2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高郵市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期11月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高郵市高二上學(xué)期11月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A．x=-1 B． C． D．【答案】D【分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，所以其準(zhǔn)線方程為：.故選：D2．已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線經(jīng)過點(diǎn)，直線的傾斜角是直線的2倍，則直線的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得直線的傾斜角，從而求得直線的傾斜角，進(jìn)而求得直線的斜率.【詳解】直線過原點(diǎn)和，所以斜率為，傾斜角為，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A3．設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到答案.【詳解】由題意得，，解得.故選：A.4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【答案】C【分析】由題目條件及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列出方程，可得答案.【詳解】設(shè){an}首項(xiàng)為，公差為d.因S3＝6，S4＝12，則.則.故選：C5．以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圓心到直線的距離即得圓的半徑，即得圓的方程.【詳解】由題得圓心到直線的距離，所以圓的方程為.故選：D.6．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見初行行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思是“有一個(gè)人走378里，第一天健步行走，從第二天起因?yàn)槟_痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到達(dá)目的地.”則此人第一天走了（

）A．192里 B．148里 C．132里 D．124里【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到答案.【詳解】由題意可得這個(gè)人每天走的路程成等比數(shù)列，且公比，，，故，解得.故選：A．7．已知圓：和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得以線段AB為直徑的圓的方程，再與圓的方程聯(lián)立求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以以線段AB為直徑的圓的方程為：，因?yàn)閳A上存在點(diǎn)，滿足，聯(lián)立，得，因?yàn)?，所以，即，故選：C8．雙曲線方程為為其左?右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)A和點(diǎn)，滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義確定中的邊長(zhǎng)后應(yīng)用余弦定理求得的關(guān)系，從而可得離心率．【詳解】由題意，又，∴，中，由余弦定理得，，，所以，故選：C．二、多選題9．已知雙曲線C：，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為C．雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．雙曲線C的漸近線方程為【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線方程求解出，由雙曲線的性質(zhì)逐一判斷.【詳解】由雙曲線的方程，得，則，所以離心率為，A正確；虛軸長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確；漸近線方程為，D正確.故選：ACD10．下列說法中，正確的有（

）A．直線在y軸上的截距是2B．直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為1C．若點(diǎn)A（5，－2）和點(diǎn)B（m，n）關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，則m＋n＝3D．過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【分析】通過計(jì)算可以判定選項(xiàng)BC正確；直線在y軸上的截距是所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為或，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.直線在y軸上的截距是所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.直線與平行，則所以或當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以舍去.所以實(shí)數(shù)的值為1.所以該選項(xiàng)正確；C.若點(diǎn)A（5，－2）和點(diǎn)B（m，n）關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，所以，則m＋n＝3，所以該選項(xiàng)正確；D.過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為或，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11．對(duì)于數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列B．若數(shù)列為等比數(shù)列，則C．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列成等差數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則使得的最小的值為【答案】AC【分析】利用等差等比數(shù)列的定義及等差數(shù)列的中項(xiàng)公式，結(jié)合等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等比，且成等差數(shù)列，所以，所以，，即，于是有，所以，所以也成等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以是關(guān)于的一次函數(shù)，所以數(shù)列成等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以，即，又，所以，所以，即,解得，所以使得的最小的值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)A，B是拋物線C：上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的切線交于P點(diǎn).若弦AB過，則下列說法正確的有（

）A．點(diǎn)P在直線y＝－1上 B．存在點(diǎn)P，使得C．AB⊥PF D．△PAB面積的最小值為4【答案】ACD【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得過點(diǎn)和過點(diǎn)的切線方程，由直線與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可判斷A，由韋達(dá)定理可得，從而可判斷B，由直線垂直的斜率關(guān)系可判斷C，由韋達(dá)定理表示出三角形的面積，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意，設(shè)直線聯(lián)立，消去整理得：設(shè)，則，由拋物線可得，則，則過點(diǎn)的切線斜率為，易知，即，則切線方程為:，即，同理可得：過點(diǎn)的切線方程為：，聯(lián)立，解得，即，所以點(diǎn)在定直線上，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A可知，，則直線的斜率由，則AB⊥PF，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知：，，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為4，D正確.故選：ACD三、填空題13．已知對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的等軸雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【分析】利用等軸雙曲線的性質(zhì)得出，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，將坐標(biāo)點(diǎn)代入求得和的值，即可得出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：由題意，在等軸雙曲線C中，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，圖像過，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)設(shè)，則∴解得：∴，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，不成立，綜上，.故答案為：.14．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】【分析】根據(jù)可得為等差數(shù)列，從而可求的通項(xiàng)公式.【詳解】由題設(shè)可得，故為等差數(shù)列，故，故，故答案為：15．由曲線圍成的圖形的面積為_______________．【答案】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據(jù)對(duì)稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為【解析】本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學(xué)生分類討論思想的運(yùn)用和運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵是看出所求圖形在四個(gè)象限內(nèi)是相同的，然后求出在一個(gè)象限內(nèi)的圖形的面積即可解決問題.四、雙空題16．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖，第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則______；______.【答案】

