第六章 定積分98362

短號(hào)：658122（董雪梅）郵箱：don_anthea@作業(yè)：每周周一上交（兩個(gè)作業(yè)本）12定積分第六章3一、問(wèn)題的提出第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積yo實(shí)例：求曲邊梯形的面積4abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）5觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放6曲邊梯形如圖所示，分割近似7曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為求和取極限（1）分割（3）求和（4）極限（2）近似8二、定積分的定義定義9被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和10說(shuō)明：1.2.

有界是可積的必要條件,無(wú)界函數(shù)一定不可積；

3.可積的充分條件：

114.規(guī)定:5.由定義不難得到:12三、定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形面積的相反數(shù)yoyo13若要求陰影部分的面積,則為14例1利用定義計(jì)算定積分解xyo11例6-115練習(xí)：p6習(xí)題6.12.(1)3.畫(huà)圖思考：定積分與不定積分之間的區(qū)別與聯(lián)系.16

在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大小．第二節(jié)定積分的性質(zhì)性質(zhì)1（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)和的情況）性質(zhì)2(k為常數(shù))性質(zhì)1,2合稱(chēng)線性性.

17說(shuō)明：不論a,b,c的相對(duì)位置如何,上式總成立.例如,這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為定積分的區(qū)間可加性.則性質(zhì)3證略.18證性質(zhì)4由極限的保號(hào)性可知,

證略19推論1證20推論2證即21性質(zhì)5（估值定理）證由性質(zhì)2，有再由性質(zhì)4推論1，得mm22性質(zhì)6（定積分中值定理）證估值定理由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，即23積分中值公式的幾何解釋?zhuān)荷系钠骄?

24解例1于是25證例2即

f

(x)

單調(diào)下降，26練習(xí)：p10習(xí)題6.23.(2)5.（1）（3）（5）

6.(選)27第四節(jié)微積分基本公式用定義求定積分實(shí)際上是行不通的,下面介紹計(jì)算定積分的新方法.

定理1構(gòu)造變上限積分函數(shù)一、微積分基本定理ya0xxy

=

f(x)Φ(x)28第四節(jié)微積分基本公式用定義求定積分實(shí)際上是行不通的,下面介紹計(jì)算定積分的新方法.

定理1構(gòu)造變上限積分函數(shù)一、微積分基本定理ya0xxy

=

f(x)Φ(x)29第四節(jié)微積分基本公式用定義求定積分實(shí)際上是行不通的,下面介紹計(jì)算定積分的新方法.

定理1構(gòu)造變上限積分函數(shù)一、微積分基本定理ya0xxy

=

f(x)Φ(x)30第四節(jié)微積分基本公式用定義求定積分實(shí)際上是行不通的,下面介紹計(jì)算定積分的新方法.

定理1構(gòu)造變上限積分函數(shù)一、微積分基本定理ya0xxy

=

f(x)Φ(x)31ya0xxy

=

f(x)Φ(x)第四節(jié)微積分基本公式用定義求定積分實(shí)際上是行不通的,下面介紹計(jì)算定積分的新方法.

定理1構(gòu)造變上限積分函數(shù)一、微積分基本定理32ya0xxy

=

f(x)Φ(x)第四節(jié)微積分基本公式用定義求定積分實(shí)際上是行不通的,下面介紹計(jì)算定積分的新方法.

定理1構(gòu)造變上限積分函數(shù)一、微積分基本定理33證34由積分中值定理得35證同上可證同上可證證畢。36原函數(shù)存在定理該定理告訴我們,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).原函數(shù).

37變限積分函數(shù)的求導(dǎo)：證38更一般地，由即可得結(jié)論。39例1求下列變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù).40例2

例6-441例3求下列極限.分析：這是型未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.解42例3求下列極限.分析：這是型未定式，解等價(jià)無(wú)窮小替換43例3求下列極限.解分析：這是型未定式，44證例445證例5例6-94647由積分中值定理，

或證例548證令由零點(diǎn)定理可知，另一方面，例6例6-849解例7所以50定理2(微積分基本公式)證二、牛頓—萊布尼茨公式51所以—牛頓—萊布尼茨公式52注意上述公式通常稱(chēng)為微積分基本公式,它揭示了定積分與不定積分之間的關(guān)系,給定積分的計(jì)算提供了一種簡(jiǎn)便而有效的方法.

