《矩陣論》研究生教學課件

矩陣理論參考教材：1、矩陣論，許立煒，趙禮峰編著，科學出版社，2011。2、矩陣分析（第3版），史榮昌，魏豐編著，北京理工大學出版社，2013。3、矩陣分析，RogerA.Horn等，機械工業(yè)出版社，2014。4、矩陣論，程云鵬，張凱院等，西北工業(yè)大學出版社，2012。5、矩陣論，張凱院，徐仲等，科學出版社，2013學時：32學時考試成績：平時成績+期末成績第一節(jié)線性空間的概念一線性空間的定義與例子定義

設是一個非空的集合，是一個數域，在集合中定義兩種代數運算,一種是加法運算,用來表示;另一種是數乘運算,用來表示,并且這兩種運算滿足下列八條運算律：（1）加法交換律（2）加法結合律

（3）零元素在中存在一個元素，使得對于任意的都有（4）負元素對于中的任意元素都存在一個元素使得

則稱是的負元素.

（5）數1

（6）（7）（8）稱這樣的集合為數域上的線性空間。例1

全體實函數集合構成實數域上的線性空間。例2

復數域上的全體型矩陣構成的集合為上的線性空間。

例3

實數域上全體次數小于或等于的多項式集合構成實數域上的線性空間.例4

全體正的實數在下面的加法與數乘的定義下構成實數域上的線性空間：

例5

表示實數域上的全體無限序列組成的的集合。即在中定義加法與數乘：則為實數域上的一個線性空間。二線性空間的基本概念及其性質定義

線性組合；線性表出；線性相關；線性無關；向量組的極大線性無關組；向量組的秩.基本性質：（1）含有零向量的向量組一定線性相關；（2）整體無關部分無關；部分相關整體相關；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關組并不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么向量組（I）的秩小于等于向量組（II）的秩；（6）等價的向量組秩相同。例1

實數域上的線性空間中，函數組是一組線性無關的函數，其中為一組互不相同的實數。例2

實數域上的線性空間中，函數組是一組線性無關的函數，其中為一組互不相同的實數。例3

實數域上的線性空間中，函數組也是線性無關的。例4

實數域上的線性空間空間中，函數組與函數組都是線性相關的函數組。第二節(jié)線性空間的基底，維數與坐標變換定義設為數域上的一個線性空間。如果在中存在個線性無關的向量使得中的任意一個向量都可以由線性表出:則稱為的一個基底；為向量在基底下的坐標。此時我們稱為一個維線性空間，記為例1

實數域上的線性空間中向量組與向量組

都是的基。是3維線性空間。例2

實數域上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間。例3

實數域上的線性空間中的向量組

與向量組都是的基底。的維數為注意：

通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數是唯一確定的。由維數的定義,線性空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。例4

在4維線性空間中，向量組

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的坐標。解：設向量在第一組基下的坐標為于是可得解得同樣可解出在第二組基下的坐標為由此可以看出：一個向量在不同基底下的坐標是不相同的?；儞Q與坐標變換設（舊的）與（新的）是維線性空間的兩組基底，它們之間的關系為

將上式矩陣化可以得到下面的關系式：稱階方陣是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，那么上式可以寫成定理：過渡矩陣是可逆的。任取，設在兩組基下的坐標分別為

與，那么我們有：稱上式為坐標變換公式。例1

在4維線性空間中，向量組與向量組為其兩組基，求從基到基的過渡矩陣，并求向量在這兩組基下的坐標。解：容易計算出下面的矩陣表達式向量第一組基下的坐標為利用坐標變換公式可以求得在第二組基下的坐標為

第三節(jié)

線性空間的子空間定義設為數域上的一個維線性空間，為的一個非空子集合，如果對于任意的以及任意的都有那么我們稱為的一個子空間。例1

對于任意一個有限維線性空間，它必有兩個平凡的子空間，即由單個零向量構成的子空間以及線性空間本身.例2

設，那么線性方程組的全部解為維線性空間的一個子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。當齊次線性方程組有無窮多解時，其解空間的基底即為其基礎解系；解空間的維數即為基礎解系所含向量的個數。例3

設為維線性空間中的一組向量，那么非空子集合

構成線性空間的一個子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱為該子空間的生成元。的基底即為向量組

的維數即為向量組

的秩。例4

實數域上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對稱矩陣集合，全體反對稱矩陣集合分別都構成的子空間，子空間的交與和兩個子空間的交:

兩個子空間的和:子空間交與和的性質

:1.若和都是的子空間,則和也是的子空間.2.3.4.兩個子空間的直和:如果中的任一向量只能唯一表示為子空間的一個向量與子空間的一個向量的和,則稱為與的直和.

