第一章線性方程組的消元法和矩陣的初等變換

和矩陣的初等變換線性方程組矩陣的基本概念消元法矩陣初等變換第一章線性方程組的消元法引例（物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題）由各產(chǎn)地到各用戶的距離為（千米）該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶其用量分別為45和25，單位為噸；有三個(gè)生產(chǎn)同一產(chǎn)品的工廠其年產(chǎn)量分別為40、20和10，單位為噸；如下表所示假設(shè)每噸貨物每千米的運(yùn)費(fèi)為1（元），問(wèn)各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運(yùn)費(fèi)最少？

Cij

A1

A2

A3

B1

45

58

92

B2

58

72

36表A1A2A3B1B2工廠用戶解：3個(gè)廠的總產(chǎn)量與兩個(gè)用戶的總用量剛好相等，所以：1.對(duì)產(chǎn)地來(lái)講，產(chǎn)品全部調(diào)出，因而有2.對(duì)用戶來(lái)講，調(diào)配的產(chǎn)品剛好為其所需，因而有：3.考慮總運(yùn)費(fèi)S：（1）－（5）每個(gè)方程都是線性方程，幾個(gè)線性方程聯(lián)立在一起，稱之為線性方程組.因此方程（1）－（5）構(gòu)成6個(gè)未知數(shù)5個(gè)方程的線性方程組.不少實(shí)際問(wèn)題可以化為線性方程組的問(wèn)題.這樣的方程組所包含的未知數(shù)的個(gè)數(shù)不只是一個(gè)兩個(gè)，而是更多.因此，為了解決這類問(wèn)題需要討論含有個(gè)n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組.

形式如下：它是第個(gè)方程中第個(gè)未知量的系數(shù)；這里為已知數(shù)也是已知數(shù)稱為第個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)當(dāng)線性方程組（7）的常數(shù)項(xiàng)均為零時(shí)，則我們稱它為齊次線性方程組，否則，稱為非齊次線性方程組所謂方程組（7）的一個(gè)解就是指?jìng)€(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組方程組（7）的解的全體稱為它的解集合解方程組實(shí)際上是找出它的全部解;如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，它們就稱為是同解的.

當(dāng)分別用代入后，（7）中每個(gè)方程都成為恒等式.定義1由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為行列的矩陣,簡(jiǎn)稱矩陣為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)圓括?。ɑ蚍嚼ɑ。?，并用大寫(xiě)黑體字母表示它.A=當(dāng)時(shí)，稱為階矩陣或階方陣有時(shí)也寫(xiě)成或

數(shù)稱為矩陣的第行第列的元素．實(shí)矩陣：元素全是實(shí)數(shù)的矩陣復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)的矩陣本書(shū)中的矩陣如不特別說(shuō)明，都是指實(shí)矩陣.記作行矩陣（行向量）：只有一行的矩陣或列矩陣（列向量）：只有一列的矩陣轉(zhuǎn)置矩陣：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，記作：矩陣相等：如果是同型矩陣，那么就稱矩陣與矩陣相等，記作

零矩陣：元素都是零的矩陣，記作，同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)列數(shù)都相等并且它們對(duì)應(yīng)的元素相等，即或注意不同型的零矩陣是不相等的.系數(shù)矩陣：線性方程組（7）的未知量的系數(shù)所確定的矩陣增廣矩陣：而（7）所對(duì)應(yīng)的矩陣線性方程組（7）由其增廣矩陣

唯一確定.稱為增廣矩陣.例1

解線性方程組（消元法）解：第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程，就變成將上面的第二個(gè)方程與第三個(gè)方程互換，即得將第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程的4倍，得將第三個(gè)方程兩邊乘，得將第一個(gè)方程減去第三個(gè)方程的3倍，第二個(gè)方程加上第三個(gè)方程，得將第一個(gè)方程加上第二個(gè)方程,得將第一個(gè)方程兩邊乘得即：上面解方程的過(guò)程，從（8）到（9）叫消元過(guò)程，從（9）到（10）叫回代過(guò)程．從整個(gè)消元過(guò)程可以看到，它實(shí)際上是對(duì)方程組進(jìn)行了以下3種變換：（１）交換兩個(gè)方程的次序；（２）用一個(gè)非零的常數(shù)乘以某個(gè)方程（３）把一個(gè)方程的適當(dāng)倍數(shù)加到另一個(gè)方程.定義2

上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換.（對(duì)調(diào)第兩行，記作）；上述變換過(guò)程中，實(shí)際上只是對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算.因此，例如例1中，對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換成對(duì)其增廣矩陣的變換.定義3

下面的三種變換稱為矩陣的初等行變換（?。?duì)調(diào)矩陣的兩行（ⅱ）以非零常數(shù)乘矩陣某一行的各元素（第行乘，記作）；

（ⅲ）把某一行所有的元素的倍加到另一行 對(duì)應(yīng)的元素上去（第行的倍加到第行上，記作）把定義中的“行”變成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號(hào)是把“”換成“”）.初等變換就稱矩陣與矩陣等價(jià)，記作～.（?。┳苑葱浴?（ⅱ）對(duì)稱性若～，則～．（ⅲ）傳遞性若～，～，則～.定義4如果矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣矩陣之間的等價(jià)具有下列性質(zhì)：線性方程組的同解變換，也就是方程組增廣矩陣的初等行變換.對(duì)于例１,其一一對(duì)照過(guò)程如下由所對(duì)應(yīng)的即：標(biāo)準(zhǔn)形