2023年高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及答案(詳解純word版)

第PAGE\*Arabic9頁(yè)共9頁(yè)2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔湖南卷〕數(shù)學(xué)〔理科〕本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三局部，時(shí)量120分鐘，總分值150分一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.(是虛數(shù)單位)，那么復(fù)數(shù)z=A.B.C.D.2.設(shè)A、B是兩個(gè)集合，那么“〞是“〞的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.執(zhí)行如以下圖的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的S＝A.B.C.D.4.假設(shè)變量x,y滿足約束條件，那么的最小值為A.B.C.1D.25.設(shè)函數(shù)，那么是A.奇函數(shù)，且在是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在是減函數(shù)6.的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，那么A.B.C.6D.7.在如圖2所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，那么落入陰影局部〔曲線C為正態(tài)分布的密度曲線〕的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為A.2386B.2718C.3413D.4772附：假設(shè)，那么,.8.點(diǎn)A,B,C在圓上運(yùn)動(dòng)，且.假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,那么的最大值為A.6B.7C.8D.99.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，假設(shè)對(duì)滿足的，，有，那么A.B.C.D.10.某工件的三視圖如以下圖，現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，那么原工件材料的利用率為〔材料的利用率〕A.B.C.D.二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分.11.__________.12.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)發(fā)動(dòng)的成績(jī)〔單位：分鐘〕莖葉圖如以下圖假設(shè)將運(yùn)發(fā)動(dòng)按成績(jī)由好到差編為1－35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取7人，那么其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間上的運(yùn)發(fā)動(dòng)的人數(shù)是_________.13.設(shè)F是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)C上存在點(diǎn)P，使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，那么C的離心率為_(kāi)_______.14.設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，假設(shè)，且成等差數(shù)列，那么___________.15.函數(shù)假設(shè)存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，那么a的取值范圍是___________.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.(本小題總分值12分)本小題有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)選做題，請(qǐng)考生任選兩題作答，并將解答過(guò)程寫(xiě)在答題紙中相應(yīng)題號(hào)的答題區(qū)域內(nèi)，如果全做，那么按所做的前兩題計(jì)分.Ⅰ.〔本小題總分值6分〕選修4－1幾何證明選講如圖，在⊙O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F，證明：〔〕；〔〕.Ⅱ.〔本小題總分值6分〕選修4－4坐標(biāo)系與參數(shù)方程直線〔t為參數(shù)〕，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.〔〕將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；〔〕設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，直線與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求的值.Ⅲ.〔本小題總分值6分〕選修4－5不等式選講設(shè)，且，證明：〔〕；〔〕與不可能同時(shí)成立.17.(本小題總分值12分)設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且B為鈍角.(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)求的取值范圍.18.(本小題總分值12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)置一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2球中，假設(shè)都是紅球，那么獲一等獎(jiǎng)；假設(shè)只有1個(gè)紅球，那么獲二等獎(jiǎng)；假設(shè)沒(méi)有紅球，那么不獲獎(jiǎng).(Ⅰ)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；(Ⅱ)假設(shè)某顧客有3次抽獎(jiǎng)的時(shí)機(jī)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(本小題總分值13分)如圖，在四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，，且底面，點(diǎn)P，Q分別在棱，上.