矩陣（或線性變換）的特征值與特征向量

定義設是數域上的線性空間的一個線性變換，如果對于數域中任一元素，中都存在一個非零向量，使得

那么稱為的一個特征值，而稱為的屬于特征值的一個特征向量?，F在設是數域上的維線性空間，中取定一組基，設線性變換在這組基下的矩陣是，向量在這組基下的坐標是，。那么我們有

由此可得定理：

是的特征值是的特征值.

是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量.

因此，只要將的全部特征值求出來，它們就是線性變換的全部特征值；只要將矩陣的屬于的全部特征向量求出來，分別以它們?yōu)樽鴺说南蛄烤褪堑膶儆诘娜刻卣飨蛄?。?

設是數域上的3維線性空間，是上的一個線性變換，在的一個基下的矩陣是求的全部特征值與特征向量。解：的特征多項式為所以的特征值是（二重）與。對于特征值，解齊次線性方程組得到一個基礎解系：從而的屬于的極大線性無關特征向量組是于是屬于3的全部特征向量是

這里為數域中不全為零的數對。對于特征值，解齊次線性方程組得到一個基礎解系：

從而的屬于的極大線性無關特征向量組是于是的屬于的全部特征向量這里為數域中任意非零數。

矩陣的相似與相似對角化相似矩陣的性質：相似矩陣有相同的特征多項式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。矩陣的特征值與特征向量的性質：（1）階矩陣的屬于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以組成的一個子空間，稱之為矩陣的屬于特征值的特征子空間，記為，不難看出正是特征方程組的解空間。（2）屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。（3）設是的個互不同的特征值，的幾何重數為，是對應于的個線性無關的特征向量，則的所有這些特征向量仍然是線性無關的。（4）任意一個特征值的幾何重數不大于它的代數重數。（5）一個特征向量不能屬于不同的特征值。矩陣（線性變換）的相似對角化定義

數域上的維線性空間的一個線性變換稱為可以對角化的，如果中存在一個基底，使得在這個基底下的矩陣為對角矩陣。我們在中取定一個基底，設線性變換在這個基下的矩陣為，那么可以得到下面的定理定理：可以對角化可以對角化。定理：階矩陣可以對角化的充分必要條件是

有個線性無關的特征向量。定理：階矩陣可以對角化的充分必要條件是每一個特征值的代數重數等于其幾何重數。例1

判斷矩陣是否可以對角化？解：先求出的特征值于是的特征值為（二重）由于是單的特征值，它一定對應一個線性無關的特征向量。下面我們考慮于是從而不可以相似對角矩陣。例2

設是數域上的3維線性空間，是上的一個線性變換，在的一個基下的矩陣是判斷是否可以對角化？解：根據前面例題的討論可知有3個線性無關的特征向量:因此可以對角化，在這組基下的矩陣是由基到基的過渡矩陣是于是有1.4線性變換定義：設V是數域K上的線性空間，T:V→V為V上的映射，則稱T為線性空間V上的一個變換或算子。若變換滿足：對任意的k,l∈K和α,β∈V，有則稱T為線性變換或線性算子。線性變換的基本性質：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3）線性相關的向量組的象仍然是線性相關的。線性變換的例子例1：R2空間上的如下變換為線性變換（該變換還是正交變換）。例2：設Pn為次數不超過n的多項式構成的集合，則求導運算：δ(f(t))=f’(t)

