《回歸分析的基本思想及其初步應用》課件2教學文稿

《回歸分析的基本思想及其初步應用》課件2《回歸分析的基本思想及其初步應用》課件21、兩個變量的關系不相關相關關系函數(shù)關系線性相關非線性相關問題1：現(xiàn)實生活中兩個變量間的關系有哪些呢？相關關系：對于兩個變量，當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系。1、兩個變量的關系不相關相關關系函數(shù)關系線性相關非線性相關問思考：相關關系與函數(shù)關系有怎樣的不同？函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系相關關系是一種非確定性關系

函數(shù)關系是一種理想的關系模型相關關系在現(xiàn)實生活中大量存在，是更一般的情況思考：相關關系與函數(shù)關系有怎樣的不同？函數(shù)關系中的兩個變量間問題2：對于線性相關的兩個變量用什么方法來刻劃之間的關系呢？2、最小二乘估計最小二乘估計下的線性回歸方程：問題2：對于線性相關的兩個變量用什么方法來刻劃之間的關系呢？回歸直線必過樣本點的中心回歸直線必過樣本點的中心3、回歸分析的基本步驟:畫散點圖求回歸方程預報、決策這種方法稱為回歸分析.回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.3、回歸分析的基本步驟:畫散點圖求回歸方程預報、決策這種方法回歸分析知識結構圖問題背景分析線性回歸模型兩個變量線性相關最小二乘法兩個變量非線性相關非線性回歸模型殘差分析散點圖應用注：虛線表示高中階段不涉及的關系回歸分析知識結構圖問題背景分析線性回歸模型兩個變量線性相關最

比《數(shù)學3》中“回歸”增加的內容數(shù)學３——統(tǒng)計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題選修2-3——統(tǒng)計案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機誤差項e產生的原因了解相關指數(shù)R2

和模型擬合的效果之間的關系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結果比《數(shù)學3》中“回歸”增加的內容數(shù)學３——統(tǒng)計選修2-3—教學情境設計問題一：結合例1得出線性回歸模型及隨機誤差。并且區(qū)分函數(shù)模型和回歸模型。問題二：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么應如何研究隨機誤差呢？問題三：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量隨機模型的擬合效果？問題四：結合例1思考：用回歸方程預報體重時應注意什么？問題五：歸納建立回歸模型的基本步驟。問題六：若兩個變量呈現(xiàn)非線性關系，如何解決？（分析例2）教學情境設計問題一：結合例1得出線性回歸模型及隨機誤差。并且例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。問題一：結合例1得出線性回歸模型及隨機誤差。并且區(qū)分函數(shù)模型和回歸模型。解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表12.回歸方程：探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：用這個回歸方程不能給出每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，只能給出她們平均體重的估計值。2.回歸方程：探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是6由于所有的樣本點不共線，而只是散布在某一直線的附近，所以身高和體重的關系可以用線性回歸模型來表示：其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差.由于所有的樣本點不共線，而只是散布在某一直線的附近，所以身高函數(shù)模型與“回歸模型”的關系函數(shù)模型：因變量y完全由自變量x確定回歸模型：預報變量y完全由解釋變量x和隨機誤差e確定函數(shù)模型與“回歸模型”的關系函數(shù)模型：因變量y完全由自變量x注：e產生的主要原因：

(1)所用確定性函數(shù)不恰當；

(2)忽略了某些因素的影響；

(3)觀測誤差。思考:產生隨機誤差項e的原因是什么？注：e產生的主要原因：思考:產生隨機誤差項e的原因是什么？問題二：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么應如何研究隨機誤差呢？

結合例1除了身高影響體重外的其他因素是不可測量的，不能希望有某種方法獲取隨機誤差的值以提高預報變量的估計精度，但卻可以估計預報變量觀測值中所包含的隨機誤差，這對我們查找樣本數(shù)據(jù)中的錯誤和模型的評價極為有用，因此在此我們引入殘差概念。e=y-(bx+a)問題二：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤隨機誤差e的估計量樣本點：相應的隨機誤差為：隨機誤差的估計值為：稱為相應于點的殘差.的估計量為稱為殘差平方和.隨機誤差e的估計量樣本點：相應的隨機誤差為：隨機誤差的估計值問題三：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量隨機模型的擬合效果？(1)我們可以通過分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷建立模型的擬合效果。問題三：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量隨機模型的擬合效果？(殘差圖的制作和作用：制作：坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇.