53例8

求

原式解解例9

設(shè)

求54例10

求

原式解例6-1555解例1156例12設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),且兩邊在[0,1]上積分,求f(x).即解573.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小結(jié)

牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．58練習(xí)：p18習(xí)題6.41.(2)(4)3.4.(2)(3)5.雙號(hào)59第五節(jié)定積分的換元積分法定理則有

60證61注意:(1)應(yīng)用定積分的換元法時(shí),與不定積分比較，多一事：換上下限；少一事：不必回代；

(2)(3)逆用上述公式,即為“湊微分法”,不必?fù)Q限.

62例1例2例363例4

計(jì)算解原式64例5

計(jì)算解令原式65例6

計(jì)算解令原式例6-1866例7

計(jì)算解令原式67例8解所以平均值等于68例9解令原式69證利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算.例6-2370yxoyxo71例10奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)72證例1173例12證(1)74證(2)令例12例6-267576證(3)令并計(jì)算

例12例6-267778解例13令則兩邊求導(dǎo)，即再求導(dǎo)，得79例14解例6-2180練習(xí)：p24習(xí)題6.51.(3)(4)(5)(7)(12)2.(1)(3)(5)3.6.7.81第六節(jié)定積分的分部積分法定理

例1例282例3例483例5

計(jì)算分部積分法與換元法結(jié)合.解令原式84例6

計(jì)算解令原式則解得85例7計(jì)算解得到遞推公式：

86而若n為正偶數(shù),則

若n為大于1的奇數(shù),則

87即例如，另外，瓦里斯公式88練習(xí)：p28習(xí)題6.61.(2)(3)(4)(5)(6)(10)(11)89第七節(jié)定積分的應(yīng)用一、平面圖形的面積面積元素:(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積yo面積90若f(x)有正有負(fù),則曲邊梯形面積為xyoab91xyoab面積元素:

(2)由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:92cxyoab一般地，93dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為

xyodc一般地，94及y軸圍成的平面圖形的面積為：

dcxyodcxyo一般地，95解先求兩曲線的交點(diǎn)選x為積分變量,例1

例6-3796例2

圍成的平面圖形的面積.

xoy解

由對(duì)稱(chēng)性,交點(diǎn)97解由對(duì)稱(chēng)性知,例3

總面積等于第一象限部分面積的4倍,例6-4298xy利用圓面積解由對(duì)稱(chēng)性知,例3

總面積等于第一象限部分面積的4倍,99解兩曲線的交點(diǎn)例4

此法麻煩。例6-40100此題選y

為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：

(1)盡量少分塊；(2)積分容易.

101例5

解102例6

作草圖如右,解y12x103解例7

y=x2t11104練習(xí)：p45習(xí)題6.71.(3)(5)(6)(7)(8)2.105二、平行截面面積為已知的立體的體積xa(x)dv

=

a(x)

dxxabv106解建立坐標(biāo)系如圖,截面面積所以立體體積例8垂直于

x

軸的截面為直角三角形,

107

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)三、旋轉(zhuǎn)體的體積108abox

y體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為109直線op的方程為解例9

110例10

x

yoab解

x

yoab例6-46111例11

解

xy利用圓面積例6-47112x

ycdox

ydc113例12

解

下面再介紹一個(gè)新方法.例6-45114ox

yab套筒法:體積微元:115上例:ox

yab116例13

解“套筒法”推廣：

ox

yab117解例14

118解例14

119解例15

圓錐體積120解(1)例16

y2xao121解(1)(2)導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，為極大值點(diǎn)，即為最大值點(diǎn)，122四、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題舉例設(shè)總成本函數(shù)為c=c(q)，總收益函數(shù)為r=r(q)，