為Pn到Pn的線性變換。例3：V為平方可積復函數構成的空間，則傅里葉變換：

為V上的線性變換。線性變換的性質性質1

設T

是V的線性變換，則性質2

線性變換保持線性組合與線性關系式不變。性質3

線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。注意：線性變換可能把線性無關的向量組變成線性相關的

向量組。性變換。證明：例3

設是線性空間V的一組向量，T是V的一個線線性變換的運算一、線性變換的加法和數量乘法定義1

設，B∈L(V)，對A與B

的和

A+B

定義為：結論1

對?A，B∈L(V)，有A+B∈L(V)。線性變換的加法滿足以下運算規(guī)律：(1)

A

+(B+C)=(A+B)+C(2)A+B=B+A定義2

設A∈L(V)，k∈P，對k與A

的數量乘積

kA

定義為：結論2

對?A∈L(V)，k∈P有kA∈L(V)。線性變換的數量乘法滿足以下運算規(guī)律：(1)(kl)A=k(lA)(2)(k+l)A=kA+lA(3)k(A+B)=kA

+kB(4)1A=A結論3

設V是數域P上的線性空間，L(V)對以上定義的加法和數量乘法也構成數域P上的一個線性空間。定義3

設A,B∈L(V)，對A

與B

的乘積

AB

定義為：結論4

對?A,B∈L(V)，有AB∈L(V)。線性變換的乘法滿足以下運算規(guī)律：(1)A(

B+C

)=AB+AC(2)(B

+C)A

=BA

+CA(3)A(BC)=(AB)C(4)k(

AB)=(kA

)B=A

(kB)注意：線性變換的乘積不滿足交換律。例1

在R2中，設A(x,y)=(y,x)，B(x,y)=(0,x)，則A,B是R2中的線性變換，求A+B，AB，BA，3A-2B。二、線性變換乘法1.5線性變換的矩陣表示以下討論均假設線性空間為K上的有限維空間，并以上標表示維數，如Vn、Wm等。設映射T為Vn上的線性變換，為空間的基底，則可以用該基底線性表示，即

寫成矩陣形式對Vn中的任意元素x，設x和Tx的基底表示如下

于是有：

得到：對Vn上的線性變換T，在基底下可以用矩陣來表示：定理：設Vn上的變換T在基底下對應的矩陣為A，則dimR(T)=rank(A)dimN(T)=n-rank(A)（由AX=0立即得到）單位變換對應單位矩陣零變換對應零矩陣逆變換對應逆矩陣兩個變換的乘法對應于矩陣的乘法兩個變換的加法對應于矩陣的加法設Vn上的線性變換T在兩組基底和下對應的矩陣分別為A和B，兩個基底之間的過渡矩陣為P，即：

于是即得結論：相似矩陣表示相同的線性變換的過渡矩陣為X，于是即同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的。定理4

設線性空間V中線性變換T

在兩組基和下的矩陣分別是A和B，從到線性變換在不同基下的矩陣之間的關系：B=X-1AX。1.6線性變換的值域、核與不變子空間一、值域與核的概念定義1

設T

是數域P上線性空間V的一個線性變換，V中全體向量在T下的全體像組成的集合稱為T的值域，記為TV

或V中所有被T

變成零向量的原像組成的集合稱為T

的核，記為T-1(0)或Ker

T

，即TV

的維數稱為T

的秩，T-1(0)的維數稱為T

的零度。定理1

設TV

與T-1(0)都是V的子空間。Im

T，即二、值域與核的性質的一組基，T在這組基下的矩陣為A，則2)T

的秩=A的秩定理3

設T

是n維線性空間V的一個線性變換，則TV的一組基的原像與T-1(0)的一組基合起來就是V的一組基，由此有T

的秩+T

的零度=n注意：不一定有AV+A-1(0)=V推論：有限維線性空間的線性變換，它是單射的充要條件是定理2

設T

是n維線性空間V的一個線性變換，是V1)它也是滿射。？？？？？？？？？三、不變子空間定義1

設A

是數域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，如果W中的向量在A

中的像仍在W中，即則稱W是A

的不變子空間，簡稱為A–子空間。例1

線性空間V

和零空間{0}是V上任意線性變換的不變子空間。平凡不變子空間例2

線性變換A

的值域AV

和核A-1(0)都是A

的不變子空間。例3

線性變換A

的特征子空間是A

的不變子空間。例4

任何一個子空間都是數乘變換的不變子空間。

第二章內積空間定義：設是實數域上的維線性空間，對于中的任意兩個向量按照某一確定法則對應著一個實數，這個實數稱為與的內積，記為，并且要求內積滿足下列運算條件：這里是中任意向量，為任意實數,只有當時，我們稱帶有這樣內積的維線性空間為歐氏空間。例1