橫軸為編號：可以考察殘差與編號次序之間的關系，常用于調查數(shù)據(jù)錯誤.

橫軸為解釋變量：可以考察殘差與解釋變量的關系，常用于研究模型是否有改進的余地.作用：判斷模型的適用性若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為中心的帶形區(qū)域.殘差圖的制作和作用：下面表格列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382下面表格列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。殘差圖的制作及作用。身高與體重殘差圖異常點錯誤數(shù)據(jù)誤差與殘差，這兩個概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不確定性的指標，可是兩者又存在區(qū)別。誤差與測量有關，誤差大小可以衡量測量的準確性，誤差越大則表示測量越不準確。誤差分為兩類：系統(tǒng)誤差與隨機誤差。其中，系統(tǒng)誤差與測量方案有關，通過改進測量方案可以避免系統(tǒng)誤差。隨機誤差與觀測者，測量工具，被觀測物體的性質有關，只能盡量減小，卻不能避免。殘差――與預測有關，殘差大小可以衡量預測的準確性。殘差越大表示預測越不準確。殘差與數(shù)據(jù)本身的分布特性，回歸方程的選擇有關。誤差與殘差，這兩個概念在某程度上具有很大的相似性，顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預報變量變化的貢獻率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。注：相關指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。（2）我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說相關系數(shù)相關系數(shù)的性質(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關程度越強；|r|越接近于0，相關程度越弱．注:b與r同號問題：達到怎樣程度，x、y線性相關呢？它們的相關程度怎樣呢？相關系數(shù)相關系數(shù)的性質相關系數(shù)ｒ＞０正相關；ｒ＜０負相關．通常：r∈[-1,-0.75]--負相關很強;r∈[0.75,1]—正相關很強;r∈[-0.75,-0.3]--負相關一般;r∈[0.3,0.75]—正相關一般;r∈[-0.25,0.25]--相關性較弱;對r進行顯著性檢驗相關系數(shù)ｒ＞０正相關；ｒ＜０負相關．通常：對r進行顯著性檢驗1354總計0.36128.361殘差變量0.64225.639回歸變量比例平方和來源

從上中可以看出，解析變量對總效應約貢獻了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。下面我們用相關指數(shù)分析一下例1：預報變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化程度與殘差變量的變化程度之和，即；

1354總計0.36128.361殘差變量0.64225.6問題四：結合例1思考：用回歸方程預報體重時應注意什么？1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。2.我們建立的回歸方程一般都有時間性。3.樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍。4.不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。涉及到統(tǒng)計的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預報結果的正確理解。問題四：結合例1思考：用回歸方程預報體重時應注意什么？涉及到一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。問題五：歸納建立回歸模型的基本步驟一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪問題六：若兩個變量呈現(xiàn)非線性關系，如何解決？（分析例2）例2

一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y和溫度x有關。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：溫度xoC21232527293235產卵數(shù)y/個711212466115325（1）試建立產卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數(shù)的變化？問題六：若兩個變量呈現(xiàn)非線性關系，如何解決？例2一只紅選變量

