仿真4離散化處理方法

主講教師：姜萍第四章連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化處理方法

第三章的數(shù)值積分方法較成熟，計(jì)算精度高,但算法復(fù)雜，計(jì)算量大。在一些要求速度較高的實(shí)時(shí)仿真或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制器算法，就跟不上速度的要求，就需要一些快速計(jì)算方法。 本章介紹對(duì)連續(xù)系統(tǒng)模型進(jìn)行離散化處理，得到一個(gè)“等效”的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的離散化模型，便于計(jì)算機(jī)求解，運(yùn)行速度較快，又稱為“快速計(jì)算方法”。連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化方法主要有替換法和離散相似法。４.1替換法主要內(nèi)容簡(jiǎn)單替換法雙線性替換法4.2離散相似法z域離散相似法時(shí)域離散相似法4.３根匹配法４.1替換法

替換法的基本思想：

對(duì)給定的連續(xù)系統(tǒng)模型g(s)，設(shè)法找到Ｓ域到Ｚ域的某種映射關(guān)系，將Ｓ域的變量映射到Ｚ平面上，由此得到與連續(xù)系統(tǒng)g(s)相對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)Ｇ(z)。然后，再由Ｇ(z)通過Ｚ反變換得到系統(tǒng)的時(shí)域離散模型——差分方程，從而快速求解。傳遞函數(shù)是控制系統(tǒng)應(yīng)用最廣泛的模型描述形式，連續(xù)系統(tǒng)為Ｓ域的傳遞函數(shù)g(s)，離散系統(tǒng)為Ｚ域的脈沖傳遞函數(shù)Ｇ(z)。g(s)

Ｇ(z)差分方程根據(jù)Ｚ變換理論，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射關(guān)系是：或其中Ｔ是采樣周期若直接將這個(gè)映射關(guān)系代入Ｇ(s)得到g(z)將會(huì)很復(fù)雜，不便于計(jì)算，實(shí)際應(yīng)用中是利用Ｚ變換理論的基本映射關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，得到近似的離散模型。

4.1.1簡(jiǎn)單替換法

用此式代入Ｇ(s)就得到g(z)，這就是簡(jiǎn)單替換法，又稱euler法。由冪級(jí)數(shù)展開式： 取近似式： 或：進(jìn)行z反變換得差分方程例：二階連續(xù)系統(tǒng)

分別用簡(jiǎn)單替換法和歐拉法建立差分方程。解：代入g(s)1、簡(jiǎn)單替換法為何簡(jiǎn)單替換法又稱euler法？是多步法還是單步法利用前向歐拉法的矩陣形式先將傳遞函數(shù)化成一階微分方程組2、歐拉法為了與簡(jiǎn)單替換法比較，再化為僅有y的差分方程形式，消去

4.1.2雙線性替換法

用此式代入Ｇ(s)就得到g(z)，這就是雙線性替換法，又稱tustin變換。相當(dāng)于數(shù)值積分法中的梯形法，有較好的性能。取近似式：或：

由于高階線性系統(tǒng)總可以分解成幾個(gè)積分環(huán)節(jié)的某些線性組合，以下用一個(gè)積分環(huán)節(jié)來說明雙線性替換法與梯形法是等效的?？梢?，雙線性替換法與數(shù)值積分法中的梯形法等效。用梯形公式：用雙線性替換：進(jìn)行z反變換：例：二階連續(xù)系統(tǒng)

用雙線性替換法建立差分方程。解：代入g(s)雙線性替換：進(jìn)行z反變換得差分方程4.2離散相似法離散相似法將連續(xù)系統(tǒng)模型處理成與之等效的離散模型的一種方法。設(shè)計(jì)一個(gè)離散系統(tǒng)模型，使其中的信息流與給定的連續(xù)系統(tǒng)中的信息流相似?；蛘呤歉鶕?jù)給定的連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，通過具體的離散化方法，構(gòu)造一個(gè)離散化模型，使之與連續(xù)系統(tǒng)等效。4.2.1離散相似法的概念離散化模型的精度，取決于采樣周期的大小以及保持器的精度

離散化過程中，輸入輸出加以Ｔ為采樣周期的采樣開關(guān)。

僅有采樣開關(guān)，y*不能完全體現(xiàn)y(t)的變化規(guī)律，還要在輸入采樣開關(guān)后加保持器以使u(t)不失真。

常用保持器有：零階保持器、一階保持器、三角保持器。

常用保持器的傳遞函數(shù)：

零階保持器一階保持器三角保持器是理想保持器，物理上不可實(shí)現(xiàn)。實(shí)際中用滯后一拍的三角保持器由于連續(xù)系統(tǒng)常用兩種形式描述：頻域：傳遞函數(shù)時(shí)域：狀態(tài)空間表達(dá)式相應(yīng)離散相似法也有兩種形式：傳遞函數(shù)離散相似處理得離散傳遞函數(shù)（z域離散化法）狀態(tài)空間表達(dá)式離散相似處理得離散狀態(tài)空間表達(dá)式（時(shí)域離散化法）4.2.2z域離散相似法連續(xù)系統(tǒng)模型一、基本方法離散化模型

u(t)經(jīng)采樣后是離散信號(hào)，加保持器gh(s)后，將離散信號(hào)轉(zhuǎn)化成連續(xù)信號(hào)，并作用于連續(xù)系統(tǒng)g(s)上輸出。離散模型