在中，對于規(guī)定容易驗證是上的一個內積，從而成為一個歐氏空間。如果規(guī)定容易驗證也是上的一個內積,這樣又成為另外一個歐氏空間。例2

在維線性空間中，規(guī)定容易驗證這是上的一個內積，這樣對于這個內積成為一個歐氏空間。例3

在線性空間中，規(guī)定容易驗證是上的一個內積，這樣對于這個內積成為一個歐氏空間。定義：設是復數域上的維線性空間，對于中的任意兩個向量按照某一確定法則對應著一個復數，這個復數稱為與的內積，記為，并且要求內積滿足下列運算條件：這里是中任意向量，為任意復數，只有當時，我們稱帶有這樣內積的維線性空間為酉空間。歐氏空間與酉空間通稱為內積空間。例1

設是維復向量空間，任取規(guī)定容易驗證是上的一個內積，從而成為一個酉空間。例2

設表示閉區(qū)間上的所有連續(xù)復值函數組成的線性空間，定義容易驗證是上的一個內積，于是便成為一個酉空間。例3

在維線性空間中，規(guī)定其中表示中所有元素取共軛復數后再轉置，容易驗證是上的一個內積，從而連同這個內積一起成為酉空間。內積空間的基本性質：歐氏空間的性質：酉空間的性質：定義：設是維酉空間，為其一組基底，對于中的任意兩個向量那么與的內積令稱為基底的度量矩陣，而且定義：設，用表示以的元素的共軛復數為元素組成的矩陣，記則稱為的復共軛轉置矩陣。不難驗證復共軛轉置矩陣滿足下列性質：定義：設,如果，那么稱為Hermite矩陣；如果，那么稱為反Hermite矩陣。例

判斷下列矩陣是H-陣還是反H-陣。熟悉下列概念:（1）實對稱矩陣（2）反實對稱矩陣（3）歐氏空間的度量矩陣（4）酉空間的度量矩陣內積空間的度量定義：設為酉（歐氏）空間，向量的長度定義為非負實數例在中求下列向量的長度解：根據上面的公式可知一般地，我們有:對于中的任意向量其長度為這里表示復數的模。定理：向量長度具有如下性質當且僅當時，例1：在線性空間中，證明例2

設表示閉區(qū)間上的所有連續(xù)復值函數組成的線性空間，證明：對于任意的，我們有定義：設為歐氏空間，兩個非零向量的夾角定義為于是有定理：因此我們引入下面的概念;定義：在酉空間中，如果，則稱與正交。定義：長度為1的向量稱為單位向量，對于任何一個非零的向量，向量總是單位向量，稱此過程為單位化。標準正交基底與Schmidt正交化方法定義設為一組不含有零向量的向量組，如果內的任意兩個向量彼此正交，則稱其為正交的向量組。定義

如果一個正交向量組中任何一個向量都是單位向量，則稱此向量組為標準的正交向量組。例

在中向量組與向量組都是標準正交向量組。定義：在維內積空間中，由個正交向量組成的基底稱為正交基底；由個標準的正交向量組成的基底稱為標準正交基底。注意：標準正交基底不唯一。在上面的例題中可以發(fā)現這一問題。定理：向量組為正交向量組的充分必要條件是

向量組為標準正交向量組的充分必要條件是定理：正交的向量組是一個線性無關的向量組。反之，由一個線性無關的向量組出發(fā)可以構造一個正交向量組，甚至是一個標準正交向量組。Schmidt正交化與單位化過程:

設為維內積空間中的個線性無關的向量，利用這個向量完全可以構造一個標準正交向量組。第一步正交化容易驗證是一個正交向量組.第二步單位化顯然是一個標準的正交向量組。例1

運用正交化與單位化過程將向量組化為標準正交向量組。解：先正交化再單位化那么即為所求的標準正交向量組。例2

求下面齊次線性方程組其解空間的一個標準正交基底。解：先求出其一個基礎解系下面對進行正交化與單位化：即為其解空間的一個標準正交基底。

酉變換與正交變換定義：設為一個階復矩陣，如果其滿足則稱是酉矩陣，一般記為設為一個階實矩陣，如果其滿足則稱是正交矩陣，一般記為例：是一個正交矩陣是一個正交矩陣是一個正交矩陣（5）設且，如果則是一個酉矩陣。通常稱為Householder矩陣。是一個酉矩陣酉矩陣與正交矩陣的性質：設，那么設，那么定理：設，是一個酉矩陣的充分必要條件為的個列（或行）向量組是標準正交向量組。定義：設是一個維酉空間，是的一個線性變換，如果對任意的都有則稱是的一個酉變換。定理：設是一個維酉空間，是的一個線性變換，那么下列陳述等價：（1）是酉變換；（3）將的標準正交基底變成標準正交基底；（4）酉變換在標準正交基下的矩陣表示為酉矩陣。注意：關于正交變換也有類似的刻劃。

冪等矩陣定義：設，如果滿足則稱是一個冪等矩陣。例是一個分塊冪等矩陣。

冪等矩陣的一些性質：設是冪等矩陣，那么有（1）都是冪等矩陣；（2）（3）（4）的充分必要條件是（5）定理：設是一個秩為的階矩陣，那么為一個冪等矩陣的充分必要條件是存在使得推論：設是一個階冪等矩陣，則有定義：設為一個維標準正交列向量組，那么稱型矩陣為一個次酉矩陣。一般地將其記為定理：設為一個階矩陣，則的充分必要條件是存在一個型次酉矩陣使得其中。引理：的充分必要條件是證明：設，那么必要性：如果為一個維標準正交列向量組，那么充分性：設，那么由

，可得即這表明是一個維標準正交列向量組。定理的證明：必要性：因，故有個線性無關的列向量，將這個列向量用Schmidt方法得出個兩兩正交的單位向量，以這個向量為列構成一個型次酉矩陣

。注意到的個列向量都可以由的個列向量線性表出。即如果那么可得其中由于向量組的秩為，所以的秩為。下面證明。由可得，即注意到，所以即因為，所以，這樣得到于是充分性：若，則Schur引理與正規(guī)矩陣定義：設，若存在

，使得則稱酉相似(或正交相似)于定理(Schur引理)：任何一個階復矩陣酉相似于一個上(下)三角矩陣。證明：用數學歸納法。的階數為1時定理顯然成立?，F設的階數為時定理成立，考慮的階數為時的情況。取階矩陣的一個特征值，對應的單位特征向量為，構造以為第一列的階酉矩陣，因為構成的一個標準正交基，故，因此其中是階矩陣，根據歸納假設，存在階酉矩陣滿足(上三角矩陣)令那么注意:等號右端的三角矩陣主對角線上的元素為矩陣的全部特征值.定理(Schur不等式):設為矩陣的特征值,那么例:

已知矩陣試求酉矩陣使得為上三角矩陣.解:首先求矩陣的特征值所以為矩陣的三重特征值.當時,有單位特征向量再解與其內積為零的方程求得一個單位解向量再解與內積為零的方程組求得一個單位解向量取計算可得令再求矩陣的特征值所以為矩陣的二重特征值.當時,有單位特征向量再解與其內積為零的方程求得一個單位解向量取計算可得令于是有則矩陣即為所求的酉矩陣.

