浙江專用2018年版高考數(shù)學大學一年級輪復習題高考專題突破四高考中的不等式問題

...wd......wd......wd...〔浙江專用〕2018版高考數(shù)學大一輪復習高考專題突破四高考中的不等式問題教師用書1．假設a，b，c∈R，且a>b，那么以下不等式一定成立的是()A．a(chǎn)＋c≥b－cB．(a－b)c2≥0C．a(chǎn)c>bcD.eq\f(c2,a－b)>0答案B解析A項：當c<0時，不等式a＋c≥b－c不一定成立；C項：c＝0時，ac＝bc；D項：c＝0時，eq\f(c2,a－b)＝0；B項：a>b?a－b>0，因為c2≥0，所以(a－b)c2≥0.應選B.2．(2016·浙江金華十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x<0，,x－1，x≥0，))那么不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是()A．{x|－1≤x≤eq\r(2)－1}B．{x|x≤1}C．{x|x≤eq\r(2)－1}D．{x|－eq\r(2)－1≤x≤eq\r(2)－1}答案C解析由題意不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等價于①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,x＋x＋1[－x＋1＋1]≤1))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋x＋1[x＋1－1]≤1，))解不等式組①得x<－1；解不等式組②得－1≤x≤eq\r(2)－1.故原不等式的解集是{x|x≤eq\r(2)－1}，選C.3．(2016·杭州質檢)假設實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x≤1，,x－2y≥0，))那么|x|＋|y|的取值范圍是________．答案[0,2]解析|x|＋|y|表示可行域內(nèi)一點到x，y軸的距離之和，作出不等式組表示的可行域，由可行域可知在(0,0)處取得最小值0，在(1，－1)處取得最大值2，所以|x|＋|y|∈[0,2]．4．假設關于x的方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有實根，那么實數(shù)a的取值范圍為________．答案[－eq\f(3,2)，eq\f(5,2)]解析由方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有實根，可得Δ＝42－4×1×(|a－2|＋|a＋1|)≥0，整理得|a－2|＋|a＋1|≤4.∵|a－2|＋|a＋1|代表數(shù)軸上的點a到2和－1兩點的距離和，易知|a－2|＋|a＋1|≤4的取值范圍為[－eq\f(3,2)，eq\f(5,2)].題型一含參數(shù)不等式的解法例1解關于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0?(ax－2)(x＋1)≥0.①當a＝0時，原不等式化為x＋1≤0?x≤－1.②當a>0時，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0?x≥eq\f(2,a)或x≤－1.③當a<0時，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.當eq\f(2,a)>－1，即a<－2時，解得－1≤x≤eq\f(2,a)；當eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2時，解得x＝－1；當eq\f(2,a)<－1，即a>－2，解得eq\f(2,a)≤x≤－1.綜上所述，當a<－2時，原不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,a)))；當a＝－2時，原不等式的解集為{－1}；當－2<a<0時，原不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，－1))；當a＝0時，原不等式的解集為(－∞，－1]；當a>0時，原不等式的解集為(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞)).思維升華解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟(1)假設二次項含有參數(shù)應討論是否等于0，小于0，和大于0，然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式．(2)判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關系．(3)當方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式．(1)假設0<a<1，那么不等式(a－x)(x－eq\f(1,a))>0的解集是______．(2)假設關于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集為R，那么實數(shù)m的取值范圍是__________．答案(1)(a，eq\f(1,a))(2)(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析(1)原不等式即為(x－a)(x－eq\f(1,a))<0，由0<a<1得a<eq\f(1,a)，∴a<x<eq\f(1,a).(2)依題意得，|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，即函數(shù)y＝|x－1|＋|x＋m|的最小值是|m＋1|，于是有|m＋1|>3，m＋1<－3或m＋1>3，由此解得m<－4或m>2.因此實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．題型二線性規(guī)劃問題例2實數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x－y－5≤0，,x＋y－4≥0，))那么z＝|x＋2y－4|的最大值為________．答案21解析方法一作出不等式組表示的平面區(qū)域．如圖中陰影局部所示．z＝|x＋2y－4|＝eq\f(|x＋2y－4|,\r(5))·eq\r(5)，那么幾何含義為陰影區(qū)域內(nèi)的點到直線x＋2y－4＝0的距離的eq\r(5)倍．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x－y－5＝0，))得點B的坐標為(7,9)，顯然，點B到直線x＋2y－4＝0的距離最大，此時zmax＝21.