正設(shè)影和三垂線定理

(1)直線和平面垂直的定義(2)直線和平面垂直的判定定理

①如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.②如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于同一個(gè)平面．(3)直線和平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．(4)如何證明線面垂直？如何證明線線垂直？一、溫故知新如果一條直線a和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說(shuō)直線a與平面α互相垂直.二、有關(guān)概念A(yù)1D1C1B1ADCB觀察如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1

B1C1D1，可以發(fā)現(xiàn)A1B,A1C,A1D雖然都和平面ABCD相交，但都不與這個(gè)平面垂直.1.一條直線和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,那么這條直線叫做平面的斜線(obliqueline).斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足.斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做斜線段.過(guò)平面外一點(diǎn)P向平面引斜線和垂線，那么過(guò)斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的正投影(簡(jiǎn)稱射影)，線段P1Q就是線段PQ在平面內(nèi)的射影.P1QP如果圖形F上的所有點(diǎn)在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖形F1,則叫做圖形F在這個(gè)平面內(nèi)的射影.

斜線在平面內(nèi)的射影是直線；斜線段在平面內(nèi)的射影是線段；垂線在平面內(nèi)的射影是點(diǎn).反饋：兩條異面直線在一個(gè)平面內(nèi)的射影是()

A.兩條平行直線B.兩條相交直線

C.兩條平行直線或兩條相交直線

D.以上都不正確答案：除兩直線平行或相交外,還可能是一條直線及其外一點(diǎn)D2.直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.AOB（記為）是a與所成的角.最小角定理斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中的最小角.進(jìn)一步：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中的最小角.直線和平面垂直：所成的角是直角；直線和平面平行或在平面內(nèi)=00

，其范圍：00900.BAaCOD00900證明：設(shè)直線OD是內(nèi)與a不同的任意一條直線,過(guò)點(diǎn)A引AC垂直O(jiān)D垂足為C.因?yàn)锳BAC，所以，AB/AOAC/AO，即sinsinAOC.因此AOC.

反饋：如圖P是平面α外一點(diǎn)過(guò)P分別作平面α的垂線PO斜線PA、PB，O是垂足，A、B斜足.PO=8,

PA=16，PB=，求直線PA、PB分別和平面α所成的角的度數(shù).解:因?yàn)镻A、PB在平面α內(nèi)的射影分別是OA、OB，所以PA、PB和平面α所成的角分別是∠PAO、∠PBO.在△PAO中，PAOB同理在△PBO中，∠PBO=450.ⅱ平面內(nèi)的直線與斜線的射影垂直時(shí),直線與斜線垂直嗎？ⅰ平面內(nèi)是否存在直線與斜線垂直？P′AP

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直.

三垂線定理例已知:AC,AB分別是平面的垂線和斜線,C,B分別是垂足和斜足，a，a⊥BC.求證:a⊥AB.AC⊥a

證明：a⊥BCa

⊥ACa⊥AB.a⊥平面ABCAB平面ABCAC∩BC=CCBAa三、構(gòu)建數(shù)學(xué)③①②性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直線射垂直三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么這條直線和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.CBAa已知:AC,AB分別是平面的垂線和斜線,C,B分別是垂足和斜足，a，a⊥AB.求證:a⊥BC.AC⊥a

證明：a⊥ABa

⊥ACa⊥BC.a⊥平面ABCBC平面ABCAC∩AB=A線斜垂直③①②性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直①三垂線定理描述的是PA(斜線)、AO(射影),

a(平面內(nèi)的直線)之間的垂直關(guān)系.②

a與PA可以相交，也可以異面.③三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理.1.對(duì)三垂線定理的說(shuō)明：2.三垂線定理及逆定理涉及的幾何元素：一面“垂面”；四線(斜、垂線、射影和面內(nèi)的直線)順口溜：一定平面，二定垂線，三找斜線，射影可見(jiàn)，直線隨便.3.應(yīng)用三垂線定理及逆定理證明直線垂直的步驟:

即：“一垂二射三證明”

“一垂”:定平面及平面的垂線.

“二射”:找斜線在平面上的射影.

“三證明”:用定理證明直線垂直.4.三垂線定理包含的垂直關(guān)系②線射垂直①線面垂直③線斜垂直直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直

5.直線a

一定要在平面內(nèi)，如果

a

不在平面內(nèi)，定理就不一定成立.PAOαa反例：當(dāng)a⊥

時(shí)，a⊥OA，但

a不垂直于OP.PAOaαPAOaαPAOaα如果

a//α呢？定理就一定成立.三垂線定理α

1、判定下列命題是否正確(1)若a是平面α的斜線、直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b.

