可引入一矢量場(chǎng)

第三章靜磁場(chǎng)1根據(jù)

,可引入一矢量場(chǎng)，處處滿足

稱為磁場(chǎng)的矢勢(shì)。

矢勢(shì)的物理意義：矢勢(shì)沿任意閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為邊界的任意曲面的磁通量。磁通量與曲面的形狀無(wú)關(guān)，決定于曲面的邊界，這是磁場(chǎng)無(wú)源性（磁感應(yīng)線必須閉合）導(dǎo)致的?！?矢勢(shì)及微分方程一、矢勢(shì)2矢勢(shì)具有任意性。對(duì)任意可微標(biāo)量函數(shù)

矢勢(shì)與磁感應(yīng)強(qiáng)度不能對(duì)應(yīng)。

為了使確定的磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)確定的矢勢(shì)，需對(duì)矢勢(shì)人為加上輔助（限制）條件。比如，要求矢勢(shì)同時(shí)滿足人為加上的輔助條件稱為規(guī)范條件。

加上規(guī)范條件后，矢勢(shì)與磁感應(yīng)強(qiáng)度一一對(duì)應(yīng)；規(guī)范條件的選擇不是唯一的。

適用于線性均勻介質(zhì)；有三個(gè)分量方程二、規(guī)范條件三、矢勢(shì)的微分方程3

矢勢(shì)的積分形式對(duì)于靜電場(chǎng)所以，對(duì)于靜磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度：這即是Biot-Savart定律。4邊值關(guān)系還可寫為又所以討論：四、矢勢(shì)的邊值關(guān)系5利用對(duì)于全空間，靜磁場(chǎng)的總能量

設(shè)外磁場(chǎng)由電流激發(fā)，電流激發(fā)的磁場(chǎng)為，靜磁場(chǎng)的總能量為

五、靜磁場(chǎng)的能量1.靜磁場(chǎng)的總能量2.電流與外磁場(chǎng)的相互作用能6相互作用能

由可得相互作用能量7對(duì)于空間中P點(diǎn)，環(huán)上任意一點(diǎn)Q

處電流元，存在一對(duì)稱電流元。P點(diǎn)矢勢(shì)只有f

分量（選擇球坐標(biāo)）。

以P點(diǎn)和z軸構(gòu)成的面為xz

面，P點(diǎn)矢勢(shì)沿y方向。P點(diǎn)和Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為且Ex.2半徑為a的載流導(dǎo)線圓環(huán)的矢勢(shì)。8如果（對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)和近軸點(diǎn)成立）上式對(duì)展開(kāi)，偶次項(xiàng)積分零，只剩下奇次項(xiàng)積分矢勢(shì)僅是R和q的函數(shù)。9矢勢(shì)只有f分量，選擇柱坐標(biāo)計(jì)算近軸磁感應(yīng)強(qiáng)度是方便的，場(chǎng)點(diǎn)P的圓柱坐標(biāo)設(shè)為（r，f，z），則對(duì)近軸場(chǎng)，r<<a10保留至項(xiàng)，在圓柱坐標(biāo)系1112由于采用近似矢勢(shì)，在方括號(hào)中，略去了項(xiàng)。在原點(diǎn)（環(huán)心）附近（z、r<<a

），可再對(duì)展開(kāi)，有13對(duì)于靜磁場(chǎng)

不能一般地引入標(biāo)勢(shì)。但是，如果選取的空間區(qū)域V

無(wú)傳導(dǎo)電流，則在V

內(nèi)各點(diǎn)

對(duì)V內(nèi)的任意閉合回路，有

對(duì)區(qū)域V可引入磁標(biāo)勢(shì)，滿足

關(guān)于區(qū)域V的選取要求V內(nèi)任何回路都不能鏈環(huán)傳導(dǎo)電流。

對(duì)于如圖所示電流環(huán)，不能選選僅扣除電流環(huán)的空間，在這樣的空間，存在可以鏈環(huán)電流環(huán)的回路?？梢赃x為扣除曲面的空間為考察空間V。

§2磁標(biāo)勢(shì)一、磁標(biāo)勢(shì)的引入14定義磁荷密度

又磁標(biāo)勢(shì)滿足Poisson方程靜磁場(chǎng)引入磁標(biāo)勢(shì)，與靜電場(chǎng)電勢(shì)類似。關(guān)于電勢(shì)的結(jié)論和求解方法都可以移植到磁標(biāo)勢(shì)。二、磁標(biāo)勢(shì)方程、磁荷三、靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)的類比15靜電場(chǎng)靜磁場(chǎng)備注無(wú)旋場(chǎng)是引入標(biāo)勢(shì)的前提無(wú)“自由磁荷”“磁荷”來(lái)源于介質(zhì)的磁化

