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第二節(jié)雙曲線考綱點(diǎn)擊掌握雙曲線的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).熱點(diǎn)提示1.以選擇題、填空題的形式考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),其中漸近線是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.2.以解答題的形式考查直線與雙曲線的綜合問題.1.雙曲線的定義(1)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線必須滿足兩個(gè)條件:①與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的____________
等于常數(shù)2a.②2a___|F1F2|.(2)上述雙曲線的焦點(diǎn)是__________,焦距是
_________.差的絕對(duì)值<F1,F(xiàn)2|F1F2|當(dāng)2a=|F1F1|和2a>|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形?若2a=0,動(dòng)點(diǎn)的軌跡又是什么?
雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的關(guān)系?【提示】離心率越大,雙曲線的“開口”越大.【解析】由題意知(|k|-2)(5-k)<0,解得-2<k<2或k>5.【答案】
D【答案】
C【答案】
C4.已知點(diǎn)(m,n)在雙曲線8x2-3y2=24上,則2m+4的范圍是________.已知?jiǎng)訄AM與圓C:(x+4)2+y2=2外切,與圓C2:(x-4)2+y2=2內(nèi)切.求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【思路點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出M點(diǎn)滿足的幾何條件,結(jié)合雙曲線定義求解.1.在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí),應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”,弄清是指整條雙曲線,還是雙曲線的哪一支.2.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法,根據(jù)題目的條件,若滿足定義,求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程、(2)待定系數(shù)法,其步驟是①定位:確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上.②設(shè)方程:根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程.③定值:根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù).若不能明確雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,可設(shè)雙曲線方程為:mx2-ny2=1(mn<0).[教師選講]動(dòng)圓M與圓C1:(x+4)2+y2=2及圓C2:(x-4)2+y2=2一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切,那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程如何?1.雙曲線的幾何性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”(兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)虛軸的端點(diǎn)),“四線”(兩條對(duì)稱軸、兩條漸近線),“兩形”(中心、焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形、雙曲線上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形)研究它們之間的相互聯(lián)系.2.在雙曲線的幾何性質(zhì)中,應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程,簡(jiǎn)化解題過程.同時(shí)要熟練掌握以下三個(gè)方面內(nèi)容:(1)已知雙曲線方程,求它的漸近線.(2)求已知漸近線的雙曲線的方程.平面向量與平面解析幾何的綜合考查是近幾年高考考查的熱點(diǎn)問題,往往通過向量的運(yùn)算及其幾何意義來解決解析幾何問題,在解析幾何中當(dāng)直線與曲線相交時(shí),對(duì)于交點(diǎn)坐標(biāo)若直接求解有時(shí)非常復(fù)雜,故往往設(shè)而不求,即設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)在曲線上或其滿足的性質(zhì)求解,本題借助直線與雙曲線相交,利用設(shè)而不求的思想,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及根與系數(shù)的關(guān)系求解.與雙曲線有關(guān)的范圍和最值問題是高考的熱點(diǎn),在選擇題、填空題以及解答題中都有可能出現(xiàn).選擇題、填空題一般涉及離心率的取值范圍或最值,需要找到a,b,c間的不等關(guān)系進(jìn)行求解;而解答題中的范圍問題,通常需要構(gòu)造函數(shù),利用雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍,或一元二次方程的判別式來求解,本題是通過構(gòu)造二次函數(shù)求解最值的.【答案】
C【答案】
A【答案】
C【答案】
B1.對(duì)于雙曲線的兩種定義,要在訓(xùn)練的過程中加強(qiáng)理解和掌握.熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,能運(yùn)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決有關(guān)問題,會(huì)用已知的定義解題.3.由已知雙曲線的方程求基本量,注意首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,再計(jì)算.并要特別注意焦點(diǎn)位置.防止將焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程寫錯(cuò).4.涉及與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題時(shí),??紤]用定義求解,但應(yīng)注意點(diǎn)在哪一支上.5.直線與雙曲線的問題主要涉及:
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