高中數(shù)學(xué)高考2014年高考天津卷數(shù)學(xué)（理）試卷解析（精編版）（解析版）

2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）（A）（B）（C）（D）2．設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）（A）2（B）3（C）4（D）53．閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的的值為（）（A）15（B）105（C）245（D）9454．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）（A）（B）（C）（D）5．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行于直線(xiàn)：，雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的方程為（）（A）（B）（C）（D）6．如圖，是圓的內(nèi)接三角形，的平分線(xiàn)交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)．在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③；④．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④7．設(shè)，則|“”是“”的（）（A）充要不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充要又不必要條件【答案】C．【解析】第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上． 2．本卷共12小題，共110分．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線(xiàn)上．）9．某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取_______名學(xué)生．【答案】60．【解析】試題分析：應(yīng)從一年級(jí)抽取名．考點(diǎn)：等概型抽樣中的分層抽樣方法．10．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_(kāi)______．11．設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若成等比數(shù)列，則的值為_(kāi)_________．12．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是．已知，，則的值為_(kāi)______．【答案】．【解析】試題分析：∵代入得，由余弦定理得．考點(diǎn)：1．正弦定理；2．余弦定理的推論．13．在以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)．若是等邊三角形，則的值為_(kāi)__________．14．已知函數(shù)，．若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．（方法二）顯然，∴．令，則．∵，∴．結(jié)合圖象可得或．考點(diǎn)：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)．三、解答題（本題共6道大題，滿(mǎn)分80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）15．（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值．試題解析：由已知，有的最小正周期．（Ⅱ）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，，，∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為．考點(diǎn)：1．兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2．三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性．16．（本小題滿(mǎn)分13分）某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．（Ⅰ）求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；（Ⅱ）設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）隨機(jī)變量的分布列為0123數(shù)學(xué)期望．隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：1．古典概型及其概率計(jì)算公式；2．互斥事件；3．離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．17．（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若為棱上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，求二面角的余弦值．作出二面角的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求其余弦值．試題解析：（方法一）依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，，．由為棱的中點(diǎn)，得．，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，∴．（Ⅲ）如圖，在中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．∵底面，故底面，從而．又，得平面，因此．在底面內(nèi)，可得，從而．在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，于是．由于，故，∴四點(diǎn)共面．由，，得平面，故，∴為二面角的平面角．在中，，，，由余弦定理可得，．∴二面角的斜率值為．考點(diǎn)：1．空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系、直線(xiàn)與平面位置關(guān)系；2．二面角、直線(xiàn)與平面所成角的計(jì)算．18．（本小題滿(mǎn)分13分）設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該圓相切，求直線(xiàn)的斜率．有①又∵點(diǎn)在橢圓上，故②19．（本小題滿(mǎn)分14分）已知和均為給定的大于1的自然數(shù)．設(shè)集合，集合．（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（Ⅱ）設(shè)，，，其中證明：若，則．20．（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)，．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且．（Ⅰ）求的取值范圍