第八章 區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)第八章區(qū)間估計(jì)第8

章置信區(qū)間估計(jì)1.區(qū)間估計(jì)的基本概念2.置信區(qū)間的基本概念3.總體均值的區(qū)間估計(jì)4.總體比例的區(qū)間估計(jì)5.樣本容量的確定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.總體均值的區(qū)間估計(jì)2.總體比例的區(qū)間估計(jì)3.樣本容量的確定第一節(jié)區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)如前所述，點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)點(diǎn)（即一個(gè)數(shù)）去估計(jì)未知參數(shù)。顧名思義，區(qū)間估計(jì)就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知參數(shù)，即把未知參數(shù)值估計(jì)在某兩個(gè)界限之間。例如，估計(jì)明年GDP增長(zhǎng)在7％～8％之間，比說(shuō)增長(zhǎng)8％更容易讓人們相信，因?yàn)榻o出7％～8％已把可能出現(xiàn)的誤差考慮到了。所謂區(qū)間估計(jì)，就是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，用一個(gè)具有一定可靠程度的區(qū)間范圍來(lái)估計(jì)總體參數(shù)。區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)我們通過(guò)把點(diǎn)估計(jì)值減去和加上一個(gè)被稱為邊際誤差或極限誤差（估計(jì)誤差）的值，可以構(gòu)建總體參數(shù)的一個(gè)區(qū)間估計(jì)。形式如下：

點(diǎn)估計(jì)值±邊際誤差（極限誤差）邊際誤差或極限誤差是指以樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)所允許的最大誤差范圍。體現(xiàn)了估計(jì)精度的高低。邊際誤差的確定以及所構(gòu)造區(qū)間的可靠程度的分析就需要借助統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布這方面的重要知識(shí)。區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)與點(diǎn)估計(jì)不同，進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量。下面以總體均值的區(qū)間估計(jì)為例來(lái)說(shuō)明區(qū)間估計(jì)的基本原理。我們已經(jīng)知道，無(wú)論總體分布如何，在大樣本的條件下，來(lái)自該總體的所有容量為n的樣本的均值x也服從正態(tài)分布，x

的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即，

x

～N(μ,σ2/n)區(qū)間估計(jì)的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x區(qū)間估計(jì)的圖示Z01.96-1.96Tm+=sXZX95%2.5%2.5%區(qū)間估計(jì)的圖示(未知)x1.96

x95%1.96

xx2±x1±x3±1.96

x1.96

x1.96

x邊際誤差（極限誤差）邊際誤差（極限誤差）區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)從同一總體按同一樣本容量可以抽取很多種樣本組合。由不同的樣本組合得到不同的樣本均值，每個(gè)樣本均值都可加減1.96x構(gòu)成一個(gè)區(qū)間。但這些區(qū)間并不是都能把總體均值包含在內(nèi)。只有在抽樣分布圖中處在陰影區(qū)域的任意一個(gè)樣本均值才能夠構(gòu)造一個(gè)包含總體均值在內(nèi)的區(qū)間。由于所有可能的樣本均值有95%處在陰影區(qū)域內(nèi)，故樣本均值加減1.96x所形成的所有區(qū)間中也有95%的區(qū)間會(huì)包括總體均值在內(nèi)。一般地，如果將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，所有可能構(gòu)建的區(qū)間中能夠包含真實(shí)總體參數(shù)的區(qū)間個(gè)數(shù)占所有可能區(qū)間的比例稱為置信水平。也稱為置信度或置信系數(shù)。（前面的95%就是一個(gè)置信水平）一般來(lái)說(shuō)，置信度可以用（1-α）×100%表示，其中α是區(qū)間估計(jì)的顯著性水平，是所有可能構(gòu)建的區(qū)間中不包含真實(shí)總體參數(shù)的區(qū)間個(gè)數(shù)占所有可能區(qū)間的比例。α的取值大小由實(shí)際問(wèn)題確定。經(jīng)常取為0.01，0.05，0.10，相應(yīng)的常用置信水平為

99%,95%,90%。第二節(jié)置信水平

(confidencelevel)