解：選取氣溫為解釋變量x，產卵數(shù)為預報變量y。畫散點圖假設線性回歸方程為：?=bx+a選模型分析和預測當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93估計參數(shù)由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產卵數(shù)變化。050100150200250300350036912151821242730333639當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93方法一：一元函數(shù)模型選變量解：選取氣溫為解釋變量x，產卵數(shù)畫散點圖假設線

y=c1

x2+c2

變換y=c1

t+c2

非線性關系線性關系問題１選用y=c1x2+c2

，還是y=c1x2+cx+c2

？問題3

產卵數(shù)氣溫問題2如何求c1、c2？

t=x2方法二，二元函數(shù)模型y=c1x2+c2平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉化為產卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產卵數(shù)y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關指數(shù)R2=r2≈0.8962=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.54當x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產卵數(shù)變化。t平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=b產卵數(shù)氣溫

變換y=bx+a

非線性關系線性關系對數(shù)方法三：指數(shù)函數(shù)模型產卵數(shù)氣溫溫度x/21232527Z=lny1.9462.3983.4053.178產卵數(shù)y/個71121242932354.1904.7455.78466115325由計算器得：z關于x的線性回歸方程相關指數(shù)因此y關于x的非線性回歸方程為當x=28

時，y≈44，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98%的產卵數(shù)的變化溫度x/21232527Z=lny1.9462.3983.4函數(shù)模型相關指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.802指數(shù)函數(shù)模型0.98最好的模型是哪個?顯然，指數(shù)函數(shù)模型最好！函數(shù)模型相關指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.利用殘差計算公式：77.968-58.265-40.104-41.000-5.83219.40047.69634.675-13.3819.230-8.9501.875-0.1010.557325115662421117Y35322927252321X由殘差平方和：故指數(shù)函數(shù)模型的擬合效果比二次函數(shù)的模擬效果好.或由條件R2分別為0.98和0.80，同樣可得它們的效果.利用殘差計算公式：77.968-58.265-40.104-在散點圖中，樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，因此兩個變量不呈現(xiàn)線性相關關系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系.令z=lny，則變換后樣本點應該分布在直線z=bx+a（a=lnc1，b=c2）的周圍.利用線性回歸模型建立y和x之間的非線性回歸方程.當回歸方程不是形如y=bx+a時，我們稱之為非線性回歸方程.根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，其中c1和c2是待定參數(shù).在散點圖中，樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，因此兩個變量不呈課堂知識延伸

我們知道，刑警如果能在案發(fā)現(xiàn)場提取到罪犯的腳印，即將獲得一條重要的破案線索，其原因之一是人類的腳掌長度和身高存在著相關關系，可以根據(jù)一個人的腳掌長度來來預測他的身高……

我們還知道，在統(tǒng)計史上，很早就有人收集過人們的身高、前臂長度等數(shù)據(jù)，試圖尋找這些數(shù)據(jù)之間的規(guī)律……

在上述兩個小故事的啟發(fā)下，全班同學請分成一些小組，每組4-6名同學，在老師的指導下，開展一次數(shù)學建?；顒樱瑏碛H自體驗回歸分析的思想方法，提高自己的實踐能力。數(shù)學建模的題目是：收集一些周圍人們的腳掌長度、前臂長度中的一個數(shù)據(jù)及其身高，來作為兩個變量畫散點圖，如果這兩個變量之間具有線性相關關系，就求出回歸直線方程，另選一個人的這兩個變量的數(shù)據(jù)，作一次預測，并分析預測結果。最后以小組寫出數(shù)學建模報告，報告要求過程清晰，結論明確，有關數(shù)學論述準確，以下兩個問題需要注意：（1）如果腳掌長度不方便，可改量腳印的長度。（2）數(shù)據(jù)盡量取得分散一些。課堂知識延伸我們知道，刑警如果能在案發(fā)現(xiàn)場回歸分析的基本思想及其初步應用探索無止境探索無止境探索無止境探索無止境回歸分析的基本思想及其初步應用探索無止境探索無止境探索無止境此課件下載可自行編輯修改，僅供參考！

