu):系統(tǒng)正常時，最優(yōu)控制問題一定是正常的。2.對燃料最優(yōu)：即使系統(tǒng)正常（)，如果系統(tǒng)矩陣A是奇異得（A有零特征值，即系統(tǒng)中含有積分環(huán)節(jié)），問題仍可能屬于奇異情況。只有當(dāng)系統(tǒng)是正常得，且A有事非奇異矩陣，才能保證燃料最優(yōu)控制有正常解。3、另外（1）式為系統(tǒng)正常得充分條件，次條件不滿足時，系統(tǒng)仍可能有正常解（有可能正?；蛴锌赡芷娈悾┮暢跏紶顟B(tài)而定。81編輯ppt1）試證明系統(tǒng)由初態(tài)：2）欲求系統(tǒng)由初態(tài)X(0)最快地轉(zhuǎn)移到終態(tài)習(xí)題：設(shè)二階系統(tǒng)

所消耗燃料為最小得最優(yōu)控制為：82編輯ppt2、二階空間控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：不等式控制約束，試求使系統(tǒng)由初態(tài)達(dá)到平衡狀態(tài)的最短時間最優(yōu)控制。關(guān)于“二次積分模型”的燃料最優(yōu)控制問題的進(jìn)一步討論：系統(tǒng)：求，使系統(tǒng)由任意初態(tài)（）轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，且使性能指標(biāo)：為最小值，T自由。83編輯ppt解：求解最優(yōu)解的必要條件：1）正則方程：則：2）邊界條件：3）極小值條件：4）H函數(shù)變化率：則：僅在有限個點(diǎn)上為1，則正常；在一段區(qū)間上為1，則奇異。84編輯ppt具體分析：解協(xié)狀態(tài)方程：常數(shù)，的不同，系統(tǒng)有可能為正?；蚱娈悺?lt;1>奇異情況：若，使系H的變化規(guī)律成立，必有：奇異。無法用極小值原理求解。<2>當(dāng)時，是時間的線性函數(shù)，這時至多有兩個點(diǎn)滿足正常情況最優(yōu)控制必為三位式控制，且至多有兩次切換，候選解為：{0},{+1},{-1},{+1,0,-1},{-1,0,+1},{+1,0},{-1,0}，{0,-1},{0,+1}由于結(jié)尾的三種控制序列不可能為最優(yōu)控制。85編輯ppt因?yàn)橛袪顟B(tài)方程知：是一組不通過原點(diǎn)的平行線或軸上的孤立點(diǎn)所以可能的最優(yōu)控制序列為：六種可能：{+1},{-1},{0,-1},{0,+1}{