2023年高考安徽理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔安徽卷〕數(shù)學(xué)〔理科〕第一卷〔選擇題共50分〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．〔1〕【2023年安徽，理1，5分】設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．假設(shè)，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】設(shè)，那么由得，即，所以，，所以，，即，應(yīng)選A．〔2〕【2023年安徽，理2，5分】如下列圖，程序框圖〔算法流程圖〕的輸出結(jié)果是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】開始，，；返回，，，；返回，，，；返回，不成立，輸出，應(yīng)選D．〔3〕【2023年安徽，理3，5分】在以下命題中，不是公理的是〔〕〔A〕平行于同一個平面的兩個平面相互平行〔B〕過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面〔C〕如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)〔D〕如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【答案】A【解析】由立體幾何根本知識知，B選項為公理2，C選項為公理1，D選項為公理3，A選項不是公理，應(yīng)選A．〔4〕【2023年安徽，理4，5分】“〞是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增〞的〔〕〔A〕充分不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件【答案】C【解析】函數(shù)的圖象有以下三種情形：由圖象可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增時，，應(yīng)選C．〔5〕【2023年安徽，理5，5分】某班級有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生．隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93．以下說法一定正確的是〔〕〔A〕這種抽樣方法是一種分層抽樣〔B〕這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣〔C〕這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差〔D〕該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)【答案】C【解析】解法一：對A選項，分層抽樣要求男女生總?cè)藬?shù)之比=男女生抽樣人數(shù)之比，所以A選項錯；對B選項，系統(tǒng)抽樣要求先對個體進行編號再抽樣，所以B選項錯；對C選項，男生方差為40，女生方差為30．所以C選項正確；對D選項，男生平均成績?yōu)?0，女生平均成績?yōu)?1．所以D選項錯，應(yīng)選C．解法二：五名男生成績的平均數(shù)為，五名女生成績的平均數(shù)為，五名男生成績的方差為，五名女生成績的方差為，所以，應(yīng)選C．〔6〕【2023年安徽，理6，5分】一元二次不等式的解集為，那么的解集為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】由題意知，所以，應(yīng)選D．〔7〕【2023年安徽，理7，5分】在極坐標系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由題意可知，圓可化為普通方程為．所以圓的垂直于軸的兩條切線方程分別為和，再將兩條切線方程化為極坐標方程分別為和，應(yīng)選B．〔8〕【2023年安徽，理8，5分】函數(shù)的圖象如下列圖，在區(qū)間上可找到個不同的數(shù)，使得，那么的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】可化為，故上式可理解為圖象上一點與坐標原點連線的斜率相等，即可看成過原點的直線與的交點個數(shù)．如下列圖，由數(shù)形結(jié)合知識可得，①為，②為，③為，應(yīng)選B．〔9〕【2023年安徽，理9，5分】在平面直角坐標系中，是坐標原點，兩定點，滿足，那么點集所表示的區(qū)域的面積是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】以，為鄰邊作一個平行四邊形，將其放置在如圖平面直角坐標系中，使，兩點關(guān)于軸對稱，由，可得出，點，點，點，現(xiàn)設(shè)，那么由得，即，由于，，可得，畫出動點滿足的可行域為如圖陰影局部，故所求區(qū)域的面積為，應(yīng)選D．〔10〕【2023年安徽，理10，5分】假設(shè)函數(shù)有極值點，，且，那么關(guān)于的方程的不同實根個數(shù)是〔〕〔A〕3〔B〕4〔C〕5〔D〕6【答案】A【解析】由得，或，即的根為或的解．如下列圖由圖象可知有2個解，有1個解，因此的不同實根個數(shù)為3，應(yīng)選A．第二卷〔非選擇題共100分〕二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．〔11〕【2023年安徽，理11，5分】假設(shè)將函數(shù)的圖像向右平移個單位，所得圖像關(guān)于軸對稱，那么的最小正值是．【答案】【解析】∵的通項為，∴，解得．∴，得．〔12〕【2023年安徽，理12，5分】設(shè)的內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，．假設(shè)，，那么角．