工科高等代數(shù)：行列式計(jì)算

1重要結(jié)論及公式2行列式計(jì)算主要方法及典型例題⒈對(duì)角線法則

對(duì)于二階和三階行列式，可以用對(duì)角線法則求其值。⒉一些特殊行列式的值⑴上（下）三角行列式等于其主對(duì)角線元素的積⑵關(guān)于次對(duì)角行列式，其計(jì)算公式為⑶范德蒙（Vandermonde）行列式性質(zhì)1

行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等。性質(zhì)2

兩行(列)互換位置，行列式值變號(hào)。推論兩行(列)相同，行列式值為0。性質(zhì)3

某行(列)的公因子k可以提到行列式外面來。推論1

常數(shù)乘行列式等于此常數(shù)乘行列式的任一行(列)；推論2

兩行(列)對(duì)應(yīng)成比例，行列式值為0；推論3

某行(列)元素全為0，行列式值為0；⒊行列式的基本性質(zhì)性質(zhì)4

如果某行(列)的所有元素都是兩個(gè)數(shù)的和，則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同。性質(zhì)5

某行(列)各元素的k倍加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變。設(shè)⒋行列式按行（列）展開定理則其中是元素的代數(shù)余子式。⒌有關(guān)行列式的重要公式

行列式一行(列)各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即⒍Cramer法則

對(duì)于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組如果其系數(shù)行列式，則方程組有唯一解其中是把中第列的元素?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)后所得到行列式，即⒈行列式的計(jì)算

對(duì)于具體給出的行列式，常采用性質(zhì)5等對(duì)行列式進(jìn)行恒等變形，以期新的行列式中能出現(xiàn)較多的零元素，從而化為三角行列式直接求其值或按行(列)展開降低行列式的階數(shù)。求行列式的方法很多，應(yīng)針對(duì)不同的行列式類型采用最便捷的方法。類型一兩條線行列式方法：直接展開降階例1

計(jì)算n階行列式解按第一列展開練習(xí)：計(jì)算n階行列式類型二箭型行列式方法：用對(duì)角線上的元素消去非零行（列）的元素。例2

計(jì)算解類型三三對(duì)角行列式方法：直接展開得兩項(xiàng)遞推關(guān)系式例3

計(jì)算階三對(duì)角行列式解一般地，若導(dǎo)出的遞推關(guān)系式為則可先將其轉(zhuǎn)化為進(jìn)行遞推得記做其中為一元二次方程的兩根.然后再利用依次遞推求出.練習(xí)（1997.10）二計(jì)算n階行列式類型四

行(列)和相等的行列式－－各列(行)加到第一列(行)或第n列(行)，再化為三角行列式。例4

計(jì)算階三對(duì)角行列式（1997.6）解類型五

除對(duì)角元(或次對(duì)角元)外，其余元素相同或成比例的行列式－－升階法(加邊法)例5

計(jì)算階行列式（1998.12）分析如果直接運(yùn)用性質(zhì)5，也可以直接變形為箭型行列式解練習(xí)：計(jì)算n階行列式類型六利用范德蒙行列式的結(jié)果例6

設(shè)多項(xiàng)式，證明若有n＋1個(gè)互異零點(diǎn)，則恒為零。證明

設(shè)的n＋1個(gè)互異的零點(diǎn)為，即。則由得以為未知數(shù)的該方程組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置，即由克萊姆法則知，上述齊次線性方程組只有唯一零解，即，則⒉有關(guān)代數(shù)余子式的計(jì)算n階行列式有個(gè)代數(shù)余子式，且每一個(gè)代數(shù)余子式都是n－1階行列式，直接計(jì)算比較復(fù)雜，通常采用重要公式：例7

已知求第一行各元素的代數(shù)余子式之和練習(xí)(2006.5)則已知四階行列式證⒊克拉默法則例9有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮70克，磷8克，鉀2克；乙種化肥每千克含氮64克，磷10克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮70克，磷5克，鉀1.4克．若把此三種化肥混合，要求