正規(guī)矩陣定義:

設,如果滿足那么稱矩陣為一個正規(guī)矩陣.設,如果同樣滿足那么稱矩陣為一個實正規(guī)矩陣.例:

(1)

為實正規(guī)矩陣

(2)其中是不全為零的實數,容易驗證這是一個實正規(guī)矩陣.(3)這是一個正規(guī)矩陣.(4)H-陣,反H-陣,正交矩陣,酉矩陣,對角矩陣都是正規(guī)矩陣.正規(guī)矩陣的性質與結構定理引理1:

設是一個正規(guī)矩陣,則與酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理2:設是一個正規(guī)矩陣,且又是三角矩陣,則必為對角矩陣.由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結構定理定理:

設,則是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個酉矩陣使得其中是矩陣的特征值.推論1:階正規(guī)矩陣有個線性無關的特征向量.推論2:正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量彼此正交.例1:

設求正交矩陣使得為對角矩陣.解:

先計算矩陣的特征值其特征值為對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系現在將單位化并正交化,得到兩個標準正交向量對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量將這三個標準正交向量組成矩陣則矩陣即為所求正交矩陣且有例2:

設求酉矩陣使得為對角矩陣.解:先計算矩陣的特征值其特征值為對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系現在將單位化,得到一個單位向量對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量將這三個標準正交向量組成矩陣則矩陣即為所求酉矩陣且有例3

證明:(1)H-矩陣的特征值為實數;H-矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的.(2)反H-矩陣的特征值為零或純虛數.(3)酉矩陣的特征值模長為1.定理:

設是正規(guī)矩陣,則

(1)是H-陣的充要條件是的特征值為實數.(2)是反H-陣的充要條件是的特征值的實部為零.(3)是U-陣的充要條件是的特征值的模長為1.

注意:

正規(guī)矩陣絕不僅此三類.例4:設是一個反H-陣,證明:是U-陣.證明:根據U-陣的定義由于是反H-陣,所以,這樣于是可得這說明為酉矩陣.例5:設是一個階H-陣且存在自然數使得,證明:.證明:由于是正規(guī)矩陣,所以存在一個酉矩陣使得于是可得從而這樣即

Hermite矩陣及H-矩陣Hermite矩陣的基本性質引理:

設,則

(1)都是H-矩陣.(2)是反H-陣.(3)如果是H-陣,那么也是H-陣,

為任意正整數.(4)如果是可逆的H-陣,那么也是可逆的H-陣.(5)如果是H-陣(反H-陣),那么是反H-矩陣(H-陣),這里為虛數單位.(6)如果都是H-陣,那么也是H-陣,這里均為實數.(7)如果都是H-陣,那么也是H-陣的充分必要條件是定理:

設,則

(1)是H-陣的充分必要條件是對于任意的是實數.(2)是H-陣的充分必要條件是對于任意的階方陣為H-陣.H-矩陣的結構定理定理:

設,則是H-陣的充分必要條件是存在一個酉矩陣使得其中,此定理經常敘述為:H-陣酉相似于實對角矩陣.推論:

實對稱陣正交相似于實對角矩陣.

例:

設為一個冪等H-陣,則存在酉矩陣使得證明:由于為一個H-陣,所以存在酉矩陣使得又由于為一個冪等H-陣,從而

或將1放在一起,將0放在一起,那么可找到一個酉矩陣使得這里為矩陣的秩.Hermite二次型(Hermite二次齊次多項式)定義:

由個復變量,系數為復數的二次齊次多項式稱為Hermite二次型,這里如果記那么上面的Hermite二次型可以記為稱為Hermite二次型對應的矩陣

,并稱的秩為Hermite二次型的秩.對于Hermite二次型作可逆的線性替換則這里Hermite二次型中最簡單的一種是只含有純的平方項無交叉項的二次型我們稱這種形狀的Hermite二次型為標準形的Hermite二次型.定理:

對于任意一個Hermite二次型必存在酉線性替換可以將Hermite二次型化為標準形其中是H-矩陣的特征值.進一步,我們有定理:

對于Hermite二次型必存在可逆的線性替換可以將Hermite二次型化為其中.我們稱上面的標準形為Hermite二次型的規(guī)范形.例:

寫出下面Hermite二次型的矩陣表達式,并用酉線性替換將其化為標準形.解:

正定Hermite二次型與正定Hermite矩陣定義:

對于給定的Hermite二次形如果對于任意一組不全為零復數都有則稱該Hermite二次形為正定的(半正定的),并稱相應的H-矩陣為正定的(半正定的).

