大學(xué)物理課課件第5章-剛體的定軸轉(zhuǎn)動

本章題頭LwIw剛體的剛體的定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動

第5章本章內(nèi)容本章內(nèi)容運動學(xué)剛體的定軸轉(zhuǎn)動機械能守恒定律角動量守恒定律剛體力學(xué)習(xí)題●

練習(xí)7剛體運動學(xué)、轉(zhuǎn)動慣量●

練習(xí)8剛體轉(zhuǎn)動定律●

練習(xí)9轉(zhuǎn)動的功和能、剛體角動量

運動學(xué)5-1ssss剛體及其平動形狀固定的質(zhì)點系（含多個質(zhì)點、不形變、理想固體）。剛體：物體在運動過程中大小和形狀不發(fā)生改變，這樣的理想模型叫剛體。平動

剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的

相同，可當作質(zhì)點處理。rrva剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動

剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且該轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。OO平動

剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的相同，可當作質(zhì)點處理。rrva定軸轉(zhuǎn)動

剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運動

剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點運動

剛體上各質(zhì)點都以某一定點為球心的各個球面上運動。一般運動

復(fù)雜的轉(zhuǎn)動與平動的混合。剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的運動剛體其它運動定軸轉(zhuǎn)動物理量剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動方程qq()t,wdq轉(zhuǎn)動方向用矢量表示或時，它們與剛體的轉(zhuǎn)動方向采用右螺旋定則wdq1.角位置q描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量描述剛體（上某點）的位置2.角位移qr描述剛體轉(zhuǎn)過的大小和方向rt0rqdq,dq,剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)參考方向Xpp剛體中任一點pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0靜止w常量勻角速w變角速描述剛體轉(zhuǎn)動的快慢和方向，常量是轉(zhuǎn)動狀態(tài)量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動方程qq()t,wdq轉(zhuǎn)動方向用矢量表示或時，它們與剛體的轉(zhuǎn)動方向采用右螺旋定則wdq1.角位置q描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量描述剛體（上某點）的位置2.角位移qr描述剛體轉(zhuǎn)過的大小和方向rt0rqdq,dq,剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)參考方向Xpp剛體中任一點pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0靜止w常量勻角速w變角速描述剛體轉(zhuǎn)動的快慢和方向，常量是轉(zhuǎn)動狀態(tài)量。續(xù)描述剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變4.角加速度b的快慢和改變的方向tddwbtddq22常量b勻角加速b0勻角速變角加速b()tb常量因剛體上任意兩點的距離不變，故剛體上各點的相同。wb,OO定軸轉(zhuǎn)動的只有wdq,同和反兩個方向，故OOwdq,,b也可用標量wdq,,b（其中的正和負表方向）代替。定軸轉(zhuǎn)動參量剛體轉(zhuǎn)軸1.角位置q轉(zhuǎn)動平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrp參考方向Xpp剛體中任一點p剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度wwtdqwdw0w常量靜止勻角速()tww變角速4.角加速度btddwb變角加速b()tb常量b勻角加速b0勻角速,wdq轉(zhuǎn)動方向用矢量表示或時，它們與剛體的轉(zhuǎn)動方向采用右螺旋定則wdq描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量轉(zhuǎn)動方程求導(dǎo)例題單位：qrqdqrad,w-1rads,b-2rads例已知求()tqp+05t21p+pt2w()tb()trad)(

50p

51p

52p

53pw1rads0213tsqrad100p150p03st

50pp12b2rads0213tsp解法提要tdqwd05p+ptw()ttddwb-1rads()b()tp-2rads(),,勻角加速定軸轉(zhuǎn)動線量與角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動剛體在某時刻t的瞬時角速度為，瞬時角加速度為，例bw已知求剛體中一質(zhì)點P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點P

