回歸的同步推論與其他主題

第4章

迴歸的同步推論與其他主題4.1與之聯(lián)合估計(jì)

聯(lián)合估計(jì)的需要

Bonferroni聯(lián)合信賴區(qū)間

依據(jù)補(bǔ)集定理(A.9)，我們用表示兩個(gè)信賴區(qū)間都正確的機(jī)率：(4.1)

由於，於是可以得到Bonferroni不等式：(4.2)

亦即(4.2a)透過Bonferroni不等式(4.2a)，我們可以很容易地做到在同一組樣本下，所建構(gòu)出的兩個(gè)與之信賴區(qū)間估計(jì)，確保有全族信賴係數(shù)至少，其作法就是以個(gè)別的信賴係數(shù)估計(jì)與，則可以有Bonferroni界限，因此依照Bonferroni程序，迴歸模型(2.1)中的與之全族信賴界限為：(4.3)

其中，(4.3a)4.2

平均反應(yīng)的同步估計(jì)

Working-Hotelling程序

在迴歸模型(2.1)中g(shù)個(gè)平均反應(yīng)之同步信賴界限，利用Working-Hotelling程序計(jì)算為：(4.6)

其中(4.6a)

而與之定義同(2.28)與(2.30)。Bonferroni程序若有g(shù)個(gè)對(duì)應(yīng)的須在全族信賴係數(shù)下進(jìn)行估計(jì)，則迴歸模型(2.1)的Bonferroni信賴界限為：(4.7)

其中，(4.7a)

g為此族中的信賴區(qū)間數(shù)。4.3

新觀測(cè)值的同步估計(jì)

Scheffé程序採用F分配，而Bonferroni程序則採用t分配，在全族信賴係數(shù)下，Scheffe程序下的g個(gè)同步預(yù)測(cè)界限為：(4.8)

其中，(4.8a)

而s{pred}之定義同(2.38)。在Bonferroni程序中1－同步預(yù)測(cè)界限為：(4.9)

其中，(4.9a)4.4

通過原點(diǎn)之迴歸線

模型在上述情形中，除了已知外，其他與迴歸模型(2.1)相同：(4.10)

其中，為參數(shù)為已知常數(shù)間獨(dú)立且服從

模型(4.10)的迴歸函數(shù)為(4.11)

它是一條通過原點(diǎn)，斜率為的直線。推論迴歸模型(4.10)的最小平方估計(jì)，其意義在於找到能將下式最小化的：(4.12)

利用標(biāo)準(zhǔn)方程式(4.13)

可以得到點(diǎn)估計(jì)量：(4.14)第i個(gè)個(gè)案之配適值為：(4.15)

而第i個(gè)殘差之定義與前面相同，為觀測(cè)值與配適值的差：(4.16)

迴歸模型(4.10)的誤差變異數(shù)，其不偏估計(jì)量為：(4.17)

這時(shí)分母為(n-1)，其理由是因?yàn)樵诠烙?jì)迴歸函數(shù)(4.11)的參數(shù)時(shí)，只有損失一個(gè)自由度。使用通過原點(diǎn)迴歸線的重要注意事項(xiàng)

4.5

量測(cè)誤差的效果

Y的量測(cè)誤差

X的量測(cè)誤差令表示第i個(gè)受雇員工的真實(shí)年齡，是受雇員工的年齡自述，定義量測(cè)誤差為：(4.21)

研究的迴歸模型為：(4.22)

不過由於我們只能觀察到，所以必須將(4.22)中的真實(shí)年齡利用(4.21)的關(guān)係轉(zhuǎn)換成：(4.23)(4.23)可改寫成(4.24)模型(4.24)與一般的迴歸模型很相似，兩者比較後的差異在於模型(4.24)的是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)，而且與誤差項(xiàng)有相關(guān)性，因?yàn)檫@樣的相依關(guān)係，我們必須增加下面的假設(shè)條件：(4.25a)(4.25b)(4.25c)從(4.25c)知道，根據(jù)(A.15a)，在下，，所以我們將可以得出：(4.26)Berkson模型在這類的例子中，觀測(cè)值是固定的，不過真實(shí)值卻是隨機(jī)變數(shù)，這時(shí)量測(cè)上的誤差，定義跟前面相同：

(4.27)在模型(4.24)中用取代仍然適用：(4.28)4.6

反預(yù)測(cè)

關(guān)於反預(yù)測(cè)的問題中，迴歸模型(2.1)仍然與前面相同：(4.29)

利用n個(gè)觀測(cè)資料估計(jì)迴歸函數(shù)：(4.30)

現(xiàn)在有一個(gè)新觀測(cè)值，想回過頭來預(yù)測(cè)這個(gè)新觀測(cè)值是多少？透過直接的解法，將可以得到一個(gè)的點(diǎn)估計(jì)：(4.31)的近似界線為(4.32)

其中，(4.32a)