第三節(jié) 矩陣的初等變換

引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程．第三節(jié)矩陣的初等變換(書第三章第一節(jié))第二章矩陣及其運(yùn)算解用“回代”的方法求出解：于是解得(2)小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換)（以替換)（以替換）3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)用矩陣的初等行變換解方程組（1）：回代過(guò)程：特點(diǎn)：（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．行階梯形矩陣:設(shè)若當(dāng)i>j時(shí),恒有:且各行中第一個(gè)非零元素前面零元素的個(gè)數(shù)隨行數(shù)增大而增多.注意:元素全為零的行只會(huì)在最下面.例如：注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．例如，特點(diǎn)：所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣.三、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等變換釋疑解難1.一個(gè)矩陣的行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有何異同?答它們的共同點(diǎn)是:

1)階梯數(shù)相等,且等于矩陣的秩;2)每個(gè)階梯上只有一行,階梯的每條豎線后的第一個(gè)元素不等于零;3)階梯線以下的所有元素都是零.它們的不同點(diǎn)是:行最簡(jiǎn)形矩陣要求每個(gè)階梯上的第一個(gè)非零元為1,且第一個(gè)非零元1所在的列上的所有元素全都為零;標(biāo)準(zhǔn)形要求所有的非零元都為1.如.

行階梯形矩陣其特點(diǎn)是：階梯線以下的元素全是０，臺(tái)階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個(gè)元素為非零元.

行最簡(jiǎn)形矩陣其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為１，且這些非零元1所在的列的其它元素都為０.

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣其特點(diǎn)是：左上角為一單位矩陣,其它位置上的元素全都為0.2.一個(gè)矩陣的行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣唯一嗎？舉例說(shuō)明.答矩陣的行階梯形矩陣不唯一,而其行最簡(jiǎn)形矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