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函數(shù)關系是一種理想的關系模型相關關系在現(xiàn)實生活中大量存在，是更一般的情況思考：相關關系與函數(shù)關系有怎樣的不同？函數(shù)關系中的兩個變量間問題2：對于線性相關的兩個變量用什么方法來刻劃之間的關系呢？2、最小二乘估計最小二乘估計下的線性回歸方程：問題2：對于線性相關的兩個變量用什么方法來刻劃之間的關系呢？回歸直線必過樣本點的中心回歸直線必過樣本點的中心3、回歸分析的基本步驟:畫散點圖求回歸方程預報、決策這種方法稱為回歸分析.回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.3、回歸分析的基本步驟:畫散點圖求回歸方程預報、決策這種方法回歸分析知識結構圖問題背景分析線性回歸模型兩個變量線性相關最小二乘法兩個變量非線性相關非線性回歸模型殘差分析散點圖應用注：虛線表示高中階段不涉及的關系回歸分析知識結構圖問題背景分析線性回歸模型兩個變量線性相關最

比《數(shù)學3》中“回歸”增加的內容數(shù)學３——統(tǒng)計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題選修2-3——統(tǒng)計案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機誤差項e產生的原因了解相關指數(shù)R2

和模型擬合的效果之間的關系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結果比《數(shù)學3》中“回歸”增加的內容數(shù)學３——統(tǒng)計選修2-3—教學情境設計問題一：結合例1得出線性回歸模型及隨機誤差。并且區(qū)分函數(shù)模型和回歸模型。問題二：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么應如何研究隨機誤差呢？問題三：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量隨機模型的擬合效果？問題四：結合例1思考：用回歸方程預報體重時應注意什么？問題五：歸納建立回歸模型的基本步驟。問題六：若兩個變量呈現(xiàn)非線性關系，如何解決？（分析例2）教學情境設計問題一：結合例1得出線性回歸模型及隨機誤差。并且例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。問題一：結合例1得出線性回歸模型及隨機誤差。并且區(qū)分函數(shù)模型和回歸模型。解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表12.回歸方程：探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：用這個回歸方程不能給出每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，只能給出她們平均體重的估計值。2.回歸方程：探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是6由于所有的樣本點不共線，而只是散布在某一直線的附近，所以身高和體重的關系可以用線性回歸模型來表示：其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差.由于所有的樣本點不共線，而只是散布在某一直線的附近，所以身高函數(shù)模型與“回歸模型”的關系函數(shù)模型：因變量y完全由自變量x確定回歸模型：預報變量y完全由解釋變量x和隨機誤差e確定函數(shù)模型與“回歸模型”的關系函數(shù)模型：因變量y完全由自變量x注：e產生的主要原因：

(1)所用確定性函數(shù)不恰當；

(2)忽略了某些因素的影響；

(3)觀測誤差。思考:產生隨機誤差項e的原因是什么？注：e產生的主要原因：思考:產生隨機誤差項e的原因是什么？問題二：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么應如何研究隨機誤差呢？

結合例1除了身高影響體重外的其他因素是不可測量的，不能希望有某種方法獲取隨機誤差的值以提高預報變量的估計精度，但卻可以估計預報變量觀測值中所包含的隨機誤差，這對我們查找樣本數(shù)據(jù)中的錯誤和模型的評價極為有用，因此在此我們引入殘差概念。e=y-(bx+a)問題二：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤隨機誤差e的估計量樣本點：相應的隨機誤差為：隨機誤差的估計值為：稱為相應于點的殘差.的估計量為稱為殘差平方和.隨機誤差e的估計量樣本點：相應的隨機誤差為：隨機誤差的估計值問題三：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量隨機模型的擬合效果？(1)我們可以通過分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷建立模型的擬合效果。問題三：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量隨機模型的擬合效果？(殘差圖的制作和作用：制作：坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇.

橫軸為編號：可以考察殘差與編號次序之間的關系，常用于調查數(shù)據(jù)錯誤.

