有限元之平面剛架

第二章有限元法的直接方法

第一節(jié)

有限元法的思路

我們以壓桿問題為例來說明有限元法的基本思路。圖示結(jié)構(gòu)，我們將桿件看成是連接三個(gè)節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)單元，首先看單元①，由材料力學(xué)公式△

可得到桿件一端位移為1，另一端位移為0時(shí)所需加的力，同理對(duì)單元②同樣處理（所有節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力均向右為正）。第一節(jié)

有限元法的思路由作用和反作用定律可知，節(jié)點(diǎn)1、2、3的受力如圖所示。第一節(jié)

有限元法的思路由節(jié)點(diǎn)平衡有即第一節(jié)

有限元法的思路寫成矩陣形式

引入邊界條件得

第一節(jié)

有限元法的思路由此可求出節(jié)點(diǎn)位移，如果需要求約束反力，可由前面三個(gè)方程中的第一個(gè)方程求出。由以上實(shí)例分析，我們可以看到有限元法的基本思路如下：

1簡化計(jì)算簡圖（建立力學(xué)模型）；

2將結(jié)構(gòu)離散成在節(jié)點(diǎn)處聯(lián)結(jié)的各個(gè)單元體（有限元模型）；

3編排單元號(hào)碼與節(jié)點(diǎn)號(hào)碼；

4將非節(jié)點(diǎn)菏載移置到節(jié)點(diǎn)上；

5求出以節(jié)點(diǎn)位移表示的單元節(jié)點(diǎn)力；

6建立節(jié)點(diǎn)平衡方程式；

7求出節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力及應(yīng)力。平面桁架問題在平面桁架中，每個(gè)桿件均為二力桿，但各桿件的方位不同，無法簡單的向前面的階梯拉壓桿那樣處理，應(yīng)該怎樣形成整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程？平面桁架問題u2u1u1u2v1v2x1xyx1U1U1U2V1V2U2建立整體坐標(biāo)系，將桿單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力沿整體坐標(biāo)進(jìn)行分解，這樣不同單元在公共節(jié)點(diǎn)上的位移就相同了，可以實(shí)現(xiàn)方程的疊加。平面桁架問題任務(wù)：

去圖書館借閱有限元方面的參考書，學(xué)習(xí)平面桁架或空間桁架的有關(guān)內(nèi)容，弄清楚具體處理問題的步驟和單元?jiǎng)偠染仃嚨男问?。FEM!!!第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法

工程實(shí)際中剛架結(jié)構(gòu)有著廣泛的應(yīng)用，如橋梁、高壓輸電塔、廠房以及一些其它塔架。其中很多鋼架的結(jié)構(gòu)和載荷都有一個(gè)對(duì)稱面，因此可以簡化為平面鋼架來研究。鋼結(jié)構(gòu)橋力學(xué)模型圖節(jié)點(diǎn)梁上弦桿下弦桿腹桿第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法

2.2.1單元?jiǎng)澐衷瓌t（略）2.2.2以節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力一、單元節(jié)點(diǎn)的單位位移與單元節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系梁單元節(jié)點(diǎn)的單位位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系如圖所示。說明如下：1圖中位移正方向?yàn)閡(右)、v(上)、θ（逆時(shí)針）；2

圖中作用在單元上的力均滿足平衡方程；3單元節(jié)點(diǎn)單位位移引起的單元節(jié)點(diǎn)力用材料力學(xué)中的力法求得；4單元節(jié)點(diǎn)力正方向與位移一致；5單元局部坐標(biāo)如圖所示（i節(jié)點(diǎn)為原點(diǎn)，x軸指向j點(diǎn)）。第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法ijui=1EA,lijuj=1EA,lvi=1EI,lijVj=1EI,lij第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法EI,lijθi=1EI,ljiθj=1第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法二、單元節(jié)點(diǎn)位移與單元節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系前面給出了單元單位節(jié)點(diǎn)位移與單元節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系，由此結(jié)果，根據(jù)線性小撓度問題的疊加原理，可以很容易導(dǎo)出單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。圖中ui，vi，θi和uj，vj，θj表示單元e的i，j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移，圖示均為正方向，Ui，Vi，Mi和Uj，Vj，Mj表示同一單元由前述節(jié)點(diǎn)位移引起的單元節(jié)點(diǎn)力，正方向與位移一致。第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法由疊加原理很容易得到如下關(guān)系式(2-1)第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法三、單元?jiǎng)偠染仃?/p>

1、節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的矩陣表達(dá)式將（2-1）式寫成矩陣形式(2-2)第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法將上式寫成更簡潔的形式(2-3)其中單元節(jié)點(diǎn)力列陣單元節(jié)點(diǎn)位移列陣單元?jiǎng)偠染仃?/p>

2、單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦?/p>

(1)[K]e中元素的力學(xué)意義

[K]e中的元素均是單位位移所引起的節(jié)點(diǎn)力的數(shù)值，所以它們是剛度系數(shù)。第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法同一行的6個(gè)元素是6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移對(duì)同一節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)。同一列的6個(gè)元素是同一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移對(duì)6個(gè)節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)。即：kij為j點(diǎn)產(chǎn)生單位位移在i點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力。(2-2)第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法

(2)[K]e具有分塊性我們來觀察單元?jiǎng)偠染仃嚨慕Y(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法根據(jù)分塊的性質(zhì)，(2-2)可寫成是節(jié)點(diǎn)j的位移對(duì)節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)子矩陣。

