第四章Fuzzy邏輯和Fuzzy推論

第四章Fuzzy邏輯和Fuzzy推論2符號邏輯與Fuzzy邏輯三段論法邏輯(syllogisticlogic)

又稱為古典邏輯(classicallogic)，主要是處理如何從辨證過程導(dǎo)出真?zhèn)蜤x. 蘇格拉底是人

蘇格拉底會死notes 希臘的哲學(xué)家亞里斯多德是第一位邏輯學(xué)家，他建立了三段論法邏輯的大部分理論 三段論法是根據(jù)人類的自然語言把常識形式化(formalization)，所以它也受到自然語言不可避免的缺點(如：不精確、容易造成誤解)的困擾 十七世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲為了改善這種不精確的缺點，就發(fā)展了符號邏輯(symboliclogic)，後來經(jīng)過英國數(shù)學(xué)家布爾整理後重建完整的理論3符號邏輯又稱作數(shù)理邏輯，是採用一套符號代替人們的自然語言。亦即，符號邏輯是把觀念抽象化為符號，並且處理各個符號經(jīng)過某些運算子運後的關(guān)係命題邏輯 用來處理命題的真?zhèn)问稣Z邏輯 不僅可以處理命題的真?zhèn)?，還包括個體 之間的關(guān)係處理

note 這兩種邏輯工具對於定義含糊、語意不 清楚的命題都很難有效地處理。因此導(dǎo) 入Fuzzy邏輯來把原來只能處理真?zhèn)味?值的符號邏輯，擴(kuò)充為可以處理模糊的 命題4命題邏輯(propositionallogic)命題邏輯是用來處理不同命的真?zhèn)蚊} 又稱為敘述(statement)

是命題邏輯的基本單元 是一種可以決定真?zhèn)蔚木渥?，通常以?寫字母P,Q等表示

note 無法判斷其真?zhèn)蔚木渥泳筒荒芊Q為命題Ex.試判斷下列那些句子是命題地球是太陽系的行星你好嗎她是非常有天份的電池壞了而且端子腐蝕了5note 命題邏輯是以古典集合論(classicalsets theory)為基礎(chǔ)，在邏輯上只取真(truth)、 偽(false)兩個值 一個命題可以指定一個二元的真值(truth value)T(P)表示其真?zhèn)?，若命題為真， T(P)=1，若命題為偽則T(P)=0

以集合論來看命題邏輯的真值： 若A與B是定義在論域U的兩個可以表達(dá) 語言性概念或思想的集合，當(dāng)命題P與Q 要檢驗一個敘述x是否屬於A或B(即xis A或xisB)的真值T(P)及T(Q)可以定義 為：6簡單命題P複合命題(compoundproposition)： 命題之間使用一些連接詞(connectives)來 連接彼此所構(gòu)成的命題

note 連接詞包括： 否定(negation)、連接(conjunction)、斷接 (disjunction)、蘊(yùn)含(implication)、相等 (equality)7T(P)：命題P的真值，T(Q)：命題Q的真值，否定 命題P的否定連接 命題P與Q的連接斷接 命題P與Q的斷接蘊(yùn)含 命題P與Q的蘊(yùn)含相等 命題P與Q的相等8複合命題連接詞的真值表：Ex.利用連接詞把底下幾個簡單命題連接成複合命 題

(1) (2) T(P)T(Q)110111111000101001101100001011119複合命題依其結(jié)果的真值表現(xiàn)可分成下列幾類：同義(tautology)

不管個別命題的真?zhèn)?，永遠(yuǎn)為真的複合 命題稱為同義矛盾(contradiction)

不管個別命題的真?zhèn)危肋h(yuǎn)為偽的複合 命題稱為矛盾偶發(fā)的(contingent)

除了上述兩類之外的複合命題稱之10命題邏輯常用的推論法則 推論法則名稱 推論法則

ModusPonens ModusTollens Syllogism DoubleNegation DeMorgan’sLaw11述語邏輯(Predicatelogic)述語邏輯為命題邏輯的擴(kuò)充，將命題分成個體(object)與述語(predicates)兩部分，前者為述語邏輯的基本單元，後者用來描述個體的敘述Ex.命題的量詞(quantifier)

所有的(全稱量詞)/有些(存在量詞)12Fuzzy邏輯(Fuzzylogic)Fuzzy邏輯的概念是起源於Fuzzy集合，它不像傳統(tǒng)的數(shù)位邏輯(digitallogic)需要明確的模型，亦即，在Fuzzy邏輯中的傳統(tǒng)“真”與“偽”的布林值被由0到1的連續(xù)集合歸屬函數(shù)值取代Fuzzy邏輯可以輕易地處理一些無法準(zhǔn)確描述的量，例如：最多的(most)、很多(many)、少數(shù)的(few)、輕微的(slightly)、差不多(about)等，這些都是時常伴隨在人類對現(xiàn)實世界狀況的描述中Fuzzy命題 為明確集合的拓廣 明確命題的真值相當(dāng)於明確集合中元素 的特徵函數(shù)。Fuzzy命題的真值就是 Fuzzy集合的歸屬數(shù)。因此，F(xiàn)uzzy命題 的運算就是Fuzzy集合的運算 以Fuzzy集合論來看Fuzzy命題邏輯的真 值：