的大小rPPrOOw

瞬時線速度v瞬時切向加速度atna瞬時法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2這是定軸轉(zhuǎn)動中線量與角量的基本關(guān)系qdqddsds解法提要dsqdr積分求轉(zhuǎn)動方程例已知求w()t()tq任意時刻的b()tkk0恒量且

t

=0時w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212勻角加速定軸轉(zhuǎn)動的角位移方程勻角加速定軸轉(zhuǎn)動的運動方程公式對比質(zhì)點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt勻速直線運動ssvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動qwt勻變速直線運動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt第2節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)

剛體的定軸轉(zhuǎn)動5-2ssss剛體轉(zhuǎn)動定律引言剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動定律質(zhì)點的運動定律或剛體平動F

=

m

a慣性質(zhì)量合外力合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動，服從怎樣的運動定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動慣量FrM叉乘右螺旋M

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F合外力矩

外力在轉(zhuǎn)動平面上對轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動M

=

r

×

F111力矩切向1Ft1M2M1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩與合外力矩方向轉(zhuǎn)動定律某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifcosqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬時角速度w角加速度瞬時b等式兩邊乘以ri

并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消=0+riifcosqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、剛體的轉(zhuǎn)動定律某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmirib等式兩邊乘以ri

并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用表示稱為轉(zhuǎn)動慣量I轉(zhuǎn)動慣量tnrmirmiFiOrifiijqi瞬時角速度w角加速度瞬時b二、剛體的轉(zhuǎn)動定律Mbrrmirmii∑2()=bIM剛體的轉(zhuǎn)動定律即bMIMI剛體所獲得的角加速度

的大小與剛體受到的

b合外力矩的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量及其計算Mb=I將剛體轉(zhuǎn)動定律與質(zhì)點運動定律F=am對比轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度II∑rmiriri2

與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求Ir

為體積元

dV

處的密度rVdVrmdIr2m2I的單位為m2kg分立質(zhì)點的算例轉(zhuǎn)動慣量的計算舉例可視為分立質(zhì)點結(jié)構(gòu)的剛體m12m轉(zhuǎn)軸Or1r2

若連接兩小球（視為質(zhì)點）的輕細硬桿的質(zhì)量可以忽略，則Irmiriri2∑m1r12+2mr22轉(zhuǎn)軸O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細桿對中垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2勻直細桿對端垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO質(zhì)心新軸質(zhì)心軸r,L

平行軸定理對新軸的轉(zhuǎn)動慣量IO對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量ICr新軸對心軸的平移量例如：rL2時代入可得I端31mL25、平行軸定理*

若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為

Ic，則剛體對與該軸相距為

d的平行軸z

的轉(zhuǎn)動慣量

Iz

為mR稱為平行軸定理如圖，若則：圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的I

取半徑為微寬為的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m球體算例勻質(zhì)實心球?qū)π妮S的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量的迭加Id距為、半徑為、微厚為Oyydr的薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22I=m

R123I=m

L1轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直其它典型RRRR12RRLba勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12勻質(zhì)細圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I

=

m

R

2勻質(zhì)細圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I

=2m

R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I

=(R1

+

R2

)22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mI

=

R

+

22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I

=2m

R3轉(zhuǎn)動定律例題一三、轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用選例bIM合外力矩應(yīng)由各分力矩進行合成。合外力矩與合角加速度方向一致。bM在定軸轉(zhuǎn)動中，可先設(shè)一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為負。MMb與時刻對應(yīng)，何時何時b則何時，M00b則何時M恒定恒定。例

勻直細桿一端為軸水平靜止釋放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0轉(zhuǎn)動定律例題二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22轉(zhuǎn)動平動線-角聯(lián)立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考慮有轉(zhuǎn)動摩擦力矩

Mr,則轉(zhuǎn)動式為(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再聯(lián)立求解。轉(zhuǎn)動定律例題三例Rm1m細繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度b細繩線加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g轉(zhuǎn)動定律例題四Rm1m2m例已知m=12kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要對m1m2m分別應(yīng)用和質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)22