置信區(qū)間是由樣本估計(jì)量構(gòu)造出的總體參數(shù)在一定置信水平下的估計(jì)區(qū)間。區(qū)間的最小值稱為置信下限，最大值稱為置信下限。如果用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中有95%的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，5%的區(qū)間不包含總體參數(shù)的真值，那么，用該方法構(gòu)造的區(qū)間稱為置信水平為95%的置信區(qū)間。同樣，其他置信水平的區(qū)間也可以用類似的方式進(jìn)行表述置信區(qū)間的表述

(confidenceinterval)總體參數(shù)的真值是固定的，而用樣本構(gòu)造的區(qū)間則是不固定的，因此置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，它會(huì)因樣本的不同而變化，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)。實(shí)際估計(jì)時(shí)往往只抽取一個(gè)樣本，此時(shí)所構(gòu)造的是與該樣本相聯(lián)系的一定置信水平(比如95%)下的置信區(qū)間，這是一個(gè)特定區(qū)間，而不是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，所以無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值。我們只能希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)。置信區(qū)間的表述

(confidenceinterval)一個(gè)特定的區(qū)間總是“包含”或“絕對(duì)不包含”參數(shù)的真值，不存在“以多大的概率包含總體參數(shù)”的問(wèn)題。置信水平只是告訴我們?cè)诙啻喂烙?jì)得到的區(qū)間中大概有多少個(gè)區(qū)間包含了參數(shù)的真值，而不是針對(duì)所抽取的這個(gè)樣本所構(gòu)建的區(qū)間而言的。置信區(qū)間的表述

(confidenceinterval)影響區(qū)間寬度的因素1. 數(shù)據(jù)的離散程度，用來(lái)測(cè)度樣本容量，3. 置信水平(1-)，影響

Z的大小置信水平與置信區(qū)間的關(guān)系

（區(qū)間估計(jì)的精度與可靠度的關(guān)系）第三節(jié)總體均值和總體比例

的區(qū)間估計(jì)一.總體均值的區(qū)間估計(jì)二.總體比例的區(qū)間估計(jì)樣本容量的確定總體均值的區(qū)間估計(jì)

總體均值的區(qū)間估計(jì)

(２已知)總體均值的置信區(qū)間

(２已知)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（２）已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來(lái)近似

(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為

點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)

（正態(tài)總體：實(shí)例）解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14,n=9,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

總體均值的置信區(qū)間為我們可以95％的概率保證該種零件的平均長(zhǎng)度在21.302～21.498mm之間【例】某種零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽?。辜瑴y(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差

=0.15mm，試建立該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)

（非正態(tài)總體：實(shí)例）解：已知x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ/2=1.96我們可以95％的概率保證平均每天參加鍛煉的時(shí)間在24.824～27.176分鐘之間【例】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以95％的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方差為36小時(shí)）。總體均值的區(qū)間估計(jì)

(２未知)總體均值的置信區(qū)間

(２未知)1. 假定條件總體方差（２）未知總體必須服從正態(tài)分布使用t分布統(tǒng)計(jì)量3.總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

（實(shí)例）解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我們可以95％的概率保證總體均值在46.69～53.30之間【例】從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，n=25

，其均值`x=

50

，標(biāo)準(zhǔn)差s=8。建立總體均值m

的95%的置信區(qū)間?？傮w均值區(qū)間估計(jì)小結(jié)

總體均值區(qū)間估計(jì)小結(jié)

總體均值區(qū)間估計(jì)小結(jié)

總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)我們?cè)趯?shí)際工作中時(shí)常會(huì)碰到對(duì)總體比例的估計(jì)問(wèn)題。例如：企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)想知道本企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中合格品率是多少？商店經(jīng)理想了解對(duì)他們服務(wù)滿意的顧客在全部顧客中所占的比率等等。想了解某人群中男女的比例是多少？想了解某產(chǎn)品的普及率是多少？民意調(diào)查中支持某候選人的比例是多少？總體比例的置信區(qū)間1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3.總體比例Ｐ

