2022-2023學(xué)年人教A版 必修第二冊(cè) 余弦定理、正弦定理 第2課時(shí) 教案

6.4.3余弦定理、正弦定理第2課時(shí)正弦定理教材開門見山地提出“三角形的邊與角之間有什么數(shù)量關(guān)系呢？”運(yùn)用由特殊到一般的歸納思想方法，從直角三角形出發(fā)，得到，并以等邊三角形加以驗(yàn)證，進(jìn)而提出“對(duì)其他三角形是否成立呢？”這樣設(shè)置符合學(xué)生的認(rèn)知。教材中對(duì)正弦定理的證明采用了構(gòu)造向量投影相等的思路。同時(shí)設(shè)置了兩個(gè)例題說明正弦定理的應(yīng)用.課程目標(biāo)1、通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的問題；2、通過對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用由特殊到一般的思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；3、通過參與、思考、交流，體驗(yàn)正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，逐步培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；通過對(duì)正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，和諧美.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：正弦定理及其變形、三角形面積公式；2.邏輯推理：用正弦定理及其變形解決相關(guān)問題；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：解三角形；4.數(shù)學(xué)建模：通過對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用由特殊到一般的思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，對(duì)正弦定理的證明及基本運(yùn)用；難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明.教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入提問：角與邊之間是否存在定量關(guān)系？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本45-48頁，思考并完成以下問題1、直角三角形中的邊角關(guān)系是怎樣的？2、什么是正弦定理？3、正弦定理可進(jìn)行怎樣的變形？4、已知三角形的兩邊及內(nèi)角怎樣求其面積？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦之比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．2．正弦定理的變形(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).3．正弦定理應(yīng)用解三角形(1)已知三角形的兩角及任一邊，求其他兩邊和一角；(2)已知三角形的兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)．4、三角形的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB.四、典例分析、舉一反三題型一已知兩角及一邊解三角形例1在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B.【答案】B＝45°.b＝10eq\r(2)，c＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).【解析】因?yàn)锳＝30°，C＝105°，所以B＝45°.因?yàn)閑q\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(10sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10sin105°,sin30°)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).解題技巧（已知兩角及一邊解三角形問題的基本方法）(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后由正弦定理求第三邊；(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊．跟蹤訓(xùn)練一1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知A＝105°，C＝45°，c＝eq\r(2)，則b＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．22．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，BC＝1，則AB＝________.【答案】1、A.2、eq\f(\r(10),2)．【解析】1、在△ABC中，∵A＝105°，C＝45°，∴B＝180°－A－C＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(b,sin30°)＝eq\f(\r(2),sin45°)，解得b＝1.故選A.2、因?yàn)閠anA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理知AB＝eq\f(BC,sinA)·sinC＝eq\r(10)sin150°＝eq\f(\r(10),2).題型二已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形例2在△ABC中，A＝45°，c＝eq\r(6)，a＝2，求b，B，C.【答案】b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.【解析】∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1.當(dāng)C＝120°時(shí)，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.∴b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.解題技巧：(已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形的方法)(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值．(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一．(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論．跟蹤訓(xùn)練二1．△ABC中，B＝45°，b＝eq\r(2)，a＝1，則角A＝________.2．在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(3)，A＝30°，求邊c的長(zhǎng)．【答案】1、30°.2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，解得sinA＝eq\f(1,2)，所以A＝30°或A＝150°.又因b>a，所以B>A，則A＝30°.2、由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),2).∵a<b，∴B>A＝30°，∴B為60°或120°.①當(dāng)B＝60°時(shí)，C＝180°－60°－30°＝90°.此時(shí)，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(1＋3)＝2.②當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝180°－120°－30°＝30°.此時(shí)，c＝a＝1.綜上知c＝1或2.題型三正弦定理在邊角互化中的應(yīng)用例3在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，則b＝________.【答案】eq\r(2)－1.【解析】由正弦定理知eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以，eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(b,sinB)，b＝eq\f(b＋c,sinB＋sinC)·sinB＝eq\f(sin30°,sin45°＋sin30°)＝eq\r(2)－1.例4在△ABC中，eq\f(cosA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，試判斷△ABC的形狀；【答案】等邊三角形.【解析】(化邊為角)根據(jù)正弦定理，得到eq\f(cosA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(cosC,sinC)，整理為eq\f(1,tanA)＝eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,tanC).∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC為等邊三角形．解題技巧（正弦定理應(yīng)用技巧）利用正弦定理將邊化為角或者將角化為邊處理，這是正弦定理的一種重要作用，也是處理三角形問題的重要手段．正弦定理的變形有多種形式，要根據(jù)題目選擇合適的變形進(jìn)行使用．再判斷三角形形狀時(shí)(1)化角為邊．將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(shí)(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，進(jìn)而確定三角形的形狀．利用的公式為：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(2)化邊為角．將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀．利用的公式為：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．跟蹤訓(xùn)練三1、在△ABC中，若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．－1 D．－eq\f(1,2)2．在△ABC中，acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，判斷△ABC的形狀．【答案】1、A.2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，可得sinAcosA＝sin2B，即sinAcosA＝1－cos2B，所以sinAcosA＋cos2B＝1.2、法一：(化角為邊)∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R).∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形．法二：(化邊為角)∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，∴asinA＝bsin B.由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB∴A＝B(A＋B＝π不合題意舍去)，故△ABC為等腰三角形.題型四與三角形面積有關(guān)問題例5在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，求△ABC的面積．【答案】2eq\r(3)或eq\r(3).【解析】由正弦定理，得sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(\r(3),2)，又AB·sinB<AC<AB，故該三角形有兩解：C＝60°或120°.∴當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝2eq\r(3)；當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\r(3).∴△ABC的面積為2eq\r(3)或eq\r(3).解題技巧（三角形面積公式應(yīng)用技巧）(1)求三角形面積時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題目給出的已知條件選擇最簡(jiǎn)便、最快捷的計(jì)算方法，這樣不僅能減少一些不必要的計(jì)算，還能使計(jì)算結(jié)果更加接近真實(shí)值．(2)事實(shí)上，在眾多公式中，最常用的公式是S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB，即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積，反過來，給出三角形的面積利用上述公式也可求得相應(yīng)的邊或角，應(yīng)熟練應(yīng)用此公式．跟蹤訓(xùn)練四1．已知△ABC的面積為eq\f(3,2)，且b＝2，c＝eq\r(3)，則A的大小為()A．60°或120°B．60°C．120°D．30°或150°2．在鈍角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝eq\r(3)，則△ABC的面積為________．【答案】1、A.2、eq\f(\r(3),4).【解析】1、由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA得eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×sinA，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，故A＝60°或120°，故選A.2、在鈍角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝eq\r(3)，利用正弦定理可知C＝120°，得到B＝30°，利用面積公式得S△ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)6.4.3