2°定理的關(guān)鍵找“平面”這個(gè)參照物.強(qiáng)調(diào)：1°四線是相對(duì)同一個(gè)平面而言；

(2)若a是平面α的斜線，b是平面α內(nèi)的直線，且b垂直于a在β內(nèi)的射影，則a⊥b.×(3)一條直線和一個(gè)平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和斜線在平面內(nèi)的射影垂直×√定理鞏固性練習(xí)：(4)若a是平面α的斜線，平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b×ADCBA1D1C1B1abβ√(6)若a是平面α的斜線，b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b(5)若a是平面α的斜線，直線bα且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影，則a⊥b.×例：直線A1C→斜線a,

面ABCD

→面α,

面B1BCC1→面β,

直線AB

→垂線b.例：直線A1C→斜線a,

面ABCD→面α,

直線D1B1→垂線

b.αADCBA1D1C1B1aβbαADCBA1D1C1B1abABCD2)

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影()，那么它也和這條斜線().1)在()的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的()垂直，那么它也和這條斜線垂直.平面內(nèi)射影垂直垂直2、填空題：3）O是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，若PO=b，則P到正方形ABCD各邊的距離為OPE4)已知：長(zhǎng)方體AC1中，BD1為體對(duì)角線，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件_________時(shí)，有BD1⊥

A1C1.AC⊥

BDADCBA1D1C1B12）在一個(gè)平面內(nèi)與這個(gè)平面的一條斜線垂直的直線()A.無(wú)數(shù)條B.兩條C.一條D.0條5）已知矩形ABCD中，AB=3,BC=a,PA⊥平面ABCD

在BC邊上取點(diǎn)E,使PE⊥DE,則滿足條件的點(diǎn)E有２個(gè)時(shí)，則a的取值范圍為_(kāi)____.AEPDCBA提示：等價(jià)于以AD為直徑的圓和BC有兩個(gè)交點(diǎn)，a>6.1）直線m是平面α的一條斜線，直線m′是m在平面α上的射影，若直線n⊥m′直線,則()

A.m⊥nB.m‖n

C.m與n斜交

D.m與n不平行Da>63、選擇題4)在一個(gè)四面體中，如果它有一個(gè)面是直角三角形，那么它的另外三個(gè)面()A.

至多只能有一個(gè)直角三角形B.

至多只能有兩個(gè)直角三角形C.

可能都是直角三角形D.一定都不是直角三角形CPACB3)若一條直線與平面的一條斜線在此平面上的射影垂直，則這條直線與斜線的位置關(guān)系是()

A.

垂直B.

異面C.相交D.不能確定D5）如圖，BC是Rt△ABC的斜邊，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是()個(gè).

A.8B.7C.6D.5APACBD6)在正方體AC1中,E、G分別是AA1和CC1的中點(diǎn),F在AB上,且C1E⊥EF,則EF與GD所成的角的大小為

A.30°B.45°C.60°D.90°()DFCADBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1內(nèi)的射影,且

EF⊥C1E,所以

EF

⊥EB1,(?)設(shè)點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)，連接AM，則DG∥AM∥EB1,

故EF

⊥DG.l求證：l⊥PO.7)已知：PA，PO分別是平面

的垂線和斜線，AO是PO在平面

的射影，a,a⊥AO，l

∥a.證

PA，PO分別是平面

的垂線和斜線,AO是PO在平面的射影,a,a⊥AO,所以a⊥

PO(？)a⊥面POA，又l

∥a

，所以l⊥PO.PAOaα證明:∵PD⊥平面ABC,

∴DC為PC在平面的射影,而△ABC為等腰三角形,D為AB的中點(diǎn),∴AB⊥CD,∴AB⊥PC.PABCD例1.

如圖，PD⊥平面ABC,AC=BC,D為AB的中點(diǎn),求證AB⊥PC.三垂線定理的應(yīng)用例2

直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BD.證∵ABCD為正方形O為BD的中點(diǎn)，∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD.

同理，AC⊥BD

AO是PO在ABCD上的射影PC⊥BD.(1)POABCPA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中點(diǎn)，求證:BC⊥PM.ACPM∴BC⊥PM.