例：連續(xù)系統(tǒng)為一慣性環(huán)節(jié)以零階保持器采用離散相似法求出差分方程解：零階保持器

z變換表

f(s)f(z)差分方程：采用Ｚ域離散相似法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理的步驟：１、畫出連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖；２、適當(dāng)?shù)奈恢眉尤氩蓸娱_關(guān)，選擇合適的保持器;３、將保持器傳遞函數(shù)與連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)，通過Ｚ變換求得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；４、通過Ｚ反變換求得差分方程；５、根據(jù)差分方程編制仿真程序。１、積分環(huán)節(jié)二、典型環(huán)節(jié)離散相似模型１）選用零階保持器離散化傳遞函數(shù)Ｚ反變換得差分方程：同數(shù)值積分法的前向eular相當(dāng)積分環(huán)節(jié)的微分方程：２）選用一階保持器離散化傳遞函數(shù)

z變換表

f(s)f(z)Ｚ反變換得差分方程：對(duì)積分環(huán)節(jié)采用一階保持器進(jìn)行離散相似化后所得模型，與數(shù)值積分中的顯式二階adams法一致?？梢姴捎貌煌谋３制?，得到的離散模型是不同的，精度也不同，實(shí)際應(yīng)用中常采用零階保持器。２.一階環(huán)節(jié)（慣性環(huán)節(jié)、超前－滯后環(huán)節(jié)）１）選用零階保持器離散化傳遞函數(shù)

z變換表

f(s)f(z)Ｚ反變換得差分方程：若取則得4.2.３時(shí)域離散相似法連續(xù)系統(tǒng)模型一、狀態(tài)空間表達(dá)式的離散相似法狀態(tài)方程的解采用零階保持器對(duì)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行離散化處理對(duì)于連續(xù)解變量替換由于采用零階保持器保持不變Ｂ是常數(shù)陣令則離散化狀態(tài)方程：這是用零階保持器得到的離散狀態(tài)方程。例：則用零階保持器的離散狀態(tài)方程：請(qǐng)用零階保持器得到離散狀態(tài)方程。解：連續(xù)狀態(tài)方程：最終得：其中t為采樣周期，選定合適的采樣周期，并確定系統(tǒng)參數(shù)a，則可進(jìn)行程序設(shè)計(jì)。離散化狀態(tài)方程的求取關(guān)鍵在的積分問題，若輸入函數(shù)復(fù)雜，積分很難計(jì)算。保持器是將離散信號(hào)復(fù)原為連續(xù)信號(hào)，實(shí)際是采樣時(shí)刻之間輸入函數(shù)的差值問題，通過保持器將復(fù)雜的輸入函數(shù)轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單函數(shù)，便于積分計(jì)算。選擇的保持器不同，得到的復(fù)原連續(xù)信號(hào)也不同。零階保持器信號(hào)復(fù)原特性零階保持器保持不變一階保持器信號(hào)復(fù)原特性一階保持器最終用一階保持器得到的離散狀態(tài)方程：三角保持器信號(hào)復(fù)原特性三角保持器計(jì)算中要用到可見，這就是實(shí)際不能實(shí)現(xiàn)的原因滯后一拍三角保持器信號(hào)復(fù)原特性滯后一拍三角保持器代入下式計(jì)算同理得：4.３根匹配法由控制理論，連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布情況和增益決定。4.３.1根匹配法的基本思想根匹配法就是構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)于連續(xù)傳遞函數(shù)的離散傳遞函數(shù)，使兩者零點(diǎn)、極點(diǎn)相匹配，并且具有相同的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值。設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為構(gòu)造離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)其中g(shù)(s),g(z)中的滿足一定的匹配關(guān)系是為實(shí)現(xiàn)g(z)與g(s)幅值與相位的最佳匹配而附加上去的附加零點(diǎn)。是根據(jù)終值相同而確定的增益。１、g(z)與g(s)具有相同數(shù)目的極點(diǎn)、零點(diǎn)；4.3.2連續(xù)傳遞函數(shù)與離散傳遞函數(shù)的動(dòng)態(tài)匹配一、實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)匹配需考慮的問題２、g(z)具有與g(s)的極點(diǎn)、零點(diǎn)相匹配的極點(diǎn)、零點(diǎn)；３、g(z)具有與g(s)終值相匹配的終值；４、調(diào)節(jié)相位，使g(z)和g(s)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)達(dá)到最佳匹配。１、確定連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)g(s)；二、根匹配法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)離散化的步驟２、將g(s)寫成零極點(diǎn)增益形式３、將Ｓ平面上的零極點(diǎn)映射到Ｚ平面上；４、利用求得的Ｚ平面的零極點(diǎn)寫出以確定零極點(diǎn)暫不考慮附加零點(diǎn)，kz待定５、確定連續(xù)系統(tǒng)在單位階