(rad)求()tqq物體從靜止開始運動時，滑輪的轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動定律例題五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq從等傾角處靜止釋放兩勻直細桿地面求兩者瞬時角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根據(jù)1L1LLL2短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)第3節(jié)機械能守恒定律

機械能守恒定律5-3ssss轉(zhuǎn)動動能wOviviririrmirmi∑剛體中任一質(zhì)元的速率rmirmiviviririw該質(zhì)元的動能Erik21rmivi221rmiririw22對所有質(zhì)元的動能求和EkErik21rmiriri2w2()∑轉(zhuǎn)動慣量

IEk21Iw2得剛體轉(zhuǎn)動動能公式轉(zhuǎn)動動能1、力矩的功z§5.3轉(zhuǎn)動中的功和能

剛體在外力作用下轉(zhuǎn)過一微小角位移。力的作用點的位移為在上的元功為：

剛體在外力矩M作用下轉(zhuǎn)過一有限角位移時，力矩的總功2、剛體的轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能定理剛體中任意一質(zhì)元的動能：剛體的轉(zhuǎn)動動能：miz定軸轉(zhuǎn)動的動能定理即：合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。把質(zhì)點系動能定理應(yīng)用于剛體質(zhì)點系動能定理

對剛體，因為，換成外力矩的功，平動動能換成轉(zhuǎn)動動能,就得到剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理含平動的轉(zhuǎn)動問題功能原理

+rE機械A(chǔ)外A非保守內(nèi)力(E動+)E勢(E動+)E勢00()E平動+E轉(zhuǎn)動()E+E00平動轉(zhuǎn)動平動動能重力勢能轉(zhuǎn)動動能Ek21mv2Ek21Iw2Epmgch轉(zhuǎn)動力矩所做元功dAhMqd動能定理例題二解法提要外力作的總功gmA02pL2qdcosq從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本題gL3利用vrw的關(guān)系還可算出此時桿上各點的線速度已知例水平位置靜止釋放求擺至垂直位置時桿的wGqw00wgmO？Lm,()勻直細桿一端為軸第4節(jié)角動量守恒定律

角動量守恒定律5-4ssss角動量定理角動量定理角動量定理角動量定理（微分形式）（積分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量

所有質(zhì)點都以其垂軸距離為半徑作圓周運動任一質(zhì)元（視為質(zhì)點）的質(zhì)量mri其角動量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部質(zhì)元的總角動量L∑Liw∑2mriri()wI對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體L∑LiwwIm2r()d定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量LwI定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量大小方向L與同繞向wLw或與沿軸同指向角動量是剛體所有質(zhì)點對公共轉(zhuǎn)軸的角動量的疊加剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律角動量守恒定律剛體的角動量定理由MLtdd所受合外力矩M0若則Ltdd0即LIw常矢量

當剛體所受的合外力矩等于零時，MIw

剛體的角動量保持不變。剛體的角動量守恒定律角動量守恒的另一類現(xiàn)象角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Iw變大，乘積保持不變，Iw變大則Iw變小。收臂大小Iw

用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰中常見的例子角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Iw變大，乘積保持不變，Iw變大則Iw變小。收臂大小Iw

用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰收臂大小Iw張臂Iw大小先使自己轉(zhuǎn)動起來收臂大小Iw共軸系統(tǒng)的角動量守恒共軸系統(tǒng)若0IMwS外則LSi恒矢量Sii輪、轉(zhuǎn)臺與人系統(tǒng)I輪I人臺初態(tài)全靜LSi初0人沿某一轉(zhuǎn)向撥動輪子w輪末態(tài)w人臺I輪w輪LSi末+I人臺w人臺LSi初0得I人臺w人臺I輪w輪導(dǎo)致人臺反向轉(zhuǎn)動直升飛機防旋措施直升飛機防止機身旋動的措施用兩個對轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干CH47)165用尾漿（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）守恒例題一wA靜已知例AIB