第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法

第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法主要內(nèi)容閉環(huán)極點(diǎn)與根軌跡的概念根軌跡的繪制規(guī)則應(yīng)用根軌跡圖定性分析系統(tǒng)性能指標(biāo)重點(diǎn)掌握根軌跡的繪制方法

MatlabFunction:rlocus;rlocfind;sgrid第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.1根軌跡的概念一.根軌跡法是1948年伊凡思（Evans）提出的，該法是在已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳函的極、零點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，研究某一個(gè)或某些系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)控制系統(tǒng)閉環(huán)傳函極點(diǎn)分布影響的一種圖解法。二.根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)（比如開環(huán)增益k）由零到無窮大變化時(shí)，閉環(huán)特征根在[s]平面上移動(dòng)的軌跡。舉例：開環(huán)傳函：K為開環(huán)增益（因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型）有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)無開環(huán)零點(diǎn)第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法

閉環(huán)傳函：

則閉環(huán)特征方程為：

閉環(huán)特征根（即閉環(huán)傳函的極點(diǎn)）：第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.1根軌跡的概念考慮某一參數(shù)變化后，閉環(huán)極點(diǎn)的變化規(guī)律。通過極點(diǎn)的軌跡了解系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的變化。利用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布來研究閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)的分布。G(s)H(s)+-閉環(huán)傳遞函數(shù)分母方程即特征方程根軌跡方程第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.1根軌跡的概念3繪制根軌跡的條件：由得幅值條件相角條件為m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)為n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)k——根軌跡增益第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.1根軌跡的概念模條件與角條件的作用：1、角條件與k無關(guān)，即s平面上所有滿足角條件的點(diǎn)都屬于根軌跡。（所以繪制根軌跡只要依據(jù)角條件就足夠了）。2、模條件主要用來確定根軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益k值。0幾何意義：從各開環(huán)極點(diǎn)引向根軌跡上的點(diǎn)s的矢量的長(zhǎng)度的乘積除以從各開環(huán)零點(diǎn)引向根軌跡上的點(diǎn)s的矢量的長(zhǎng)度的乘積所得的商即為該s點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系數(shù)k值.

第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.1根軌跡的概念例：開環(huán)極點(diǎn)為：無開環(huán)零點(diǎn)jω

σ0-0.5×

×

-p1-p2第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.1根軌跡的概念試探法(1)在實(shí)軸上取S1=-0.1S1jω

σ0-0.5×

×

-p1-p2S1對(duì)應(yīng)的

同理，實(shí)軸上之間的點(diǎn)都是根軌跡上的點(diǎn)。

第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.1根軌跡的概念(2)在復(fù)平面上取S2=-0.25+j0.25S1對(duì)應(yīng)的

同理，實(shí)軸垂直平分線上的所有點(diǎn)都是根軌跡上的點(diǎn)。

S2jω

σ0-0.5×

×

-p1-p2?

-0.25第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.2根軌跡的繪制規(guī)則規(guī)則一：根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則二：根軌跡的分支數(shù)，起點(diǎn)，終點(diǎn)。（1）分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n：（因?yàn)閚階方程應(yīng)有n個(gè)根，當(dāng)時(shí)，n個(gè)根都隨k變）（2）根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)（n個(gè)）（3）根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)（m個(gè)）和（n-m）個(gè)無窮遠(yuǎn)處。因?yàn)橛筛壽E方程：起點(diǎn)，即k=0。只有當(dāng)時(shí)，為無窮大。終點(diǎn)，即,只有當(dāng)或?yàn)?。第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.2根軌跡的繪制規(guī)則規(guī)則三：實(shí)軸上的根軌跡分析：（1）共軛復(fù)零點(diǎn)或極點(diǎn)所產(chǎn)生的相角等值反號(hào)。所以不影響相角條件；（2）s點(diǎn)左側(cè)零、極點(diǎn)相角都為0，所以也不影響相角條件。（3）s點(diǎn)右側(cè)零、極點(diǎn)相角為而相角條件即奇數(shù)個(gè)所以結(jié)論：實(shí)軸上線段右側(cè)的零、極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)時(shí)，此區(qū)段為根軌跡。第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法jωσ

×

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例第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.2根軌跡的繪制規(guī)則規(guī)則四：根軌跡的漸近線：（1）條數(shù)：（n-m）條（2）與實(shí)軸所成角度當(dāng)時(shí)，認(rèn)為所有開環(huán)零極點(diǎn)引向s的角相同（3）與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)：即[極點(diǎn)坐標(biāo)之和]-[零點(diǎn)坐標(biāo)之和]

極點(diǎn)數(shù)–零點(diǎn)數(shù)第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法規(guī)則五

兩條或兩條以上的根軌跡分支在S平面上某點(diǎn)相遇后立即分開，則稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)d可由以下方程求得：證明：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：根軌跡在S平面上某點(diǎn)相遇，則意味著上式有重根第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法代數(shù)方程有重根的條件：D(s)=0,dD(s)/ds=0化簡(jiǎn)：第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法因?yàn)椋鹤詈蟮茫旱谒恼驴刂葡到y(tǒng)根軌跡分析法根軌跡的分離點(diǎn)：分離點(diǎn)在兩極點(diǎn)之間，會(huì)合點(diǎn)在兩零點(diǎn)之間。分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))是閉環(huán)特征方程的重根。閉環(huán)特征方程：另一種求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的方法消去k得第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法例：求閉環(huán)根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)。法一：法二：-1d1.5第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法規(guī)則六