13語言變數(shù)(linguisticvariables)語言變數(shù)是一種表達(dá)人類語言概念的工具。以自然語言中的字或句子為值而不是以數(shù)為值的變數(shù)，例如：語言變數(shù)“年齡”其語言值(linguisticvalue)可以是“童年”、“少年”、“青年”、“中年”、“壯年”、“老年”等語言變數(shù)可以由一個五元組(quintuple)(x,T(x),U,G,M)描述其特性，其中

x

代表這個數(shù)數(shù)的命名，例如顏色、年紀(jì)等T(x) 表示x的詞集合(termset)，亦即x的語言值名稱 的集合U 代表涵蓋這個變數(shù)範(fàn)圍的論域G 代表建立語言變數(shù)x語言值X的語法規(guī)則 (syntacticrule)M 連結(jié)每個詞X的詞意規(guī)則(sementicrule)，並以 M(X)表示為論域U的Fuzzy子集合14Ex.溫度的語言變數(shù)x=Temperature：語言變數(shù)T(x)=T(Temperature)={Low,Medium,High}：詞 集合或語言項集合U=[0,50]：論域G(Temperature)：語法規(guī)則M：語言項詞意15語言項的語氣修飾(linguistichedges)語氣修飾為修飾語言項詞義的運算，若Fuzzy集合A為一個語言項，則修飾過後會產(chǎn)生一個新的語言項B=m(A)。常用的語氣修飾數(shù)學(xué)模型為：集中(concentration)—非常(very)：平方乘冪運算擴(kuò)大(dilation)—或多或少(moreorless)：0.5次方乘冪運算16強(qiáng)化(contrastintensification)：以歸屬度0.5為界，大 於0.5的讓他更大，小於0.5的讓他更小17Fuzzy蘊(yùn)含式Fuzzy規(guī)則式系統(tǒng)(FRBS)是一種以條件式語句(conditionalstatement)描述人類和知識的系統(tǒng)構(gòu)成FBRS核心的兩個重要部門

Fuzzy知識庫(Fuzzyknowledgebase,FKB) Fuzzy推論機(jī)(Fuzzyinferenceengine,FIE)Fuzzy知識庫 是描述受控對象所涉及的領(lǐng)域知識(domain knowledge)和操控目標(biāo)的一些定性及定量 的資訊 其主要是由資料庫(database)及規(guī)則庫(rule base)組成資料庫 存放描述領(lǐng)域知識的Fuzzy變數(shù)及語言變數(shù)規(guī)則庫 包含許多Fuzzy蘊(yùn)含式18Fuzzy蘊(yùn)含式(Fuzzyimplication)

介紹如何將Fuzzy規(guī)則表示成Fuzzy關(guān)係的 方法 是連接Fuzzy命題之間的重要方法，其 表示法：

note If部分的XisAi

稱為前題命題(antecedent proposition)，是提供判斷這個語句成立與 否的條件部分

Then部分的YisBi

稱為結(jié)論命題(consequent proposition)，用來表現(xiàn)符合條件的結(jié)果 命題中X與Y稱為Fuzzy變數(shù)，代表系統(tǒng)的輸 入變數(shù)與輸出變數(shù) 命題中的Ai與Bi為語言變數(shù)，是表現(xiàn)語言特 質(zhì)的模糊性概念，例如冷熱、強(qiáng)弱等評價。 這些概念大都是主觀且因人而異的，不容易 用明確數(shù)據(jù)表示，因此會以Fuzzy集合來定 義，並用下列的歸屬函數(shù)表示法加以描述19多前題命題及多結(jié)論命題的蘊(yùn)含式 蘊(yùn)含式的命題可以視實際需要使用適當(dāng)?shù)倪B 接詞，例如AND及OR等，連接數(shù)個簡單命 題以組成複合命題 式中i為語句編號，j及k分別為前題命題及結(jié) 論命題的編號，C為連接詞Ex.20Fuzzy蘊(yùn)含式的運算方法

Fuzzy蘊(yùn)含式運算的方法有很多種，不同的 做法產(chǎn)生的結(jié)果不盡相同，也幾乎可以說是 Fuzzy系統(tǒng)運作的關(guān)鍵較常採用的Fuzzy蘊(yùn)含式的運算方法

Zadeh蘊(yùn)含式(Rz) Lukasiewicz蘊(yùn)含式(Rl) Mamdani蘊(yùn)含式(Rm)21Zadeh蘊(yùn)含式(Rz)Lukasiewicz蘊(yùn)含式(Rl)Mamdani蘊(yùn)含式(Rm)note Mamdani蘊(yùn)含式是Mamdani從事模糊控制研 究所提出的蘊(yùn)含式運算方式，目前許多工程 應(yīng)用的FRBS都是採用這種方法去計算Fuzzy 關(guān)係。對Mamdani蘊(yùn)含式而言，實際上就是 做A與B的直積22Ex.Mamdani蘊(yùn)含式23Zadeh蘊(yùn)含式24多蘊(yùn)含式的系統(tǒng)模糊蘊(yùn)含式在數(shù)學(xué)意義上就是一種由A對應(yīng)到B的模糊關(guān)係表示系統(tǒng)的某種輸入狀況與輸出的對應(yīng)關(guān)係。因此，對於整個系統(tǒng)的輸入與輸出對應(yīng)關(guān)係就需要用到許多的蘊(yùn)含式加以描述，蘊(yùn)含式之間通常會以下列的方式連接在一起此處的Else是蘊(yùn)含式之間的連接詞，