例:

判斷下列Hermite二次形的類別

與正定的實二次形一樣,關于正定的Hermite二次形我們有定理:

對于給定的Hermite二次形下列敘述是等價的(1)是正定的

(2)對于任何階可逆矩陣都有為正定矩陣

(3)的個特征值都大于零

(4)存在階可逆矩陣使得

(5)存在階可逆矩陣使得

(6)存在正線上三角矩陣使得,且此分解是唯一的.例1:

設是一個正定的H-陣,且又是酉矩陣,則證明:

由于是一個正定H-陣,所以必存在酉矩陣使得由于又是酉矩陣,所以這樣必有,從而例2:

設是一個正定的H-陣,是一個反H-陣,證明:與的特征值實部為零.

證明:

設為矩陣的任意一個特征值,那么有.由于是一個正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得將其代入上面的特征多項式有這說明也是矩陣的特征值.另一方面注意矩陣為H-反陣,從而實部為零.同樣可以證明另一問.例3:

設是一個正定的H-陣,是一個反H-陣,證明:是可逆矩陣.證明:

由于是一個正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得這表明是可逆的.于是另一方面注意矩陣仍然為正定H-陣,而矩陣為H-反陣,由上面的例題結論可知矩陣的特征值實部為零,那么矩陣的特征值中不可能有零,從而定理:

對于給定的Hermite二次形下列敘述是等價的:

(1)是半正定的(2)對于任何階可逆矩陣都有為半正定矩陣(3)的個特征值全是非負的存在階可逆矩陣使得(5)存在秩為的階矩陣使得定理:

設是正定(半正定)Hermite矩陣,那么存在正定(半正定)Hermite矩陣使得例1:

設是一個半正定的H-陣且,試證明:證明:

設為的全部特征值,由于是半正定的,所以.于是有例2:

設是一個半正定的H-陣且是一個正定的H-陣,證明:證明:

由于是一個正定的H-陣,所以存在可逆矩陣使得這樣有注意矩陣仍然是一個半正定的H-陣,有上面的例題可知從而例3:

證明：（1）半正定H-矩陣之和仍然是半正定的;

（2）半正定H-矩陣與正定H-陣之和和是正定的;證明：設都是半正定H-陣，那么二者之和仍然是一個H-陣，其對應的Hermite二次型為其中由于都是半正定H-矩陣，所以對于任意一組不全為零的復數我們有這說明為一個半正定H-陣。類似地，可以證明另外一問。例4:

設都是階正定H-陣，則的根全為正實數。證明：因為是正定的，所以存在可逆矩陣使得另一方面注意到是一個正定H-陣，從而有的根全為正實數。又由于故的根全為正實數。定理:

設是一個（半）正定H-陣，那么必存在唯一的一個（半）正定H-陣，使得

Hermite矩陣偶在復合同（復相合）下的標準形例：設均為階Hermite-陣,且又是正定的，證明必存在使得與同時成立，其中是與無關的實數。證明：由于是正定H-陣，所以存在使得又由于也是H-陣，那么存在

使得其中是H-陣的個實特征值。

如果記，則有下面證明個實特征值與無關。令，那么是特征方程的特征根。又由于因此是方程的根。它完全是由決定的與無關。由此可以得到下面的H-陣偶標準形定理：定理：對于給定的兩個二次型其中是正定的，則存在非退化的線性替換可以將同時化成標準形其中是方程的根，而且全為實數。定義：設均為階Hermite-陣,且又是正定的，求使得方程有非零解的充分必要條件是關于的次代數方程方程成立。我們稱此方程是相對于的特征方程。它的根稱為相對于的廣義特征值。將代入到方程中所得非零解向量稱為與相對應的廣義特征向量。廣義特征值與廣義特征向量的性質;命題：（1）有個廣義特征值；（2）有個線性無關的廣義特征向量，即（3）這個廣義特征向量可以這樣選取，使得其滿足其中為Kronecker符號。