其中q為產(chǎn)量，

則總成本函數(shù)為則總收益函數(shù)為所以總利潤(rùn)函數(shù)為稱(chēng)為固定成本123某商品每周產(chǎn)量為q，固定成本為200元，成本函數(shù)變化率為

例17

解求成本函數(shù)。如果該商品的銷(xiāo)售單價(jià)為20元，且假設(shè)產(chǎn)品可以全部售出，求利潤(rùn)函數(shù)l(q)，并問(wèn)每周產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？

成本函數(shù)為

例6-51124某商品每周產(chǎn)量為q，固定成本為200元，成本函數(shù)變化率為

銷(xiāo)售收入為

所以利潤(rùn)函數(shù)為得唯一駐點(diǎn)

所以當(dāng)每周產(chǎn)量時(shí),利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為

例17

解如果該商品的銷(xiāo)售單價(jià)為20元，且假設(shè)產(chǎn)品可以全部售出，求利潤(rùn)函數(shù)l(q)，并問(wèn)每周產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？

求成本函數(shù)。成本函數(shù)為

125例18

解所以需求函數(shù)為

例6-52126例19

解所以需求函數(shù)為

例6-53127練習(xí)：p45習(xí)題6.75.6.(2)(3)(4)10.128第八節(jié)廣義積分在定積分的定義中,有兩個(gè)限制:無(wú)界函數(shù)的積分—稱(chēng)為瑕積分.無(wú)限區(qū)間上的積分—稱(chēng)為無(wú)窮限積分；(1)積分區(qū)間有限；(2)被積函數(shù)有界.當(dāng)這兩個(gè)條件至少有一個(gè)不滿(mǎn)足時(shí),稱(chēng)廣義積分(現(xiàn)一般稱(chēng)為反常積分).

129一、無(wú)窮限廣義積分定義如果上述極限不存在,

即130類(lèi)似地，注意：上式只有右邊兩個(gè)反常積分均收斂時(shí)才有意義。131例1討論下列無(wú)窮限積分的斂散性.解所以xoy132例1討論下列無(wú)窮限積分的斂散性.解所以133例1討論下列無(wú)窮限積分的斂散性.解134135例1討論下列無(wú)窮限積分的斂散性.解136解例2積分發(fā)散；

所以例6-59137例3其中洛必達(dá)法則例6-60138例4解令原式例6-61139計(jì)算反常積分例5解原式140二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分定義如果極限

即141存在,則稱(chēng)廣義積分收斂,即

142例6討論下列瑕積分的斂散性.解0為瑕點(diǎn)，原式注？143例6討論下列瑕積分的斂散性.例6-65144例6討論下列瑕積分的斂散性.例6-69145例6討論下列瑕積分的斂散性.例6-71146例7解發(fā)散；

所以例6-68147比較：所以例7解發(fā)散；

148例8討論下列瑕積分的斂散性.解0為瑕點(diǎn)，149例8討論下列瑕積分的斂散性.解？150例8討論下列瑕積分的斂散性.是瑕點(diǎn)，解151發(fā)散.？思考題是瑕點(diǎn)，152積分的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？思考題可能的瑕點(diǎn)是不是瑕點(diǎn),的瑕點(diǎn)是解1532.無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）1.無(wú)窮限的廣義積分（注意：不能忽略?xún)?nèi)部的瑕點(diǎn)）小結(jié)154練習(xí)：p53習(xí)題6.81.(1)(2)(4)(5)(6)(7)(8)(10)(11)2.155習(xí)題課習(xí)題課156例1計(jì)算解原式157例2計(jì)算解原式158例3計(jì)算解原式159例4計(jì)算解所以原式或：原式160例5計(jì)算解所以原式利用公式p24,1.(12)161解法1例6計(jì)算原式解法2原式與原式相加,得所以原式162p28,1.(11)解例7計(jì)算積分其中采用分部積分的方法,163例8設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),且兩邊在[0,1]上積分,求f(x).即解164解例9165計(jì)算廣義積分例10解原式計(jì)算廣義積分例11解故廣義積分發(fā)散.原式166例12證由零點(diǎn)定