根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)的切線方向與正實(shí)軸間的夾角稱為出射角；進(jìn)入復(fù)數(shù)零點(diǎn)的切線方向與正實(shí)軸間的夾角稱為入射角。

它們的計(jì)算公式為：出射角

=1800+[各零點(diǎn)指向本極點(diǎn)的方向角]-[其他極點(diǎn)指向本極點(diǎn)的方向角]入射角=1800-[其他零點(diǎn)指向本零點(diǎn)的方向角]+[各極點(diǎn)指向本零點(diǎn)的方向角]第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法規(guī)則七

若根軌跡與虛軸相交，其交點(diǎn)處的值和對(duì)應(yīng)的k可由勞斯判據(jù)求得，或?qū)=j代入特征方程，并令其實(shí)部和虛部分別相等求得。根軌跡與虛軸相交，說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，可令勞斯陣列第一列中包含k的項(xiàng)為零，求出k。如果根軌跡與正虛軸有一個(gè)交點(diǎn)，說明特征方程有一對(duì)純虛根，可利用勞斯陣列中s2項(xiàng)的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，解此方程可求得交點(diǎn)處的值。若交點(diǎn)多于一個(gè)，可用大于2的偶次冪所在行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)或第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：由s=j

代入閉環(huán)特征方程可得，D(j

)=0，由方程可得交點(diǎn)的值。例根軌跡的分離點(diǎn)：舍去第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.2根軌跡的繪制與虛軸交點(diǎn)：代入實(shí)部，k’=48實(shí)部虛部臨界放大倍數(shù)Routh表：S318S26k’S10S0

k’0K’=48時(shí)，S1行全為0輔助方程：6S2＋48＝0第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.3根軌跡繪制舉例例4.3-1已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制系統(tǒng)的根軌跡。第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法系統(tǒng)的特征方程為5階，故根軌跡有5支。起始點(diǎn)：p1=0;p2=-5;p3=-6;p4=-1+j;p5=-1-j;終止點(diǎn)：z1=0;(有限零點(diǎn)）有4個(gè)無窮遠(yuǎn)終止點(diǎn)有四條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處，故有四條漸近線：夾角：交點(diǎn)：第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法實(shí)軸上的根軌跡位于0~-3及-5~-6之間根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)-1+j的起始角為根軌跡的分離點(diǎn)或：a=[113.56614212345];roots(a)ans=-5.5257-3.3311+1.2040i-3.3311-1.2040i-0.6560+0.4677i-0.6560-0.4677ir:用MATLAB求根：d=-5.53第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法6.根軌跡與虛軸交點(diǎn)可利用勞斯判據(jù)確定。第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法解得：k=35.6由：k=35.6時(shí)的值由以下輔助方程確定：代入k=35.6：rlocus([13],[1135482600])用：第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.3根軌跡繪制舉例例4.3-2已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制系統(tǒng)的以T為參變量的根軌跡。解法：A與K等價(jià)第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法1.系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：2.求等效開環(huán)傳遞函數(shù)：3.起始點(diǎn)：p12=-1j;終止點(diǎn)：z1=0,z2=0,z3=-24.實(shí)軸上的根軌跡位于：-~-25.從復(fù)數(shù)極點(diǎn)起始的相角為：進(jìn)入原點(diǎn)的終止相角為：第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.3根軌跡繪制舉例例4.3-3已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。背景：復(fù)雜系統(tǒng)中可能局部回路是正反饋?zhàn)酉到y(tǒng)。特征方程變?yōu)椋夯虻谒恼驴刂葡到y(tǒng)根軌跡分析法幅角條件：幅值條件：開環(huán)傳函：第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法修正規(guī)則三

實(shí)軸上若某線段右側(cè)的開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則此線段為根軌跡的一部分修正規(guī)則六

根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)的切線方向與正實(shí)軸間的夾角稱為起始角，進(jìn)入復(fù)數(shù)零點(diǎn)的切線方向與正實(shí)軸間的夾角稱為終止角，計(jì)算公式：第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法修正規(guī)則四

當(dāng)有限開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于有限開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，有n–m條根軌跡沿n–m條漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，這n–m條漸近線在實(shí)軸上相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為：漸近線與實(shí)軸的夾角為：分離角為：第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法起始點(diǎn)：p12=-1j;p34=-12j;2.實(shí)軸上的根軌跡位于：-~+4.從復(fù)數(shù)極點(diǎn)起始的相角為：5.分離點(diǎn)：3.根軌跡有4條漸近線d=-1解得6.與虛軸交點(diǎn)：k=0,s=0解得第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法j0第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.3根軌跡繪制舉例例4.3-4已知非最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制系統(tǒng)的根軌跡。對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，需要根據(jù)特征方程確定是按負(fù)反饋還是正反饋條件繪制根軌跡。例如：