第3章－矩陣與矩陣的Jordan標準形矩陣的基本概念定義：設為數域上的多項式，則稱

為多項式矩陣或矩陣。定義

如果矩陣中有一個階子式不為零，而所有階子式(如果有的話)全為零，則稱的秩為，記為零矩陣的秩為0。定義

一個階矩陣稱為可逆的，如果有一個階矩陣，滿足這里是階單位矩陣。稱為矩陣的逆矩陣，記為。定理

一個階矩陣可逆的充要必要是一個非零的常數。定義下列各種類型的變換，叫做矩陣的初等變換：

(1)矩陣的任二行(列)互換位置；

(2)非零常數乘矩陣的某一行(列)；

(3)矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列)

上去，其中是的一個多項式。對單位矩陣施行上述三種類型的初等變換便得相應得三種矩陣稱為初等矩陣

定理

對一個的矩陣的行作初等行變換，相當于用相應的階初等矩陣左乘,對的列作初等列變換，相當于用相應的階初等矩陣右乘。定義如果經過有限次的初等變換之后變成，則稱與等價，記之為定理

與等價的充要條件是存在兩個可逆矩陣與，使得

矩陣Smith標準形的存在性

定理

任意一個非零的型的矩陣都等價于一個對角矩陣，即

其中是首項系數為1的多項式且稱這種形式的矩陣為的Smith標準形。稱為的不變因子。例1將其化成Smith標準形。解：例2將其化成Smith標準形。解：例3將其化為Smith標準形。解：將其化為Smith標準形。例4解：矩陣標準形的唯一性定義：為一個矩陣且對于任意的正整數，，必有非零的階子式，的全部階子式的最大公因式稱為的階行列式因子。顯然，如果，則行列式因子一共有個。例1

求的各階行列式因子。解：由于，所以。顯然而且其余的7個2階子式也都包含作為公因子，所以另外注意：觀察三者之間的關系。定理1：等價（相抵）矩陣有相同的各階行列式因子,從而有相同的秩。設矩陣的Smith標準形為顯然有：容易計算上面的標準形的各階行列式因子為由于與上面的Smith標準形具有相同的各階行列式因子，所以的各階行列式因子為而又是由這些行列式因子唯一確定的，于是我們得到定理2：的Smith標準形是唯一的。例1

求下列矩陣的Smith標準形。解：（1）容易計算出（2）首先觀察此矩陣的元素排列規(guī)律，顯然下面看階行列式因子。有一個階子式要注意，即容易計算出從而(3)定理3

矩陣與等價的充要條件是對于任何的，它們的階行列式因子相同。定理4

矩陣與等價的充要條件是與有相同的不變因子。與一般的數字矩陣一樣，我們有下面的推論：推論1

矩陣可逆的充要條件為與單位矩陣等價。推論2

矩陣可逆的充要條件為可以表示成一系列初等矩陣的乘積。初等因子和矩陣的相似設矩陣的不變因子為在復數域內將它們分解成一次因式的冪的乘積：其中是互異的復數，是非負整數。因為，所以滿足如下關系定義在上式中，所以指數大于零的因子稱為矩陣的初等因子例1

如果矩陣的不變因子為則的初等因子為例2

如果矩陣的秩為4，其初等因子為求的Smith標準形。解：首先求出的不變因子從而的Smith標準形為定理1

階矩陣與等價的充要條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子。定理2

設矩陣為準對角形矩陣，則與的初等因子的全體是的全部初等因子。此定理也可推廣成如下形式：定理3若矩陣則各個初等因子的全體就是的全部初等因子。例1

求矩陣的初等因子，不變因子與標準形。解：記那么對于，其初等因子為由上面的定理可知的初等因子為因為的秩為4，故的不變因子為因此的Smith標準形為例2

判斷下面兩個矩陣是否等價？例3

求下面矩陣不變因子例4

求下列矩陣的行列式因子與不變因子數字矩陣的相似與矩陣的等價定理1：設是兩個階的數字矩陣，那么與相似的充分必要條件為它們的特征矩陣與等價。定義：對于數字矩陣，我們稱的不變因子為的不變因子