橫軸為解釋變量：可以考察殘差與解釋變量的關系，常用于研究模型是否有改進的余地.作用：判斷模型的適用性若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為中心的帶形區(qū)域.殘差圖的制作和作用：下面表格列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382下面表格列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。殘差圖的制作及作用。身高與體重殘差圖異常點錯誤數(shù)據(jù)誤差與殘差，這兩個概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不確定性的指標，可是兩者又存在區(qū)別。誤差與測量有關，誤差大小可以衡量測量的準確性，誤差越大則表示測量越不準確。誤差分為兩類：系統(tǒng)誤差與隨機誤差。其中，系統(tǒng)誤差與測量方案有關，通過改進測量方案可以避免系統(tǒng)誤差。隨機誤差與觀測者，測量工具，被觀測物體的性質有關，只能盡量減小，卻不能避免。殘差――與預測有關，殘差大小可以衡量預測的準確性。殘差越大表示預測越不準確。殘差與數(shù)據(jù)本身的分布特性，回歸方程的選擇有關。誤差與殘差，這兩個概念在某程度上具有很大的相似性，顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預報變量變化的貢獻率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。注：相關指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。（2）我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說相關系數(shù)相關系數(shù)的性質(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關程度越強；|r|越接近于0，相關程度越弱．注:b與r同號問題：達到怎樣程度，x、y線性相關呢？它們的相關程度怎樣呢？相關系數(shù)相關系數(shù)的性質相關系數(shù)ｒ＞０正相關；ｒ＜０負相關．通常：r∈[-1,-0.75]--負相關很強;r∈[0.75,1]—正相關很強;r∈[-0.75,-0.3]--負相關一般;r∈[0.3,0.75]—正相關一般;r∈[-0.25,0.25]--相關性較弱;對r進行顯著性檢驗相關系數(shù)ｒ＞０正相關；ｒ＜０負相關．通常：對r進行顯著性檢驗1354總計0.36128.361殘差變量0.64225.639回歸變量比例平方和來源

從上中可以看出，解析變量對總效應約貢獻了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。下面我們用相關指數(shù)分析一下例1：預報變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化程度與殘差變量的變化程度之和，即；

1354總計0.36128.361殘差變量0.64225.6問題四：結合例1思考：用回歸方程預報體重時應注意什么？1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。2.我們建立的回歸方程一般都有時間性。3.樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍。4.不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。涉及到統(tǒng)計的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預報結果的正確理解。問題四：結合例1思考：用回歸方程預報體重時應注意什么？涉及到一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。問題五：歸納建立回歸模型的基本步驟一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪問題六：若兩個變量呈現(xiàn)非線性關系，如何解決？（分析例2）例2

一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y和溫度x有關?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：溫度xoC21232527293235產卵數(shù)y/個711212466115325（1）試建立產卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數(shù)的變化？問題六：若兩個變量呈現(xiàn)非線性關系，如何解決？例2一只紅選變量

解：選取氣溫為解釋變量x，產卵數(shù)為預報變量y。畫散點圖假設線性回歸方程為：?=bx+a選模型分析和預測當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93估計參數(shù)由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產卵數(shù)變化。050100150200250300350036912151821242730333639當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93方法一：一元函數(shù)模型選變量解：選取氣溫為解釋變量x，產卵數(shù)畫散點圖假設線

y=c1

x2+c2

變換y=c1

t+c2

非線性關系線性關系問題１選用y=c1x2+c2

，還是y=c1x2+cx+c2

？問題3

產卵數(shù)氣溫問題2如何求c1、c2？

t=x2方法二，二元函數(shù)模型y=c1x2+c2平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉化為產卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產卵數(shù)y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關指數(shù)R2=r2≈0.8962=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.54當x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產卵數(shù)變化。t平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=b產卵數(shù)氣溫

變換y=bx+a

非線性關系線性關系對數(shù)方法三：指數(shù)函數(shù)模型產卵數(shù)氣溫