(Ⅰ)假設(shè)點(diǎn)P是的中點(diǎn)，證明：；(Ⅱ)假設(shè)平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.20.(本小題總分值13分)拋物線的焦點(diǎn)F也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長(zhǎng)為.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，與相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向.〔〕假設(shè)，求直線的斜率；〔〕設(shè)在點(diǎn)A處的切線與x軸的交點(diǎn)為M，證明：直線繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形.21.(本小題總分值13分)，函數(shù)，記為的從小到大的第n個(gè)極值點(diǎn).證明:(Ⅰ)數(shù)列是等比數(shù)列；(Ⅱ)假設(shè)，那么對(duì)一切，恒成立.2023年高考湖南卷理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題DCBAADCBDA二、填空題11.012.413.14.15.三、解答題16.Ⅰ.證明：()如圖，因?yàn)镸，N分別是兩弦AB，CD的中點(diǎn)，所以,，即，因此，又四邊形的內(nèi)角和等于，故.()由〔〕知，O，M，E，N四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得.Ⅱ.解：()等價(jià)于，將，代入上式即得曲線C的直角坐標(biāo)方程是.()將代入得.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，那么由參數(shù)t的幾何意義知＝Ⅲ.證明：由，得〔〕由根本不等式及，有，即.()設(shè)與可同時(shí)成立，那么由及可得，同理，從而這與相矛盾，故與不可能同時(shí)成立.17.解：〔Ⅰ〕由及正弦定理，得，所以，即.又B為鈍角，，故，即.(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知,所以.于是因?yàn)椋?，因?由此可得的取值范圍是.18.解：〔Ⅰ〕記事件={從甲箱中摸出的一個(gè)球是紅球}，={從乙箱中摸出的一個(gè)球是紅球}，＝{顧客抽獎(jiǎng)一次獲一等獎(jiǎng)}，＝{顧客抽獎(jiǎng)一次獲二等獎(jiǎng)}，C＝{顧客抽獎(jiǎng)一次能獲獎(jiǎng)}.由題意與相互獨(dú)立，與互斥，與互斥，且，=+，.又因?yàn)?，，所以?故所求概率為.(Ⅱ)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，由〔Ⅰ〕知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，所以，于是由此求得X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為.19.解法一：〔Ⅰ〕如圖，取的中點(diǎn)R，連結(jié),因?yàn)?是梯形的兩腰，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，所以，于是由知，，所以四點(diǎn)共面.由題設(shè)知，，,所以平面,平面，因此.因?yàn)?所以，因此,于是,又已證得，所以平面,顯然有平面,故.(Ⅱ)如以下圖，過(guò)點(diǎn)P作交AD于點(diǎn)M，那么平面，因?yàn)榈酌?，所以底面，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N，連結(jié)PN，那么，是二面角的平面角.所以，即，從而.連結(jié)MQ，由平面及平面知，平面平面，所以，又ABCD是正方形，所以ABQM是矩形，故MQ=AB=6.設(shè)MD＝t，那么過(guò)點(diǎn)作交AD于點(diǎn)E，那么是矩形，所以，，因此.于是,所以，從而，解得，所以.故四面體ADPQ的體積.解法二：由題設(shè)知G兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，,，其中，.(Ⅰ)假設(shè)點(diǎn)P是的中點(diǎn)，那么，，又，于是,所以，即.(Ⅱ)由題設(shè)知，,是平面PQD內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，設(shè)是平面PQD的一個(gè)法向量，那么即取，得.又平面AQD的一個(gè)法向量是，所以，而二面角的余弦值為，所以，解得m=4或m=8(舍去)，此時(shí).再設(shè)，而，由此得到，.因?yàn)槠矫?，且平面的一個(gè)法向量是，所以，，從而.于是，將四面體視為為底面的三棱錐，其高，故四面體ADPQ的體積.20.解：(Ⅰ)由知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔0，1〕，因?yàn)镕也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以〔1〕又與的公共弦長(zhǎng)為，與都關(guān)于y軸對(duì)稱，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)坐標(biāo)為，所以〔2〕聯(lián)立〔1〕〔2〕得，故的方程為.(Ⅱ)如圖，設(shè)，，，.()因與同向，且，所以，從而，即，于是.〔3〕設(shè)直線的斜率為，那么的方程為.由得，而是這個(gè)方程的兩根，所以〔4〕由得，而是這個(gè)方程的兩根，所以〔5〕將(4)(5)代入(3)得，即，所以，解得，即直線的斜率為.()由得，所以在點(diǎn)A處的切線方程為，即，令得，即，所以，而，于是，因此總是銳角，從而是鈍角.故直線繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形.21.解：(Ⅰ)，其中，.令，由得，即.對(duì)，假設(shè)，即，那么;假設(shè)，即，那么.因此，在區(qū)間與上，的符號(hào)總相反，于是，當(dāng)時(shí)，取得極值，所以.此時(shí)，，易知，且是常數(shù)，故數(shù)