∵AB=AC,M是BC的中點(diǎn)，

∴AM⊥BC.證

連接AM,∵AP⊥平面ABC，

∵BC平面ABC，∴AM為斜線PM在平面ABC上的射影.B(3)

在正方體AC1中,求證：A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1.證∵在正方體AC1中，

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C，∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影.同理可證，

A1C⊥B1D1.由三垂線定理，A1C⊥BC1,BADD1CA1B1C1（4）如圖,PA

垂直于以AB為直徑的圓Ｏ平面，Ｃ為圓Ｏ上任一點(diǎn)（異于Ａ,Ｂ）,求證：PC⊥BC.PABCO證∵P

是平面ABC

外一點(diǎn),又PA⊥平面ABC,

∴PC是平面ABC的斜線，∴AC是PC在平面ABC上的射影,∵BC平面ABC

且AC⊥BC，∴由三垂線定理得PC⊥BC.BPMCABPAOaαA1C1CBB1我們要學(xué)會(huì)從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件.怎么找？解題回顧：αaPAO例3

如圖,一塊長(zhǎng)方體木料的上底面上有一點(diǎn)E，要經(jīng)過(guò)點(diǎn)E在上底面上畫一條直線和C,E的連線垂直,應(yīng)怎樣畫?（教材P38第10題）解:連接C1E,過(guò)E點(diǎn)在平面A1C1內(nèi)MN⊥EC1,則MN即為所求.ABCDA1B1D1C1EMN∴C1E是斜線CE在平面A1C1上的射影.∵M(jìn)N⊥C1E,∴MN⊥CE

(?).∵M(jìn)N平面A1C1，∵ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,EMN再欣賞一次！三垂線定理例4如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)

BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C.

∵DD1⊥平面ABCD∴BD是斜線D1B在平面ABCD上的射影

∵ABCD是正方形∴AC⊥BD(AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1

同理BA1是斜線BD1在平面ABB1A1上的射影,AB1⊥BD1,而AC∩AB1=A∴BD1⊥平面AB1C.證明：連結(jié)BD、A1BA1D1C1B1ADCB練習(xí)與鞏固正方體ABCD-A1B1C1D1，(1)求證:BD1⊥AC；

(2)

求證:BD1⊥B1C.ABCDA1B1C1D1證明

(1)連接BD，AC，∵ABCD-A1B1C1D1是正方體∴BD是斜線BD1在平面AC上的射影.∵AC⊥BD∴BD1⊥AC.

∵AC平面AC，∵B1C平面B1C，∴BD1⊥B1C.(2)連接BC1,B1C,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴B1C是斜線BD1在平面AC1上的射影.

∵BC1⊥B1C例5

如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上.已知：∠BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥

，垂足分別是E、F、O，PE=PF.要證∠BAO=∠CAO,只須OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???求證：∠BAO=∠CAO證明：∵PO⊥

∴OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影∵PE=PF，∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB，OE⊥AB，同理可得OF⊥AC，所以P點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上.從平面外一點(diǎn)向平面引斜線段，如果斜線段(射影)相等，那么它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影(斜線段)相等.例6在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求證：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.證作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影.O∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，ADCB注：垂心是三角形三邊高線的交點(diǎn)，重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，內(nèi)心是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).例7道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測(cè)角器和皮尺作測(cè)量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？

解在道邊取一點(diǎn)C,使BC與道邊所成水平角等于900,再在道邊取一點(diǎn)D，使水平角CDB等于450,測(cè)得C、D的距離等于20mBAC90°D⌒45°

∵BC是AC的射影,且CD⊥BC∴CD⊥AC

因此斜線AC的長(zhǎng)度就是電塔頂與道路的距離.

∵∠CDB=450,CD⊥BC,CD=20m,∴BC=20m，在直角三角形ABC中,

AC2=AB2+BC2，AC2=152+202=252(m),答：電塔頂與道路的距離是25m.例8(閱讀題)看圖說(shuō)話：四棱柱側(cè)棱與底面垂直平行六面體底面是平行四邊形直平行六面體底面是矩形長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)相等正方體根據(jù)上述定義，試說(shuō)明四棱柱集合、平行六面體集合、直平行六面體集合、長(zhǎng)方體集合、正方體集合、之間有怎樣的包含關(guān)系，并用圖直觀地表達(dá)這種關(guān)系.四棱柱集合平行六面體集合直平行六面體集合長(zhǎng)方體集合正方體集合三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.歸納總結(jié)3°操作程序分三個(gè)步驟——“一垂二射三證”1°定理中四條線均針對(duì)同一平面而言2°應(yīng)用定理關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”這個(gè)參照系“一面四線”三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面內(nèi)的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.愛(ài)拼才會(huì)贏！1、如圖所示：已知直三棱柱ABC-DEF中，∠ACB=90°，∠BAC=30°,BC=1，

，M是CF的中點(diǎn)，求證AE⊥DM.∴CF⊥EF，又EF⊥DF，∴

EF⊥平面ACFD，由三垂線定理知

DM⊥AE.探究拓展證明：連結(jié)AF，∴Rt?AFC∽R(shí)t?MDF，∴∠AFC=∠MDF，∴∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF=900，∴DM⊥AF，又ABC-DEF為直三棱柱，DEABCFM2、過(guò)Rt?BPC的直角頂點(diǎn)P作線段PA⊥平面