第四章定積分第01講

DefiniteintegralsanditsApplicationsinOneVariable本章內(nèi)容定積分概念、性質(zhì)微積分學(xué)基本定理(Newton-Leibniz)定積分與不定積分的關(guān)系積分的計(jì)算——兩大基本積分法定積分的應(yīng)用(微元法研究函數(shù)整體性態(tài))第一節(jié)§4.1.1

積分問題舉例§4.1.4

定積分的性質(zhì)§4.1.5

微積分基本公式基本概念§4.1.2

定積分的定義實(shí)例1(幾何問題__求曲邊梯形的面積)§4.1.1問題的提出曲邊梯形：由連續(xù)曲線abxyo曲邊梯形的面積計(jì)算abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）解決問題的基本思想——

局部“以直代曲”求得面積的近似值，最后通過取極限，得出面積的準(zhǔn)確值。具體做法：

曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為實(shí)例2(求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程)思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．(1)分割部分路程值某時(shí)刻的速度(2)求和(3)取極限路程的精確值

許多類似的實(shí)際問題：“求一個(gè)整體量

——Tointegrate”最終在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為:求一種特殊結(jié)構(gòu)的和式的極限——

就是所謂的定積分?！?.1.2

定積分的定義被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限因此前面兩個(gè)問題可以分別寫為面積路程定義2.定義2.注意

G.F.B.Riemann(1826-1866)

(3)可積

可積某一特殊分割和特殊取點(diǎn)法,極限存在.實(shí)際上任意方法取點(diǎn)，任意分割及在極限都存在;極限過程是(4)定義中區(qū)間的分法、ix的取法是任意的.

例Dirichlet函數(shù)在[0,1]上可積?

任意細(xì)分區(qū)間而在每個(gè)上取點(diǎn)為無理數(shù)時(shí),而在每個(gè)上取點(diǎn)為有理數(shù)時(shí),不

(3)可積

可積某一特殊分割和特殊取點(diǎn)法,極限存在.實(shí)際上任意方法取點(diǎn)，任意分割及在極限都存在;極限過程是(4)定義中區(qū)間的分法、ix的取法是任意的.被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和定積分的定義:定義1注意(5)函數(shù)在[a,b]上可積，則在[a,b]上必有界！（可積的必要條件）證

(反證法)若在上無界，從而可以使任意大,上不可積。無界函數(shù)在定義域上定不可積；有界函數(shù)未必可積!(5)[a,b]上可積必有界！第一節(jié)§4.1.1

積分問題舉例§4.1.4

定積分的性質(zhì)§4.1.5

微積分基本公式基本概念§4.1.2

定積分的定義定理3若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)有界，則在上黎曼可積。定理2若函數(shù)在區(qū)間上有界，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則在上黎曼可積。存在定理(可積準(zhǔn)則Ⅰ&Ⅱ)§4.1.3曲邊梯形的面積曲邊梯形面積的負(fù)值定積分的幾何意義幾何意義封閉部分“有號(hào)面積”的代數(shù)和.“曲邊梯形面積”,

第一節(jié)§4.1.1

積分問題舉例基本概念§4.1.2

定積分的定義我們可以選擇有利于計(jì)算的‘分割區(qū)間’與‘取點(diǎn)’的方法,然后通過計(jì)算極限求出定積分的值。

可積某一特殊分割和特殊取點(diǎn)法,極限存在.任意方法取點(diǎn)，任意分割積分區(qū)間，及在極限都存在;解@2

用定積分的定義計(jì)算解:為便于計(jì)算將[a,b]區(qū)間n

等分,整理和式為一個(gè)緊湊的形式:分點(diǎn)為：

為整理和式為一個(gè)緊湊的形式:用定義來計(jì)算定積分是很困難的.一是積分和式的整理一般是相當(dāng)困難的,

大多甚至得不到結(jié)果；二是即便能整理出一個(gè)公式,極限的計(jì)算往往也很困難.第一節(jié)§4.1.1

積分問題舉例§4.1.4

定積分的性質(zhì)§4.1.5

微積分基本公式基本概念§4.1.2

定積分的定義對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:證明:(此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況)證明:由常數(shù)可提到求和號(hào)/極限號(hào)外面來即得.常數(shù)的積分:k線性運(yùn)算的積分=積分的線性運(yùn)算---推廣到n個(gè)[a,b]上可積函數(shù)的線性組合計(jì)算.整個(gè)區(qū)間上的積分=各部分區(qū)間上積分之和證：在分割時(shí)，讓c是一個(gè)分點(diǎn)，則有令,cA2A1上式兩端同取極限即得結(jié)論成立.例如若（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則證明保號(hào)性性質(zhì)6證明保序性>>性質(zhì)7：絕對(duì)值性質(zhì)證明基本估值不等式mM基本估值不等式

x=0解:解:…..證明由介值定理,即積分中值公式的幾何解釋：平均高度——函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的積分平均值證明設(shè)證明設(shè)用定義來計(jì)算定積分是很困難的.一是積分和式的整理一般是相當(dāng)困難的,

大多甚至得不到結(jié)果的；二是即便能整理出一個(gè)公式,極限的計(jì)算往往也很困難.因此有必要尋找新的計(jì)算方法,這就首先需要了解定積分的性質(zhì)，先考察最基本的性質(zhì).第一節(jié)基本概念§4.1.1問題的提出§4.1.4定積分的性質(zhì)§4.1.5

微積分基本公式§4.1.2定積分的定義變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程函數(shù)為另一方面這段路程可表示為一、問題的提出牛頓—萊布尼茨公式考察定積分記二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的性質(zhì)證明由積分中值定理得積分上限函數(shù)的性質(zhì)可導(dǎo)，則它與積分上限函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

定理1推廣則，解證明由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，得到積分上限函數(shù)的性質(zhì)定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)證明三、牛頓—萊布尼茨公式牛頓—萊布尼茨公式證明…微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.…..用定積分的定義計(jì)算解:為便于計(jì)算將[a,b]區(qū)間n

等分,分點(diǎn)為：整理和式為一個(gè)緊湊的形式:為整理和式為一個(gè)緊湊的形式:一、問題的提出二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓—萊布尼茨公式!§4.1.3

微積分基本公式原式解解@3解由圖形可知常義積分：有限區(qū)間上有界函數(shù)的積分廣義積分：有限區(qū)間上無界函數(shù)或者函數(shù)在無限區(qū)間上積分第一節(jié)§4.1.1