質(zhì)點與質(zhì)點系的動量矩

§12–1質(zhì)點與質(zhì)點系的動量矩§12–2動量矩定理§12–3剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程§12–4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量§12–5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理§12–6剛體平面運動微分方程第十二章動量矩定理1質(zhì)點質(zhì)點系動量定理：動量的改變外力（外力系主矢）

動量矩定理建立了質(zhì)點和質(zhì)點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點軸）之矩兩者之間的關系。質(zhì)心運動定理：質(zhì)心的運動外力（外力系主矢）物體在移動時運動與受力之間的關系－動量定理。物體在轉(zhuǎn)動中運動的量與受力之間的關系－動量矩定理例：勻質(zhì)圓盤，質(zhì)心C

在轉(zhuǎn)軸上。動量：質(zhì)心無運動所以，動量不能反應轉(zhuǎn)動的問題。而：2§12-1質(zhì)點與質(zhì)點系的動量矩一．質(zhì)點的動量矩力對軸z

的之矩：

代數(shù)量力對點O之矩在z軸上的投影：復習：力對點O之矩3質(zhì)點對軸z

的動量矩：代數(shù)量質(zhì)點對點O動量矩：質(zhì)點的動量對點O之矩在z軸上的投影：單位：kg·ｍ2/s。動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉(zhuǎn)動的強弱。質(zhì)點的動量對點O之矩質(zhì)點對點O動量矩在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩：4二．質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系對軸z動量矩：各質(zhì)點對同一z軸動量矩的代數(shù)和。剛體動量矩計算：1．平動剛體對點O的動量矩：平動剛體對軸z動量矩：質(zhì)點系對點O動量矩：各質(zhì)點對點O動量矩的矢量和。52．剛體繞z軸轉(zhuǎn)動的動量矩：3．平面運動剛體1．平動剛體對點O的動量矩：平動剛體對固定點（軸）的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點（軸）的動量矩。定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。平動剛體對軸z動量矩：平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。6例題1例題

動量矩定理解：運動分析滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1，

滑輪B：m2，R2，J2；物體C：m3

求:系統(tǒng)對O軸的動量矩。A輪：定軸轉(zhuǎn)動C物：平動B輪：平面運動逆時針7§12-2動量矩定理一．質(zhì)點的動量矩定理兩邊叉乘矢徑,有左邊可寫成

質(zhì)點對任一固定點的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一點之矩。這就是質(zhì)點對固定點的動量矩定理。故：8

將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影，得

上式稱質(zhì)點對固定軸的動量矩定理，也稱為質(zhì)點動量矩定理的投影形式。即質(zhì)點對任一固定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一軸之矩。稱為質(zhì)點的動量矩守恒。若則常矢量若則9試用動量矩定理導出單擺(數(shù)學擺)的運動微分方程。已知單擺m，l，t=0時=0，從靜止開始釋放。OφvA例題2例題

動量矩定理10

把單擺看成一個在圓弧上運動的質(zhì)點

A，。又設在任一瞬時質(zhì)點

A具有速度

v

，擺線

OA與鉛垂線的夾角是

。對通過懸點

O而垂直于運動平面的固定軸

z作為矩軸，應用質(zhì)點的動量矩定理由于動量矩和力矩分別是解：OφvA和例題2例題

動量矩定理從而可得11化簡即得單擺的運動微分方程例題2例題動量矩定理微幅擺動時，解微分方程,并代入初始條件則運動方程，擺動周期并令OφvA12注：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應一致（本題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正）質(zhì)點動量矩定理的應用：

在質(zhì)點受有心力的作用時。質(zhì)點繞某心（軸）轉(zhuǎn)動的問題。13質(zhì)點系對任一固定點的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一點之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．質(zhì)點系的動量矩定理左邊交換求和與導數(shù)運算的順序:一質(zhì)點系對固定點的動量矩定理對質(zhì)點系，有對質(zhì)點Mi：將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影，得而:則:14

上式稱為質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理。即質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。

質(zhì)點系的動量矩守恒

當時，常矢量。當時，常量。

動量矩定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點系的動量矩，只有外力才能改變質(zhì)點系的動量矩。15

動畫動量矩定理參見動畫：爬繩比賽的力學分析(1)16

動畫動量矩定理參見動畫：爬繩比賽的力學分析(2)17

動畫動量矩定理參見動畫：挺身式跳遠的騰空動作18滑輪、重物

A和

B連接如圖示。定滑輪對水平轉(zhuǎn)軸

O的轉(zhuǎn)動慣量是

JO

；定滑輪的半徑是

r。繩端懸掛的重物

A和

B

重量分別是

PA

和

PB

，且

PA

>

PB

。試求定滑輪的角加速度。例題3例題動量矩定理19解:

取定滑輪，重物

A,B和繩索為研究對象。系統(tǒng)的動量矩由三部分組成，等于考慮到

v

=r

，則得外力主矩僅由重力

PA和

PB產(chǎn)生，有例題3例題動量矩定理對定滑輪的轉(zhuǎn)軸

z(垂直于圖面向外)應用動量矩定理，有20將表達式(b)和(c)

代入方程(a)，即得從而求出定滑輪的角加速度方向為逆鐘向。例題3例題動量矩定理21

摩擦離合器靠接合面的摩擦進行傳動。在接合前，已知主動軸

1

以角速度0轉(zhuǎn)動，而從動軸

2

處于靜止(圖a)。一經(jīng)結(jié)合，軸

1

的轉(zhuǎn)速迅速減慢，軸

2

的轉(zhuǎn)速迅速加快，兩軸最后以共同角速度

轉(zhuǎn)動(圖b)。已知軸

1

和軸

2

連同各自的附件對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別是

J1

和

J2

，試求接合后的共同角速度

，軸承的摩擦不計。

0

1

2

2

1(a)(b)例題4例題動量矩定理22例題4例題動量矩定理參見動畫：動量矩定理－例題423解：

取軸1和軸2組成的系統(tǒng)作為研究對象。接合時作用在兩軸的外力對公共轉(zhuǎn)軸的矩都等于零。故系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的總動量矩不變。接合前，系統(tǒng)的動量矩是

(J1

0+J2

0)。離合器接合后，系統(tǒng)的動量矩是(J1+J2)。故由動量矩守恒定律得從而求得結(jié)合后的共同角速度顯然

的轉(zhuǎn)向與

0相同。例題4

0

1

2

2

1(a)(b)例題動量矩定理24

小球A，B以細繩相連。質(zhì)量皆為m，其余構(gòu)件質(zhì)量不計。忽略摩擦，系統(tǒng)繞z軸自由轉(zhuǎn)動，初始時系統(tǒng)的角速度為ω0。當細繩拉斷后，求各桿與鉛垂線成θ角時系統(tǒng)的角速度ω。ω0zaallABωzaaθθllAB例題5例題動量矩定理25例題5例題動量矩定理參見動畫：動量矩定理－例題526

此系統(tǒng)所受的重力和軸承的約束力對于轉(zhuǎn)軸的矩都等于零，因此系統(tǒng)對于轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。當θ=0時，動量矩當θ≠

0時，動量矩因為Lz1=Lz2，得解:ωzaaθθllABω0zaallAB例題動量矩定理例題527

高爐運送礦石用的卷揚機如圖所示。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，輪繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動貫量為J，軌道的傾角為θ。設繩的質(zhì)量和各處摩擦均忽略不計，求小車的加速度a。θOMωW1vW2FN例題6例題動量矩定理28

取小車與鼓輪組成質(zhì)點系，視小車為質(zhì)點。以順時針為正，此質(zhì)點系對O軸的動量矩為受力分析：力偶M，重力W1和W2，軸承O的約束力FOx和FOy，軌道對小車的約束力FN。θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN解：而W2t

=P2

sin

θ=m2gsin

θ，則系統(tǒng)外力對O軸的矩為W1，F(xiàn)Ox，F(xiàn)Oy對O軸力矩為零。將W2沿軌道及其垂直方向分解為W2t和W2N，W2N與FN相抵消。例題動量矩定理例題629由質(zhì)點系對O軸的動量矩定理，有因

，，于是解得若

，則,小車的加速度沿斜坡向上。例題動量矩定理例題6θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN30§12-3剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體—剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程解決兩類問題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運動定理求解。代入質(zhì)點系動量矩定理，有312）．若常量，則=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。1）．若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止。

特殊情況：32§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量一．轉(zhuǎn)動慣量的定義：

剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則

轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。二．轉(zhuǎn)動慣量的計算

１．積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）33

勻質(zhì)細直桿長為l,質(zhì)量為m。

求：1）對z軸的轉(zhuǎn)動慣量；2）對z'軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：例題5例題動量矩定理34

勻質(zhì)細圓盤半徑為R,質(zhì)量為m。求：1）對O點的轉(zhuǎn)動慣量；2）對x軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：例題6例題動量矩定理352.回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長度稱為剛體對

z軸的回轉(zhuǎn)半徑。

對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關，與密度無關。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。