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【分析】首先觀察三角形數(shù)，利用累加法求得，進(jìn)而求出；利用正方形數(shù)得出，再利用裂項(xiàng)相消法求出即可求解.【詳解】根據(jù)三角形數(shù)可知，，則，…，，累加得，，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足上式，故，則；根據(jù)正方形數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：；.五、解答題17．已知雙曲線C：的離心率為，拋物線D：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，直線交雙曲線C的兩條漸近線于M、N兩點(diǎn)，的面積為3.(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)求拋物線D的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用離心率可得，從而可求漸近線方程；（2）先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，再根據(jù)面積可求，從而可得拋物線方程.【詳解】（1）設(shè)半焦距為，由題意，雙曲線C：的離心率為，可得，解得，所以雙曲線C的漸近線方程為.（2）不妨設(shè)M在x軸下方，N在x軸上方，由拋物線D：，可得其準(zhǔn)線方程為，代入漸近線方程得，所以，則，解得，所以拋物線D的方程為.18．已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出線段的垂直平分線方程，再與直線聯(lián)立，求出交點(diǎn)，即為圓心坐標(biāo)，再求出半徑，可得圓的方程；（2）先根據(jù)弦，弦心距和半徑的關(guān)系求出弦心距，然后分直線斜率存在和不存在兩種情況求解即可.【詳解】（1）由題知，所求圓的圓心為線段的垂直平分線和直線的交點(diǎn)．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率，所以，的垂直平分線的方程為即．聯(lián)立得，解得圓心．半徑．所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即．所以，，解得，所以直線的方程為．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意．所以，直線的方程為或．19．在數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式分組進(jìn)行求和即可.【詳解】（1）由已知得，，即，又?jǐn)?shù)列是公比為4的等比數(shù)列；（2）由（1）知，

.20．已知拋物線的方程是，直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn).(1)若弦AB的中點(diǎn)為，求弦AB的直線方程；(2)設(shè)，若，求證：直線AB過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)利用點(diǎn)差法，結(jié)合已知中點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得結(jié)果；(2)對(duì)直線的斜率分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)已知條件，找到參數(shù)之間的關(guān)系，即可證明直線恒過的定點(diǎn).【詳解】（1）由于在拋物線開口之內(nèi)，且不在x軸上，直線l的斜率存在，設(shè)為k，且設(shè)，可得，兩式相減可得，即,則直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線l存在，且方程為.（2）證明：若直線l的斜率不存在，可得，代入拋物線方程，可得，，則，即，直線AB過：若直線l的斜率存在，設(shè)為k，當(dāng)k=0時(shí)，直線l與拋物線的交點(diǎn)僅有一個(gè)，不滿足題意；故直線的方程設(shè)為，代入拋物線的方程消去x可得可得，即有，可得b=-4k，直線l的方程為，則直線l恒過定點(diǎn).綜上，直線AB恒過定點(diǎn).21．已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求；(2)令，記數(shù)列前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求解得，參變分離即可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，兩式相減得，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)因式分解得，因?yàn)?，所以有，在中，?dāng)?shù)茫詳?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故有（2）由（1）知，，，，由題意，對(duì)任意的，均有恒成立，，即恒成立，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以的最大值為，所以.故的取值范圍是.22．換元法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛，其目的在于把不容易解決的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情景.例如，已知，，，求的最小值.其求解過程可以是：設(shè)，，，則，所以當(dāng)時(shí)取得最小值16，這種換元方法稱為“對(duì)稱換元”.已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為.(1)請(qǐng)利用上述求解方法，求出點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，在第（1）問所求的曲線上，直線，均與圓O：（）相切，試判斷直線是否過定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)是，證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)距離公式得到方程，整理即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得