排列數(shù)公式的應(yīng)用

排列數(shù)公式的應(yīng)用2.排列數(shù)的公式：其中n,m∈N，并且m≤n。排列數(shù)含義及公式：從n個不同的元素中任取m（m≤n)個不同元素，按一定的順序排成一列,叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同的元素中任取m（m≤n)個不同元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的排列數(shù)。用符號“Pnm”表示。1.排列數(shù)：Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n!(n-m)!=復(fù)習(xí)回顧排列數(shù)公式的應(yīng)用排列數(shù)公式的應(yīng)用2.排列數(shù)公式：其中n,m∈N，并且m≤n。排列數(shù)含義及公式：Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n!(n-m)!=3.全排列數(shù)與階乘：Ann=n!=n.(n-1).(n-2)….2.1(n+1)!=(n+1).n.(n-1)…..2.1=(n+1).n!2例1、學(xué)校開設(shè)語文、數(shù)學(xué)、外語、政治、物理、化學(xué)、體育7門課，如果星期六只開設(shè)4節(jié)課，體育不排在第1、4節(jié)，問有多少種排列法。解：7門課中選4門進(jìn)行排課共有A74種排法，其中體育課排在第1節(jié)有A63

種排法，體育課排在第4節(jié)也有A63

種排法，所以符合條件的排法共有：A74-2A63=600（種）.(排除法）解2：考慮體育不排在第1、4節(jié)。所以第1，4節(jié)可從6門課中選2門有A62種，則第2，3節(jié)從余下的5門中選2門有A52種，由乘法原理共有A62.A52=600（種).(特殊位置優(yōu)先考慮）解3：考慮體育不排在第1、4節(jié)?？煞謨深悾海?）體育課不排，有A64種；（2）體育課排進(jìn)有P21種，余從6門選3門有A63種，所以有A21.A63種。由加原理共有A64+A21A63=600(種）。（特殊元素優(yōu)先考慮）例1、學(xué)校開設(shè)語文、數(shù)學(xué)、外語、政治、物理、化學(xué)、體育7門課，如果星期六只開設(shè)4節(jié)課，體育不排在第1、4節(jié)，問有多少種排列法。（注）“在”與“不在”是排列問題中的兩大類問題，“在”一般用直接法（特殊元素法或特殊位置法）解決；“不在”一般采用間接法（排除法）有附加條件的排列應(yīng)用題的基本解法：有關(guān)特殊元素“在不在”特殊位置的排列問題，要先找出“受限位置”與“受限元素”，然后以“受限位置”為主，用直接法逐位排列之，有時用間接法解之。若干個元素相鄰排列問題，一般用“捆綁法”。先把相鄰的若干元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再“松綁”，將這若干個元素內(nèi)部全排列。若干個元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即先將“普通元素”全排列，然后再在排就的每兩個元素之間及兩端插入特殊元素。1）優(yōu)限法:2）捆綁法:3）插空法:4）排除法:（一般用在間接法中）2例2、有一輛客車和四輛貨車同時去某地，客車不走在最前面，問這個車隊有多少種不同的排法？

解法1：先把受限元素---客車排在后面的四個位置上，有A41

種不同的排法，再把四個一般元素---貨車分別排在其余的四個位置上，有A44

種不同的排法。根據(jù)乘法原理，共有A41.A44=96種不同的排法。

解法2：先安排受限位置，從四輛貨車中選一輛排在首位，有A41種排法，再把客車和其余三輛貨車排在后面的四個位置上，有A44種排法。根據(jù)乘法原理，共有A41.A44=96種不同的排法。

解法3:先把四輛貨車排成一列，有A44種不同的排法，再把客車插入第一輛貨車之后的四個位置上（插空法:），有A41種不同的插法。根據(jù)乘法原理，共有A41.A44=96種不同的排法。

解法4:先不考慮限制條件，把五輛車排成一列，有A55種不同的排法，其中不符合條件（客車排在首位）的排法有A44種（排除法）。因此，符合條件的排法共有A55-A44種。答：這個車隊共有96種不同的排法例3：7人站一排照相（1）若甲、乙兩人坐在兩端；丙不坐正中間的排法有多少種？（2）若甲坐最左邊，乙、丙不相鄰，有多少種排法？（3）若甲坐在首位，乙、丙必須相鄰，丁不在末位有多少種排法？解：（1）甲、乙兩人坐兩端的排列數(shù)為A22，正中間的排列數(shù)為A41，其它位置的排列數(shù)為A44，所以共有A22.A41.A44=192(種)。（優(yōu)限法）

(2)因為甲坐左位，則問題可看作為六個不同元素的排列，其中乙丙不相鄰，所以符合題意的總排列為

(3)將乙丙捆起看作一個元素，則問題為六個不同元素的排列問題，又甲必坐首位，則問題又可看作五個不同元素的排列，其中丁不在末位，排列數(shù)為A41,所以總的排列數(shù)為A44.A52(種）（插空法）或A66-A22A55=480（種）（排除法）A22.A41.A44=192(種）（捆綁法）

[例4]由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字4與5不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個數(shù)是

[分析]本題屬于帶有附加條件的排列問題，既考查排列概念，又考查分析問題的能力，由于考慮問題的切入點不同，因而可以有不同的解法[方法一]分類計算：（插空加捆綁）符合條件的五位數(shù)可分為下面三類：1)4與5之間恰有1個數(shù)字，共有個2)4與5之間恰有2個數(shù)字，共有個3)4與5之間恰有3個數(shù)字，共有個2A31.A33=362A32.A22=242A33=12因此符合條件的五位數(shù)共有36+24+12+72個72其中“2”是4與5的全排列數(shù)

[例4]由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字4與5不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個數(shù)是方法二：分步計算（插空法）第一步：將1、2、3進(jìn)行全排列，有A33==6種方法第二步：再讓4與5插入四個空中的兩個空中，共有P42=12種方法。因此，符合條件的五位數(shù)共有A33.A42=72（個）方法三：整體思維（排除法）先不考慮附加條件，那么所有的五位數(shù)應(yīng)有A55=120個。其中不符合題目條件的，即4與5相鄰的五位數(shù)共有A44.A22=48個。因此，符合條件的五位數(shù)共有A55-A44.A22=72個有附加條件的排列應(yīng)用題的基本解法：1）優(yōu)限法有關(guān)特殊元素“在不在”特殊位置的排列問題要先找出“受限位置”與“受限元素”，然后以“受限位置”為主，用直接法逐位排列之，有時用間接法解之。2）捆綁