方法二由圖可知，陰影區(qū)域內(nèi)的點都在直線x＋2y－4＝0的上方，顯然此時有x＋2y－4>0，于是目標函數(shù)等價于z＝x＋2y－4，即轉化為一般的線性規(guī)劃問題．顯然，當直線經(jīng)過點B時，目標函數(shù)取得最大值，zmax＝21.思維升華對線性規(guī)劃問題的實際應用，關鍵是建設數(shù)學模型，要找準目標函數(shù)及兩個變量，準確列出線性約束條件，然后尋求最優(yōu)解，最后回到實際問題．(1)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))當目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2eq\r(5)時，a2＋b2的最小值為()A．5B．4C.eq\r(5)D．2(2)(2017·杭州調研)一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸．現(xiàn)庫存磷酸鹽10噸，硝酸鹽66噸，在此根基上生產(chǎn)這兩種混合肥料．如果生產(chǎn)1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤為10000元，生產(chǎn)1車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤為5000元，那么適當安排生產(chǎn)，可產(chǎn)生的最大利潤是________元．答案(1)B(2)30000解析(1)畫出滿足約束條件的可行域如以下列圖，可知當目標函數(shù)過直線x－y－1＝0與2x－y－3＝0的交點(2,1)時取得最小值，所以有2a＋b＝2eq\r(5).因為a2＋b2表示原點(0,0)到點(a，b)的距離的平方，所以eq\r(a2＋b2)的最小值為原點到直線2a＋b－2eq\r(5)＝0的距離，即(eq\r(a2＋b2))min＝eq\f(|－2\r(5)|,\r(22＋12))＝2，所以a2＋b2的最小值是4，應選B.(2)設生產(chǎn)甲種肥料x車皮，生產(chǎn)乙種肥料y車皮，那么z＝10000x＋5000y，約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y≤10，,18x＋15y≤66，,x≥0，,y≥0，))畫出可行域如以下列圖，由圖可知，在D(2,2)處z有最大值，且zmax＝10000×2＋5000×2＝30000(元)．題型三基本不等式的應用例3(1)在面積為定值9的扇形中，當扇形的周長取得最小值時，扇形的半徑是()A．3B．2C．4D．5(2)(2016·浙江五校第一次聯(lián)考)a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，那么(eq\f(a2＋1,ab)－2)·c＋eq\f(\r(2),c－1)的最小值為______．答案(1)A(2)4＋2eq\r(2)解析(1)設扇形的半徑為r，其弧長為l，由題意可得S＝eq\f(1,2)lr＝9，故lr＝18.扇形的周長C＝2r＋l≥2eq\r(2rl)＝2eq\r(2×18)＝12，當且僅當2r＝l，即r＝3，l＝6時取等號．(2)∵eq\f(a2＋1,ab)＝eq\f(a2＋a＋b2,ab)＝eq\f(2a2＋2ab＋b2,ab)＝eq\f(2a,b)＋eq\f(b,a)＋2≥2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,a))＋2＝2eq\r(2)＋2，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,b)＝\f(b,a)，,a＋b＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1，,b＝2－\r(2)))時等號成立，∴(eq\f(a2＋1,ab)－2)·c＋eq\f(\r(2),c－1)≥2eq\r(2)c＋eq\f(\r(2),c－1)＝2eq\r(2)(c－1)＋eq\f(\r(2),c－1)＋2eq\r(2)≥2eq\r(2\r(2)c－1·\f(\r(2),c－1))＋2eq\r(2)＝4＋2eq\r(2)，當且僅當2eq\r(2)(c－1)＝eq\f(\r(2),c－1)，即c＝1＋eq\f(\r(2),2)時，等號成立．綜上，所求最小值為4＋2eq\r(2).思維升華(1)應用型問題解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建設數(shù)學模型．(2)應用基本不等式求最值要注意檢驗等號成立的條件，不要無視問題的實際意義．(1)設x，y均為正實數(shù)，且eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1，那么xy的最小值為()A．4B．4eq\r(3)C．9D．16(2)某棟樓的建筑成本由土地使用權費和材料工程費構成，土地使用權費為2000元/m2；材料工程費在建造第一層時為400元/m2，以后每增加一層費用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面積的成本費最低，那么應把樓盤的樓房設計成________層．答案(1)D(2)10解析(1)由eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均為正實數(shù)，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2eq\r(xy)(當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立)，即xy－2eq\r(xy)－8≥0，解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，故xy的最小值為16.(2)設應把樓房設計成x層，每層有面積ym2，那么平均每平方米建筑面積的成本費為k＝eq\f(2000y＋y×400＋y×440＋…＋y×[400＋40x－1],xy)＝eq\f(2000,x)＋20x＋380≥2eq\r(\f(2000,x)·20x)＋380＝780，當且僅當eq\f(2000,x)＝20x，即x＝10時取等號，故應把樓房設計成10層．題型四絕對值不等式例4設不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集為M.(1)求集合M；(2)假設x∈M，|y|≤eq\f(1,6)，|z|≤eq\f(1,9)，求證：|x＋2y－3z|≤eq\f(5,3).(1)解①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1，,－2x≤2))?x∈?；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,2≤2))?