的置信區(qū)間為總體比例的置信區(qū)間總體比例的置信區(qū)間

（實(shí)例）解：已知n=200，＝0.7,n=140>5,n(1-)=60>5，=0.95，Ｚ/2=1.96p

p

p

我們可以95％的概率保證該企業(yè)職工由于同管理人員不能融洽相處而離開(kāi)的比例在63.6%~76.4%之間【例】某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動(dòng)原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)選取了200人組成一個(gè)樣本。在對(duì)其進(jìn)行訪問(wèn)時(shí)，有140人說(shuō)他們離開(kāi)該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試對(duì)由于這種原因而離開(kāi)該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間?？傮w比例的置信區(qū)間總體方差的區(qū)間估計(jì)1. 估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布總體方差

2

的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且4.總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體方差的區(qū)間估計(jì)

(圖示)221-2總體方差的1-的置信區(qū)間自由度為n-1的2總體方差的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3總體方差的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區(qū)間為

該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g~13.43g一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

(小結(jié))樣本容量的確定樣本容量的確定前面的分析都是在給定的樣本容量和樣本數(shù)據(jù)下求置信區(qū)間。但在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)當(dāng)在隨機(jī)抽樣前就確定所需要抽樣的樣本容量。抽取的樣本容量過(guò)大，雖然可以提高統(tǒng)計(jì)推斷的精度，但將增加不必要的人力、物力、費(fèi)用和時(shí)間開(kāi)支。如果抽取的樣本容量過(guò)小，則又會(huì)使統(tǒng)計(jì)推斷的誤差過(guò)大，推斷結(jié)果就達(dá)不到必要的精度要求。樣本容量的確定

由前面的論述，我們已知參數(shù)估計(jì)中的精度要求與可靠性要求常常是一對(duì)矛盾。但是，通過(guò)增加樣本容量N有可能降低枰相平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，從而實(shí)現(xiàn)既保證一定的估計(jì)精度，又具有較高的置信度的目的，這時(shí)，需要考慮在給定的置信度與極限誤差的前提下，樣本容量N究竟取多大合適？確定樣本容量的原則：在滿足所需要置信度和允許誤差條件（置信區(qū)間的d值）下，確定所需要的最低樣本容量。估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定E估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定（一）總體方差已知，有放回的抽樣這時(shí)有：上式兩邊平方整理得（一）總體方差已知，不放回的抽樣這時(shí)有：上式兩邊平方整理得估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定1。樣本量n與總體方差2、估計(jì)誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為與總體方差成正比與估計(jì)誤差的平方成反比與可靠性系數(shù)成正比估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定樣本量的圓整法則：當(dāng)計(jì)算出的樣本量不是整數(shù)時(shí)，將小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)值一律進(jìn)位成整數(shù)，如24.68取25，24.32也取25等等樣本容量的確定

（實(shí)例）解:已知2=1800000，=0.05，Z/2=1.96，=500

應(yīng)抽取的樣本容量為【例】一家廣告公想估計(jì)某類商店去年所花的平均廣告費(fèi)用有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約為1800000元。如置信度取95%，并要使估計(jì)處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？根據(jù)比例區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定

p^其中：（一）有放回抽樣估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定（二）不放回抽樣使用上述公式應(yīng)注意的問(wèn)題

1.計(jì)算樣本容量時(shí)，總體的方差與成數(shù)常常是未知的，這時(shí)可用有關(guān)資料替代：一是用歷史資料已有的方差與成數(shù)代替；二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗(yàn)性調(diào)查，用試驗(yàn)中方差的最大值代替總本方差；三是比例方差在完全缺乏資料的情況下，用就比例方差的最大可能值0.25代替。使用上述公式應(yīng)注意的問(wèn)題

2.如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，需要同時(shí)估計(jì)總體均值與比例，可用上面的公式同時(shí)度算出兩個(gè)樣本容量，取其中較大的結(jié)果，同時(shí)滿足兩方面的需要。3。上面公式計(jì)算結(jié)果如果帶小數(shù)，這時(shí)樣本容量不按四舍五入法則取整數(shù)，取比這個(gè)數(shù)大的最小整數(shù)代替。例如，計(jì)算得到n=56.03，那么樣本容量取57，而不是56。樣本容量的確定

（實(shí)例）【例】一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某地區(qū)有彩色電視機(jī)的家庭所占的比例。該公司希望對(duì)比例p的估計(jì)誤差不超過(guò)0.05，要求的可靠程度為95%，應(yīng)抽多大容量的樣本（沒(méi)有可利用的p估計(jì)值）。解:

已知=0.05，=0.05，Z/2=1.96，當(dāng)p未知時(shí)用最大方差0.25代替^應(yīng)抽取的樣本容量為估計(jì)總體比例時(shí)樣本量的確定

(例題分析)【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要求估計(jì)誤差為5%，在求95%的置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品作為樣本？解:已知=90%，=0.05，z/2=1.96，E=5%

應(yīng)抽取的樣本量為

應(yīng)抽取139個(gè)產(chǎn)品作為樣本第四節(jié)兩個(gè)總體均值及兩個(gè)

總體比例之差估計(jì)一.兩個(gè)總體均值之差估計(jì)二.兩個(gè)總體比例之差估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布

m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量n1計(jì)算X1抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量n2計(jì)算X2計(jì)算每一對(duì)樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22

已知)1. 假定條件兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來(lái)近似(n130和n230)兩個(gè)獨(dú)立樣本均值之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，其期望值為其標(biāo)準(zhǔn)誤差為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22

已知)兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Z兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（實(shí)例）【例】一個(gè)銀行負(fù)責(zé)人想知道儲(chǔ)戶存入兩家銀行的錢(qián)數(shù)。他從兩家銀行各抽取了一個(gè)由25個(gè)儲(chǔ)戶組成的隨機(jī)樣本，樣本均值如下：銀行A：4500元；銀行B:3250元。設(shè)已知兩個(gè)總體服從方差分別為A2=2500和B2=3600的正態(tài)分布。試求A-B的區(qū)間估計(jì)（1）置信度為95%（2）置信度為99%BA兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）解:已知

XA~N(A,2500)

XB~N(B,3600)xA=4500，xB=3250，

A2=2500

B2=3600

nA=nB

=25(1)

A-B置信度為95%的置信區(qū)間為(2)

A-B置信度為99%的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22未知，但相等)假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布12、12未知，但12＝12總體方差2的聯(lián)合估計(jì)量為估計(jì)量x1-x2的標(biāo)準(zhǔn)差為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22未知，但相等)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（實(shí)例）【例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個(gè)人結(jié)算賬目的平均時(shí)間長(zhǎng)度，分別給兩位職員隨機(jī)安排了10位顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時(shí)間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時(shí)間均服從正態(tài)分布，且方差相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)時(shí)間之差的95%的區(qū)間估計(jì)。21兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）解:已知

X1~N(1,2)

X2~N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，

s12=16.63s22=18.92

n1=n2=1012=121-2置信度為95%的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12

、22未知，且不相等)假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布12、12未知，且1212使用的統(tǒng)計(jì)量為自由度兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22未知，且不相等)

兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（續(xù)前例）【例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個(gè)人結(jié)算賬目的平均時(shí)間長(zhǎng)度，分別給兩位職員隨機(jī)安排了10位顧客，并記錄下了為每位顧客辦理賬單所需的時(shí)間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時(shí)間均服從正態(tài)分布，但方差不相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)時(shí)間之差的95%的區(qū)間估計(jì)。12兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）

自由度f(wàn)為1-2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知

X1~N(1,2)

X2~N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，

s12=16.63s22=18.92

n1=n2=101212兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)1. 假定條件兩個(gè)總體是獨(dú)立的兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似2. 兩個(gè)總體比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

（實(shí)例）【例】某飲料公司對(duì)其所做的報(bào)紙廣告在兩個(gè)城市的效果進(jìn)行了比較，它們從兩個(gè)城市中分別隨機(jī)地調(diào)查了1000個(gè)成年人，其中看過(guò)廣告的比例分別為p1=0.18和p2=0.14。試求兩城市成年人中看過(guò)廣告的比例之差的95%的置信區(qū)間。^^綠色健康飲品兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）P1-P2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知

p1=0.18，p2=0.14，1-=0.95，n1=n2=1000^^我們有95%的把握估計(jì)兩城市成年人中看過(guò)該廣告的比例之差在0.79%~7.21%之間第五節(jié)正態(tài)總體方差及兩正

態(tài)總體方差比的估計(jì)一.正態(tài)總體方