16可以把線圈看成許多逆時(shí)針?lè)较虻男‰娏骶€圈，小電流線圈的磁矩為產(chǎn)生的磁標(biāo)勢(shì)（電偶極矩產(chǎn)生的電勢(shì)為：）討論：磁標(biāo)勢(shì)和“磁荷”的引入，適用于所有磁介質(zhì)。對(duì)于鐵磁介質(zhì)，表中的關(guān)系仍然適用。磁荷是假想的。磁化可認(rèn)為是介質(zhì)中分子電流環(huán)形成規(guī)則排列。把分子電流環(huán)等價(jià)為磁偶極子，磁偶極子并不意味存在分離“磁荷”。介質(zhì)磁化是表面出現(xiàn)宏觀磁化電流，可等效為分界面上出現(xiàn)“束縛磁荷”。

Ex.3電流線圈產(chǎn)生的磁標(biāo)勢(shì)17電流線圈在x點(diǎn)產(chǎn)生的磁標(biāo)勢(shì)

x點(diǎn)在上方時(shí)，W>0；x點(diǎn)在下方時(shí)，W<0。如果線圈構(gòu)成平面，x點(diǎn)從上方趨于平面時(shí)，W趨于2p；x點(diǎn)從下方趨于平面時(shí)，W趨于-2p?？梢?jiàn)，在跨越平面時(shí)，W存在4p的躍變。對(duì)于線圈圍成的曲面，4p躍變?nèi)匀淮嬖?。曲面選取具有任意性，4p躍變并不是客觀事實(shí)，依賴于曲面的選取。實(shí)際上，磁標(biāo)勢(shì)也與曲面選取有關(guān)，也不是一個(gè)具有獨(dú)立物理意義的量，它只能是個(gè)輔助物理量。另一方面，由于在曲面兩邊，磁標(biāo)勢(shì)存在躍變，但是物理上要求磁標(biāo)勢(shì)在其定義區(qū)域連續(xù)（滿足Poisson方程），所以定義磁標(biāo)勢(shì)的區(qū)域必須扣除線圈圍成的一個(gè)曲面。18設(shè)電流分布區(qū)域限度遠(yuǎn)小于R，利用公式

§3磁多極矩一、矢勢(shì)的多極展開(kāi)19對(duì)于靜磁場(chǎng)問(wèn)題：這是穩(wěn)恒電流體條件，所有電流線是閉合的。區(qū)域中的電流分布可看成許多閉合“電流管”，積分區(qū)域要包含所有電流，所有電流管均在積分區(qū)間內(nèi)。對(duì)每個(gè)電流管

所以對(duì)于某一閉合流管（可視為電流線圈），

利用了1.展開(kāi)式第一項(xiàng)2.展開(kāi)式第二項(xiàng)20所以利用公式對(duì)于該電流管

如圖，，將該面元矢量沿垂直和水平方向分解。對(duì)小線圈積分的結(jié)果，在水平方向抵消，而垂直分量就是小線圈圍成的面積。磁偶極矩21對(duì)于體電流分布

磁偶極矩激發(fā)的矢勢(shì)利用公式二、磁偶極矩的場(chǎng)和標(biāo)勢(shì)1.磁偶極矩激發(fā)的磁場(chǎng)22利用公式且注意又磁偶極矩的磁標(biāo)勢(shì)討論：2.磁偶極矩激發(fā)的磁標(biāo)勢(shì)宏觀電流線圈的磁偶極矩考慮以宏觀電流線圈為周界的任一曲面。設(shè)想，面上布滿電流為I的小電流環(huán)，在內(nèi)部，電流相互抵消。這一假想系統(tǒng)與原系統(tǒng)等效。23系統(tǒng)總磁矩

Q：宏觀電流線圈的磁矩依賴于曲面的選擇嗎？再選擇另一曲面，且根據(jù)電流環(huán)繞方向規(guī)定方向。

所以，宏觀電流線圈的磁矩不依賴曲面的選擇。

電流分布與外磁場(chǎng)的相互作用能:

載流線圈與外磁場(chǎng)的相互作用能:三、小區(qū)域電流分布在外磁場(chǎng)中的能量24載流小線圈情形：

如果區(qū)域線度遠(yuǎn)小于外磁場(chǎng)發(fā)生顯著變化的線度，選坐標(biāo)原點(diǎn)在線圈區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)，則可以展開(kāi)外磁場(chǎng)