在機械工程設計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標準化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。剛體的回轉(zhuǎn)半徑相當與將所有質(zhì)量集中在離軸距離為位置上363.平行移軸定理

同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。

剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。由公式可知：剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。37

證明：設質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，例如，對于例1中均質(zhì)細桿z'軸的轉(zhuǎn)動慣量為剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。38

當物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動慣量,然后再加起來就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負值來處理。4．計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法39例題7例題動量矩定理

鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l；

均質(zhì)圓盤：m2,R。求JO

。解：40例題8例題動量矩定理

提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;輪A上作用常力矩M1。求：物體C上升的加速度。41例題8例題動量矩定理2)輪B與物體C：補充運動學條件化簡(1)得：化簡(2)得：解:1)輪A:42

飛輪對O的轉(zhuǎn)動慣量為JO，以角速度ωO繞水平的O軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。制動時，閘塊給輪以正壓力FN。已知閘塊與輪之間的滑動摩擦系數(shù)為fs，輪的半徑為R，軸承的摩擦忽略不計。求制動所需的時間t。OωO例題9例題動量矩定理43

以輪為研究對象。受力分析：作用于輪上的力FN，摩擦力F和重力W、軸承約束力。取逆時針方向為正，剛體的轉(zhuǎn)動微分方程為將上式積分，并根據(jù)已知條件確定積分上下限，得由此解得解：OωOFFNFOxFOyW例題9例題動量矩定理44§12-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理一．質(zhì)點系動量矩

質(zhì)點系相對于質(zhì)心和固定點的動量矩定理，具有完全相似的數(shù)學形式，而對于質(zhì)心以外的其它動點，一般并不存在這種簡單的關系。二．質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理

質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩的改變，只與作用在質(zhì)點系上的外力有關，而與內(nèi)力無關。45§12–6剛體平面運動微分方程

設有一平面運動剛體具有質(zhì)量對稱平面，力系可以簡化為該平面內(nèi)的一個力系。取質(zhì)量對稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)。

取質(zhì)心C為動系原點，則此平面運動可分解為

1）隨質(zhì)心C的平動

(xC,yC)2）

繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動

（）可通過質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理來確定。46寫成投影形式或上式稱為平面運動微分方程。47

勻質(zhì)圓柱的質(zhì)量是

m

，半徑是

r，從靜止開始沿傾角是φ的固定斜面向下滾動而不滑動，斜面與圓柱的靜摩擦系數(shù)是

fs

。試求圓柱質(zhì)心

C

的加速度，以及保證圓柱滾動而不滑動的條件。例題10例題動量矩定理48平移純滾動連滾帶滑例題動量矩定理例題10參見動畫：動量矩定理－例題10(1、2、3)49解:

圓柱在圖示力作用下由靜止開始作平面運動。令它的鉛直對稱面重合于坐標平面

Oxy，軸

x沿斜面向下，則有圓柱平面運動的三個微分方程可寫成由于圓柱只滾動而不滑動，故有運動學關系aC=r

(d)例題動量矩定理maC=mgsinφ

－F(a)0=FN－mgcosφ

(b)JC=Fr(c)例題1050當圓柱只滾不滑時，滑動摩擦力必須滿足

F

≤fsFN

，代入求出的

F，

和

FN，則得從而求得圓柱滾動而不滑動的條件聯(lián)立求解以上四個方程，并考慮到

JC=mr2/2

，就得到aC=2gsinφ

/3,FN=mgcosφ,F=mgsinφ

/3tan

φ

≤3fs例題動量矩定理例題1051

質(zhì)量為m半徑為r的滑輪（可視作均質(zhì)圓盤）上繞有軟繩，將繩的一端固定于點A而令滑輪自由下落如圖示。不計繩子的質(zhì)量，求輪心C的加速度和繩子的拉力。CrvCωA例題11例題動量矩定理52例題11例題動量矩定理參見動畫：動量矩定理－例題1153取滑輪和軟繩組成的系統(tǒng)為對象，畫出受力圖。

滑輪的運動可看作沿過點A的鉛垂線向下作純滾動，滾動角速度，滾動角加速度。解：應用質(zhì)心運動定理沿鉛垂軸的投影，得在列寫第二個方程時，可以任意選用以下方法中的一種：(a)1.

