點(diǎn)到直線的距離

2.1.6

點(diǎn)到直線的距離一、問(wèn)題引入:問(wèn)題1平行四邊形的面積公式是什么？問(wèn)題2如圖如何計(jì)算平行四邊形ABCD的面積？由兩點(diǎn)間的距離公式可得只要知道ＡＢ邊上的高，即點(diǎn)Ｄ（或點(diǎn)Ｃ）到直線ＡＢ的距離，能求出四邊形的面積．Ｅ5x+4y-7=0如何計(jì)算點(diǎn)Ｄ（２，４）到直線AB:5x+4y-7=0的距離呢？過(guò)點(diǎn)Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ，垂足為Ｅ，則點(diǎn)Ｄ到直線ＡＢ的距離就是線段ＤＥ的長(zhǎng)．方法一：通過(guò)求點(diǎn)Ｅ的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式求ＤＥ．１．由ＤＥ⊥ＡＢ，可知ＤＥ所在直線的斜率為：２．求出ＤＥ的方程即4x-5y+12=0.3.由ＡＢ和ＤＥ所在直線的方程5x+4y-7=04x-5y+12=0得垂足Ｅ的坐標(biāo)４．用兩點(diǎn)間的距離公式，求出點(diǎn)Ｄ到ＡＢ的距離方法一的不足：運(yùn)算量較大．我們通過(guò)構(gòu)造三角形，利用面積關(guān)系求出點(diǎn)Ｄ到ＡＢ的距離．方法二：等面積轉(zhuǎn)化ＥAB:5x+4y-7=0方法二：如圖過(guò)點(diǎn)Ｄ分別作ｘ軸．y軸的平行線．交直線ＡＢ于點(diǎn)Ｍ．Ｎ，我們通過(guò)計(jì)算ＲｔΔＤＭＮ的面積，求出ＤＥ．１.求出２．計(jì)算３．由三角形面積公式得：于是求得平行四邊形ＡＢＣＤ的面積為：思考：能否歸納出一般方法求出點(diǎn)到直線的距離嗎？點(diǎn)到直線的距離過(guò)該點(diǎn)(如圖所示點(diǎn)P)作直線(圖中L)的垂線，點(diǎn)P與垂足Q之間的線段│PQ│長(zhǎng)度.點(diǎn)到直線的距離是指:LPQ什么是點(diǎn)到直線的距離？二、知識(shí)新授:OyxlP(x0,y0),QNl:Ax+By+C=0,AB≠0,外一點(diǎn)P(x0,y0),

M(x1,y0),(x0,y2),過(guò)P作PQ⊥l于Q,過(guò)P分別作x軸、y軸的平行線,交l于M(x1,y0),N(x0,y2),∴PM=|x1-x0|PN=|y2-y0|PQ是Rt△PMN斜邊上的高，由三角形面積公式可知Oyxl:Ax+By+C=0P(x0,y0)1.此公式的作用是求點(diǎn)到直線的距離；2.此公式是在A、B≠0的前提下推導(dǎo)的；3.如果A=0或B=0，此公式也成立；4.如果A=0或B=0，一般不用此公式；5.用此公式時(shí)直線要先化成一般式。d點(diǎn)到直線的距離公式：則點(diǎn)P(x0，y0)到直線l:Ax+By+C＝0的距離d為:點(diǎn)P(x0，y0)是平面上任意一點(diǎn)，直線l是平面上任意一直線，數(shù)學(xué)建構(gòu)點(diǎn)到直線的距離2.當(dāng)P(x0，y0)在直線l:Ax+By+C＝0上時(shí)，d＝0.3.當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)，公式也適用.但可以直接求距離.1.用此公式時(shí)直線要先化成一般式。例1求點(diǎn)P(-1,2)到直線①2x+y-10=0；②3x=2;③2y+3=0的距離。解：①根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得②如圖，直線3x=2平行于y軸，Oyxl:3x=2P(-1,2)用公式驗(yàn)證，結(jié)果怎樣？三、例題講解:例1求點(diǎn)P(-1,2)到直線①2x+y-10=0；②3x=2;③2y+3=0的距離。解：③如圖，直線2y+3=0平行于x軸，

用公式驗(yàn)證，結(jié)果怎樣？三、例題講解:yOxl:2y+3=0P(-1,2)例2求平行線2x-7y+8=0與2x-7y-6=0的距離。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0P(3,0)兩平行線間的距離處處相等在l2上任取一點(diǎn)，例如P(3,0)P到l1的距離等于l1與l2的距離直線到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離Oyxl2l1PQ任意兩條平行直線都可以寫(xiě)成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0則兩平行線l1與l2間的距離為：練習(xí)1.點(diǎn)P(3,-2)到直線的距離為

2.兩條平行線與間的距離是

3.直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)M(5,0)到直線

l

的距離等于3，求l的方程

6.求到直線l:x+y+4=0的距離為2的直線方程.練習(xí)5．直線l過(guò)點(diǎn)（1，2）且兩點(diǎn)（2，-3）,（4，-5）到l的距離相等，求l的方程建立適當(dāng)坐標(biāo)系證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高。例3.證明:建立如圖直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,0),x∈()OA(a,0)C(-a,0)B(0,b)xyEFP可求得lAB:

lCB:

|PE|=

|PF|=

A到BC的距離h=

因?yàn)閨PE|+|PF|=h，所以原命題得證。例4、已知直線，,且直線∥，與的距離為,與的距離為,且,求直線的方程。四、課堂小結(jié):點(diǎn)到直線的距離2.如果A=0或B=0，一般不用此公式；1.用此公式時(shí)直線要先化成一般式。l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0兩平行線l1與l2間的距離為:四、課堂小結(jié):例：△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是