(3)[K]e具有對(duì)稱性這一特性可由位移互等定理得到證明。2.2.3坐標(biāo)變換

前面我們給出了梁單元的剛度矩陣，但給出的是梁單元局部坐標(biāo)下的結(jié)果，在一個(gè)實(shí)際的剛架中，各梁單元的局部坐標(biāo)是不一致的（因各梁的方向不同），因此為了將各梁單元組集成整個(gè)剛架，必須建立統(tǒng)一的坐標(biāo)系——整體坐標(biāo)系。第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法①321②①21②23

由上面例子可見，①單元的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)不一致，而②單元的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，這導(dǎo)致兩個(gè)單元在節(jié)點(diǎn)2處的節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)位移方向的不一致，因此需要進(jìn)行坐標(biāo)變換。將局部坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力變換到整體坐標(biāo)系中，這樣才有各單元在同一節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力的方向是一致的。第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法一、矢量的坐標(biāo)變換式由圖中的幾何關(guān)系，得寫成矩陣形式第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法令則1、單元節(jié)點(diǎn)位移的坐標(biāo)變換式（2-10）第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法令則（2-10）可寫成式中局部坐標(biāo)中單元節(jié)點(diǎn)位移列陣；整體坐標(biāo)中單元節(jié)點(diǎn)位移列陣；單元坐標(biāo)變換矩陣（整體坐標(biāo)到

局部坐標(biāo)）；（2-12）第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法2、單元節(jié)點(diǎn)力的坐標(biāo)變換式同上有式中局部坐標(biāo)中單元節(jié)點(diǎn)力列陣；整體坐標(biāo)中單元節(jié)點(diǎn)力列陣；二、矩陣的坐標(biāo)變換式（2-14）將（2-12）、（2-14）代入（2-3）得由于[T]為正交變換矩陣，所以有：第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法其中2.2.4位移法基本原理回顧（不講）2.2.5等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算我們只需要計(jì)算出載荷作用下梁兩端的固端反力，然后加上負(fù)號(hào)，即為等效節(jié)點(diǎn)荷載，固端反力可用力法求得，也可用虛功等效原則或變分法求得。一、單元局部坐標(biāo)下等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算

見教材18頁，（2-27）--（2-30）GcdLGOyxVoiiVojMoiMojj2.2.5等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算2.2.5等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算GcdLGOyxVoiiVojMoiMojj2.2.5等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算GcdLGOyxVoiiVojMoiMojj2.2.5等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算GcdLGOyxVoiiVojMoiMojjUoiUoj第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法二、整體坐標(biāo)下等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算令局部坐標(biāo)下節(jié)點(diǎn)荷載向量整體坐標(biāo)下節(jié)點(diǎn)荷載向量則由坐標(biāo)變換公式（2-14）有第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法2.2.6建立節(jié)點(diǎn)平衡方程1①324②③圖示平面鋼架，有3個(gè)單元，4個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)單元的鋼度矩陣均可按前面給出的公式計(jì)算并變換到整體坐標(biāo)系，則有：①單元（1，2）②單元（2，3）第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法③單元（3，4）以上三式中，均包含三個(gè)分量。將以上三個(gè)方程的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加有（或利用節(jié)點(diǎn)平衡方程）：（2-40）第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法上式可寫成等效節(jié)點(diǎn)載荷向量。節(jié)點(diǎn)位移向量。結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣，或稱總剛度矩陣。總剛度矩陣的性質(zhì)：1矩陣中的元素均為剛度系數(shù)2具有分塊性質(zhì)；3具有對(duì)稱性；4具有帶狀性；5具有奇異質(zhì)（因?yàn)闆]有引入邊界條件，結(jié)構(gòu)有剛體位移）。第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法2.2.7引入邊界條件由于總剛度矩陣[KZ]是奇異矩陣，式（2-40）的解不確定，為求出節(jié)點(diǎn)位移，必須引入邊界條件，我們采用修改方程式法—對(duì)角線元素置“1”法。對(duì)[KZ]、{P}、{δ}的處理方法如下：將[KZ]中已知位移（零位移）所對(duì)應(yīng)的行和列中的全部元素都置“0”，行、列交點(diǎn)處的主對(duì)角元置“1”；將等效節(jié)點(diǎn)載荷向量{P}中相應(yīng)的元素也置為“0”；節(jié)點(diǎn)位移向量{δ}不變。處理后的方程見下式：第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法2.2.8解方程組方程組的求解可采用Gauss消元法，同學(xué)們可以查閱有關(guān)書籍，當(dāng)然也可以采用其它的求解方法。2.2.9求單元內(nèi)力求單元節(jié)點(diǎn)力的目的是為了畫出單元的內(nèi)力圖，進(jìn)一步即可求出應(yīng)力。

單元節(jié)點(diǎn)力是由單元節(jié)點(diǎn)位移和單元非節(jié)點(diǎn)荷載引起的節(jié)點(diǎn)力之和。公式表示如下：第二節(jié)平面剛架有限元法的直接法通過實(shí)例說明：單元節(jié)點(diǎn)力是由單元節(jié)點(diǎn)位移和單元非節(jié)點(diǎn)荷載引起的節(jié)點(diǎn)力之和。已知：EA，L，F(xiàn)。求內(nèi)力和位移。△=FL/2EA，力F作用下桿的變形和內(nèi)力?！鱂兩端固定桿的變形、內(nèi)力和固端力。F/2△F/2F節(jié)點(diǎn)位移引起的變形和固端力?！?2F/2F/2F/2F△為有限元計(jì)算的節(jié)點(diǎn)位移①②③+平面剛架有限元手算大作業(yè)選題要求：

自己命題，至少兩個(gè)單元、5個(gè)自由度，至少有一個(gè)斜桿，