列寫對固定軸Az的動量矩定理。CrmgFωA例題11例題

動量矩定理54聯(lián)立求解式（a），（b），得到2.列寫對平移軸Cz的動量矩定理。再代入式（a）解得將，,，代入上式，得即（b）例題11例題動量矩定理CrmgFωA55

起重裝置由勻質(zhì)鼓輪D（半徑為R，重為W1）及均質(zhì)梁AB（長l=4R，重W2=W1）組成，鼓輪通過電機C（質(zhì)量不計）安裝在梁的中點，被提升的重物E重。電機通電后的驅(qū)動力矩為M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的約束力FNA及FNB。OABACDE例題12例題動量矩定理561.考慮鼓輪D，重物E及與鼓輪固結(jié)的電機轉(zhuǎn)子所組成的系統(tǒng)（圖b），M為電機定子作用在轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩，對固定點O的應用動量矩定理得解：O(b)WMODEW1其中解得例題12例題動量矩定理572.考慮整個系統(tǒng)（圖c），注意驅(qū)動力矩為M系統(tǒng)內(nèi)力。對點B應用動量矩定理得OAB(C)WW2FNAACDEFNBW1解得例題12例題動量矩定理58對整個系統(tǒng)應用動量定理得OAB(b)WW2FNAACDEFNBW1(c)解得例題12例題第4章

動量矩定理59

勻質(zhì)細桿

AB

的質(zhì)量是

m，長度是

2l，放在鉛直面內(nèi)，兩端分別沿光滑的鉛直墻壁和光滑的水平地面滑動。假設桿的初位置與墻成交角

0，初角速度等于零；試求桿沿鉛直墻壁下滑時的角速度和角加速度

以及桿開始脫離墻壁時它與墻壁所成的角度

1

。xyOφABCyx例題13例題動量矩定理60例題動量矩定理例題1361解:

在

A端脫離墻壁以前，受力如圖所示。桿作平面運動，取坐標系

Oxy，則桿的運動微分方程可寫成xyOFAFBmgφCvABCyx由幾何關系知例題動量矩定理例題1362xyOFAFBmgφCvABCyx將式(d)和(e)對時間求導，得把(f)和(g)分別代入(a)和(b)，再把

FA和

FB的值代入(c)最后得桿

AB的角加速度例題動量矩定理例題1363xyOFAFBmgφCvABCyx利用關系把上式化成積分求得桿

AB的角速度例題動量矩定理例題1364當桿即將脫離墻時，F(xiàn)A→0。以FA=0代入(a)，再根據(jù)(f)得把(h)和(i)的表達式在

=1時的值代入上式，得關系整理后，求得桿開始脫離墻時與墻所成的夾角例題動量矩定理例題1365一．基本概念1．動量矩：某瞬時物體繞點轉(zhuǎn)動時機械運動強弱的一種度量。2．質(zhì)點的動量矩：3．質(zhì)點系的動量矩：4．轉(zhuǎn)動慣量：物體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。

對于均勻直桿，細圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量要熟記。第十二章動量矩定理習題課662)

若，則常量。5．剛體動量矩計算平動：定軸轉(zhuǎn)動：二．質(zhì)點的動量矩定理及守恒

1．質(zhì)點的動量矩定理2．質(zhì)點的動量矩守恒1)若，則常矢量。平面運動：67三．質(zhì)點系的動量矩定理及守恒

1．質(zhì)點系的動量矩定理2．質(zhì)點系的動量矩守恒四．質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理2)

若，則常量。1)若，則常矢量。68五．剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運動微分方程

1．剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程2．剛體平面運動微分方程或69六．動量矩定理的應用

應用動量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對單軸傳動系統(tǒng)尤為方便）1．已知質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動運動，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2．已知質(zhì)點系所受的外力矩是常力矩或時間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。3．已知質(zhì)點所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，應用動量矩守恒定理求角速度或角位移。70七．應用舉例[例1]

均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為f

'，滾阻不計，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需要的時間。解：研究對象:圓柱;剛體平面運動微分方程123補充方程：4

受力分析如圖示;運動分析：質(zhì)心C不動，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。71將4式代入1、2兩式，有將上述結(jié)果代入3式，有解得：123補充方程：472[例2]

兩根質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)細桿固連成T字型，可繞通過O點的水平軸轉(zhuǎn)動，當OA處于水平位置時,T形桿具有角速度

=4rad/s。求該瞬時軸承O的反力。解：一、“T”字型桿四、由定軸轉(zhuǎn)動微分方程二、受力分析：三、運動分析：定軸轉(zhuǎn)動