－1≤x≤1；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,2x≤2))?x∈?，綜上所述，不等式的解集即集合M為[－1,1]．(2)證明|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(5,3)，∴|x＋2y－3z|≤eq\f(5,3).思維升華(1)解絕對值不等式可以利用絕對值的幾何意義，零點分段法、平方法、構造函數(shù)法等．(2)利用絕對值三角不等式可以證明不等式或求取值．(1)(2016·杭州質檢)函數(shù)f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c，假設存在正常數(shù)m，使f(m)＝0，那么不等式f(x)<f(m)的解集是________．(2)不等式|x－2|＋|x＋1|≥a對于任意x∈R恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍為__________．答案(1)(－m，m)(2)(－∞，3]解析(1)由|－x－5|＋|－x＋3|＋|－x－3|＋|－x＋5|＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當－3≤x≤3，得f(x)的最小值為16－c.結合題意可得c≥16.由f(m)＝0得f(x)<f(m)，即|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c<0，結合圖形可知，解集為(－m，m)．(2)當x∈(－∞，－1]時，|x－2|＋|x＋1|＝2－x－x－1＝1－2x≥3；當x∈(－1,2)時，|x－2|＋|x＋1|＝2－x＋x＋1＝3；當x∈[2，＋∞)時，|x－2|＋|x＋1|＝x－2＋x＋1＝2x－1≥3，綜上可得|x－2|＋|x＋1|≥3，∴a≤3.1．解關于x的不等式x2－(2＋m)x＋2m<0.解原不等式可化為(x－2)(x－m)<0.①當m>2時，不等式(x－2)(x－m)<0的解集為{x|2<x<m}；②當m<2時，不等式(x－2)(x－m)<0的解集為{x|m<x<2}；③當m＝2時，不等式(x－2)(x－m)<0的解集為?.綜上所述：當m>2時，不等式的解集為{x|2<x<m}；當m<2時，不等式的解集為{x|m<x<2}；當m＝2時，不等式的解集為?.2．函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－6x＋9)＋eq\r(x2＋8x＋16).(1)求f(x)≥f(4)的解集；(2)設函數(shù)g(x)＝k(x－3)，k∈R，假設f(x)>g(x)對任意的x∈R都成立，求k的取值范圍．解(1)f(x)＝eq\r(x2－6x＋9)＋eq\r(x2＋8x＋16)＝eq\r(x－32)＋eq\r(x＋42)＝|x－3|＋|x＋4|，∵f(x)≥f(4)，即|x－3|＋|x＋4|≥9，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－4，,3－x－x－4≥9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4<x<3，,3－x＋x＋4≥9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3，,x－3＋x＋4≥9，))解得x≤－5或x≥4，∴f(x)≥f(4)的解集為{x|x≤－5或x≥4}．(2)f(x)>g(x)，即f(x)＝|x－3|＋|x＋4|的圖象恒在g(x)＝k(x－3)圖象的上方，又∵f(x)＝|x－3|＋|x＋4|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－1，x≤－4，,7，－4<x<3，,2x＋1，x≥3，))g(x)＝k(x－3)的圖象恒過定點P(3,0)，作函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的圖象如圖，其中kPB＝2，A(－4,7)，∴kPA＝－1，由圖可知，要使得f(x)的圖象恒在g(x)圖象的上方，那么需－1<k≤2，∴實數(shù)k的取值范圍為(－1,2]．3．某小型工廠安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸所需要的原材料A，B，C的數(shù)量和一周內(nèi)可用資源數(shù)量如下表所示：原材料甲(噸)乙(噸)資源數(shù)量(噸)A1150B40160C25200如果甲產(chǎn)品每噸的利潤為300元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為200元，那么應如何安排生產(chǎn)，工廠每周才可獲得最大利潤解設工廠一周內(nèi)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，所獲周利潤為z元．依據(jù)題意，得目標函數(shù)為z＝300x＋200y，約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,4x≤160，,2x＋5y≤200，,y≥0，,x≥0，))欲求目標函數(shù)z＝300x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先畫出約束條件的可行域，如圖中陰影局部所示，那么點A(40,0)，B(40,10)，C(eq\f(50,3)，eq\f(100,3))，D(0,40)．作直線3x＋2y＝0，當移動該直線過點B(40,10)時，3x＋2y取得最大值，那么z＝300x＋200y取得最大值(也可通過代入凸多邊形端點進展計算，比較大小求得)．故zmax＝300×40＋200×10＝14000.所以工廠每周生產(chǎn)甲產(chǎn)品40噸，乙產(chǎn)品10噸時，才可獲得最大周利潤，最大利潤為14000元．4．(2016·全國丙卷)函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a.(1)當a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集；(2)設函數(shù)g(x)＝|2x－1|.當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍．解(1)當a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}．(2)當x∈R時，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，當x＝eq\f(1,2)時等號成立，所以當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3等價于|1－a|＋a≥3.①當a≤1時，①等價于1－a＋a≥3，無解．當a＞1時，①等價于a－1＋a≥3，解得a≥2.