Q：電磁偶子在外場(chǎng)中的能量為，與上式比較，相差一負(fù)號(hào)，這是否意味著磁偶極矩受到外磁場(chǎng)作用將傾向于外場(chǎng)的反方向？

設(shè)外場(chǎng)由另一載有電流的線圈產(chǎn)生，相互作用能為

設(shè)線圈偏轉(zhuǎn)時(shí)保持電流不變，每個(gè)線圈激發(fā)磁場(chǎng)的能量（自能）不變，總能量的變化為

25線圈偏轉(zhuǎn)時(shí)，磁通量發(fā)生變化，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)試圖改變線圈中電流，要維持電流不變，電源必須提供能量，抵抗感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)作功。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在時(shí)間dt內(nèi)作功

要維持電流不變，電源須提供能量線圈偏轉(zhuǎn)時(shí)，設(shè)磁場(chǎng)對(duì)它作功為dA，由能量守恒（系統(tǒng)包含：電源、磁場(chǎng)和兩個(gè)線圈）

在電流不變，磁場(chǎng)對(duì)線圈作功為為相互作用能的增量。

對(duì)于靜磁場(chǎng)，也可引入勢(shì)函數(shù)，磁場(chǎng)作功使勢(shì)函數(shù)減少

勢(shì)函數(shù)、力和力矩26磁偶極矩的勢(shì)函數(shù)磁偶極矩在外磁場(chǎng)中所受力利用公式磁偶極矩在外磁場(chǎng)中所受力矩力矩應(yīng)使q減小27經(jīng)典電磁理論中，E和B能完全描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)，j和A

是輔助物理量，j和A不具有獨(dú)立物理意義。一般地，矢勢(shì)可相差一縱矢量場(chǎng)。即便是在（人為外加）規(guī)范條件下，矢勢(shì)也可相差一常矢量；另外，電勢(shì)也可相差一常數(shù)，這表明矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)不具有可觀測(cè)的物理效應(yīng)。經(jīng)典電磁理論并不能解釋某些物理現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)裝置：電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，在雙縫后放一細(xì)長(zhǎng)螺線管。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：螺線管通電后，干涉條紋發(fā)生移動(dòng)?，F(xiàn)象分析：螺線管細(xì)長(zhǎng)而密集，管外B=0，干涉條紋移動(dòng)不可能由B導(dǎo)致。干涉條紋的移動(dòng)說(shuō)明電子狀態(tài)發(fā)生了改變?！?Aharonov－Bohm效應(yīng)一、電子束干涉實(shí)驗(yàn)，經(jīng)典電磁理論的困惑28通電后，螺線管外，盡管B=0，但是管外矢勢(shì)不為零。

實(shí)驗(yàn)表明，矢勢(shì)導(dǎo)致干涉條紋移動(dòng)。這表明，矢勢(shì)具有不同于B的物理觀測(cè)意義?；蛘哒f(shuō)，B不能完全描述磁場(chǎng)，矢勢(shì)具有獨(dú)立于B的可觀測(cè)效應(yīng)。這種效應(yīng)稱為A-B效應(yīng)。它是Aharonov和Bohm在1959年提出的。電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)表明電子具有波動(dòng)性，任何微觀粒子都具有波粒二象性。量子論中，用波函數(shù)描述微觀粒子狀態(tài)。自由電子狀態(tài)用平面波描述，其中；是Planck常數(shù)，是電子動(dòng)量。

干涉條紋決定于相差。不通電時(shí)，相差二、A-B效應(yīng)的量子理論解釋29通電時(shí)，在電子運(yùn)動(dòng)空間，矢勢(shì)不為零。由量子論，在波函數(shù)中應(yīng)采用正則動(dòng)量

，相差螺線管通電后，干涉條紋發(fā)生移動(dòng)。

A-B效應(yīng)是量子效應(yīng)（指粒子的波動(dòng)性導(dǎo)致的物理效應(yīng)），表明矢勢(shì)具有直接觀測(cè)的物理意義。

30量子論中，僅用B描述磁場(chǎng)是不夠的。能夠完全描述磁場(chǎng)的是相因子

說(shuō)明規(guī)范條件的選擇不影響相因子。用相因子描述磁場(chǎng)，實(shí)質(zhì)上是用描述磁場(chǎng)，可分兩種情形：