平面向量的坐標(biāo)表示與運算

平面向量的坐標(biāo)運算平面向量的坐標(biāo)表示與運算1

一、提問：1、什么叫向量？一般用什么表示？

2、有向線段的三個要素是什么？

3、什么叫向量共線定理？4、什么叫平面向量基本定理？2如圖1，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，任何一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xi+yj二、平面向量的坐標(biāo)表示ayjiO圖1x我們把（x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=(x，y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，（x,y）叫做向量的坐標(biāo)表示。3iyxOyxjA（x,y）aa圖2如圖2，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作OA=a，則點A的位置由a唯一確定。設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)（x,y)就是點A的坐標(biāo)；反過來，點A的坐標(biāo)（x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)。因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。4例1如圖3，用基底i，j分別表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo)。jyxOiaA1AA2bcd圖35解：由圖3可知a=AA1+AA2=2i+3j,

∴a=(2,3)

同理，b=-2i+3j=(-2,3)

c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)6二、平面向量的坐標(biāo)運算已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即

a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得

a-b=(x1-x2,y1-y2)這就是說，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。7結(jié)論：

一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如圖，已知A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)上面的結(jié)論，有AB=OB-OA

=(x2,y2)-(x1,y1)

=(x2-x1,y2-y1)8已知a=(x,y)和實數(shù)λ，那么

λa=(λx,λy)

即

λa=(λx,λy)這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等用這個實數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。9向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b<>0,那么可以知道，a//b的充要條件是存在一實數(shù)λ，使a=λb這個結(jié)論如果用坐標(biāo)表示，可寫為（x1,y1）=λ(x2,y2)即x1=λx2y1=λy210消去λ后得

也就是說，a//b(b<>0)的