【答案】【解析】∵，∴．①又∵，②∴由①②可得，，，∴，∴．〔13〕【2023年安徽，理13，5分】直線交拋物線于，兩點．假設(shè)該拋物線上存在點，使得為直角，那么的取值范圍為．【答案】【解析】如圖，設(shè)，，，那么，．∵，∴，即，，∴，∴．〔14〕【2023年安徽，理14，5分】如圖，互不相同的點A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等．設(shè)．假設(shè)，，那么數(shù)列的通項公式是．【答案】【解析】設(shè)，∵，，，∴，．又易知，∴．∴．∵所有梯形的面積均相等，且，∴．∴，∴．〔15〕【2023年安徽，理15，5分】如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為．那么以下命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號)．①當時，為四邊形；②當時，為等腰梯形；③當時，與的交點滿足；④當時，為六邊形；⑤當時，的面積為【答案】①②③⑤【解析】當時，，，所以，又因為，所以②正確；當時，截面為，且為四邊形，故①也正確，如圖〔1〕所示；如〔2〕圖，當時，由得，即，，故③正確；如圖〔3〕所示，當時，截面為五邊形，所以④錯誤；當時，截面為，可知，，且四邊形為菱形，四邊形，故⑤正確．圖〔1〕圖〔2〕圖〔3〕三、解答題：本大題共6題，共75分．解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．〔16〕【2023年安徽，理16，12分】函數(shù)的最小正周期為．〔1〕求的值；〔2〕討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性．解：〔1〕．因為的最小正周期為，且，從而有，故．〔2〕由〔1〕知，．假設(shè)，那么．當即時，單調(diào)遞增；當即時，單調(diào)遞減．綜上可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．〔17〕【2023年安徽，理17，12分】設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間．〔1〕求的長度(注：區(qū)間的長度定義為；〔2〕給定常數(shù)，當時，求長度的最小值．解：〔1〕因為方程有兩個實根，，故的解集為．因此區(qū)間，的長度為．〔2〕設(shè)，那么．令，得．，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．所以當時，的最小值必定在或處取得．而，故．因此當時，在區(qū)間上取得最小值．〔18〕【2023年安徽，理18，12分】設(shè)橢圓E：的焦點在軸上．〔1〕假設(shè)橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；〔2〕設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內(nèi)的點，直線交軸于點，并且．證明：當變化時，點在某定直線上．解：〔1〕因為焦距為1，所以，解得．故橢圓的方程為．〔2〕設(shè)，，，其中．由題設(shè)知，那么直線的斜率，直線的斜率，故直線的方程為．當時，，即點坐標為．因此，直線的斜率為．由于，所以．化簡得．①將①代入方程，由于點在第一象限，解得，，即點在定直線上．〔19〕【2023年安徽，理19，13分】如圖，圓錐頂點為，底面圓心為，其母線與底面所成的角為，和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為．〔1〕證明：平面與平面的交線平行于底面；〔2〕求．解：〔1〕設(shè)面與面的交線為．，不在面內(nèi)，所以面．又因為面，面與面的交線為，所以．由直線在底面上而在底面外可知，與底面平行．〔2〕設(shè)CD的中點為．連接，．由圓的性質(zhì)，，．因為底面，底面，所以．又，故面．又面，因此面面．從而直線在面上的射影為直線，故為與面所成的角．．設(shè)，那么．根據(jù)題設(shè)有，得．由和，得，因此．在中，，故．〔20〕【2023年安徽，理20，13分】設(shè)函數(shù)．證明：〔1〕對每個，存在唯一的，滿足；〔2〕對任意，由〔1〕中構(gòu)成的數(shù)列滿足．解：〔1〕對每個，當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．由于，當時，，故．又，所以存在唯一的，滿足．〔2〕當時，，故．由在內(nèi)單調(diào)遞增知，，故為單調(diào)遞減數(shù)列，從而對任意，．對任意，由于，①．②①式減去②式并移項，利用，得．因此，對任意，都有．〔21〕【2023年安徽，理21，13分】某高校數(shù)學(xué)系方案在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責(zé)．該系共有位學(xué)生，每次活動均需該系位學(xué)生參加(和都是固定的正整數(shù))．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到．記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為．〔1〕求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；〔2〕求使取得最大值的整數(shù)．解：〔1〕因為事件：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息〞與事件：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息〞是相互獨立的事件，所以與相互獨立．由于，故，因此學(xué)生甲收到活動通知信息的概率．〔2〕當時，只能取，有．當時，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者．