竹蜻蜓的動力學(xué)分析課件

竹蜻蜓的動力學(xué)分析161240035）161240047）161232051）竹蜻蜓的動力學(xué)分析161240035）1竹蜻蜓概述

竹蜻蜓是一種中國傳統(tǒng)的民間兒童玩具之一，流傳甚廣。竹蜻蜓由兩部分組成。一是竹柄。二是“翅膀”。玩時，雙手一搓，然后手一松，竹蜻蜓就會飛上天空。旋轉(zhuǎn)一會兒后，才會落下來。它是中國古代一個很精妙的小發(fā)明，這種簡單而神奇的玩具，曾令西方傳教士驚嘆不已，將其稱為“中國螺旋”。二十世紀三十年代，德國人根據(jù)“竹蜻蜓”的形狀和原理發(fā)明了直升機的螺旋槳。——百度百科

竹蜻蜓概述竹蜻蜓是一種中國傳統(tǒng)的民間兒童玩具之一2幾種常見的竹蜻蜓幾種常見的竹蜻蜓3更普遍的定義

更普遍的定義

4一、理想情況下簡單的動力學(xué)模型

一、理想情況下簡單的動力學(xué)模型

5傾斜角和葉片幾何形狀的影響

升力大小不能直接決定竹蜻蜓的性能傾斜角和葉片幾何形狀的影響

升力大小不能直接決定竹蜻蜓的性能6運動時間是衡量竹蜻蜓性能的主要因素我們將竹蜻蜓的運動時間定義為轉(zhuǎn)速衰減到一定值所經(jīng)歷的時間（這一點是基于它的觀賞性而定義的）。在用運動時間定義竹蜻蜓性能的前提下，我們再去探究傾斜角和葉片幾何形狀對它的性能影響。運動時間是衡量竹蜻蜓性能的主要因素我們將竹蜻蜓的運動時間定義7通過對前面求得的力矩表達式進行積分，我們可以得到角速度與時間t的關(guān)系（n代表葉片的個數(shù)）這意味著角速度需要經(jīng)過無限長，或者說非常長的時間（在考慮摩擦阻力時）才會減為零（這和日常生活中觀察到的情況比較接近，在實際情況下我們一般不會觀察到竹蜻蜓的轉(zhuǎn)動完全停止）。所以我們需要以衰減到某特定值的時間來定義運動時間通過對前面求得的力矩表達式進行積分，我們可以得到角速度與時間8傾斜角度的影響當最終的角速度一定時，我們可以得到運動時間為：這也就是說，其他條件相同，傾斜角度越小時，我們所定義的運動時間越長

但這并不意味著傾斜角度越小越好傾斜角度的影響當最終的角速度一定時，我們可以得到運動時間為：9考慮竹蜻蜓在豎直方向的運動，為了使它向上飛行，初始時的升力大小應(yīng)該滿足：也就是：考慮竹蜻蜓在豎直方向的運動，為了使它向上飛行，初始時的升力大10Y=(sinx)^2cosx的示意圖為滿足豎直方向的運動情況，傾斜角度應(yīng)有最小值，此值由竹蜻蜓的質(zhì)量、幾何形狀和初始角速度決定。而且，此最小值即為傾斜角在給定情況下的最佳角度。Y=(sinx)^2cosx的示意圖為滿足豎直方向的運動情11另外，結(jié)合升力的表達式，我們可以得到竹蜻蜓的質(zhì)心在豎直方向的運動情況：這里對豎直方向的運動情況做一些定性的分析另外，結(jié)合升力的表達式，我們可以得到竹蜻蜓的質(zhì)心這里對豎直方12幾何形狀的影響考慮兩方面的問題1、葉片本身寬度分布2、外加結(jié)構(gòu)（已經(jīng)有這樣的產(chǎn)品出現(xiàn)）依然從這個式子出發(fā)幾何形狀的影響考慮兩方面的問題依然從這個式子出發(fā)13傾斜竹蜻蜓在空中運動的姿態(tài)O大家在玩竹蜻蜓的時候，想必都注意到了這么一個現(xiàn)象。竹蜻蜓釋放時，若其對稱軸與豎直方向有一定傾角，只要葉片所在的一端（稱為前端或頭）不指向下，竹蜻蜓的頭都會重新抬起來。我們先將這種傾斜夸大，即討論其對稱軸水平時的情況。而在討論之前，我們必須給出這樣一種很自然而然的假設(shè)，即，我們使竹蜻蜓轉(zhuǎn)動的方向都是能使其升空的方向。如圖所示，當竹蜻蜓釋放后，其在重力的作用下會向下掉，獲得微小的速度dv，這將導(dǎo)致右側(cè)葉片的速度增大dv，左側(cè)速度減小dv。進而右側(cè)葉片受力大于左側(cè)受力，它們各自沿葉片面的分力F?>F?。葉片兩側(cè)受力不平衡。取質(zhì)心參考系，則葉片所受合力對過質(zhì)心，的水平軸有力矩M，作用效果即是使竹蜻蜓前端抬起。dv

F?F?M傾斜竹蜻蜓在空中運動的姿態(tài)O大家在玩竹蜻蜓的時候，想必都注意14當竹蜻蜓前端抬起后，葉片受空氣的作用力使得竹蜻蜓具有了向前的速度，但無論其是向前或者是向下運動，其右側(cè)受到的力沿葉片面的分力F?總是大于其左側(cè)受到力的分力F?，因此，竹蜻蜓前端將繼續(xù)抬起。以上所述，就是向上傾斜的竹蜻蜓因質(zhì)心具有速度而抬起前端的機理。而若竹蜻蜓并不向上傾斜，而是向下傾斜。這時，為了使竹蜻蜓向上升起，竹蜻蜓的轉(zhuǎn)動方向?qū){(diào)轉(zhuǎn)，于是，按照之前的方法，可以得出竹蜻蜓的頭將會繼續(xù)向下傾斜而至其對稱軸豎直的結(jié)論。這里不再討論。v

F?F?M當竹蜻蜓前端抬起后，葉片受空氣的作用力使得竹蜻蜓具有了向前的15這里，盡管同時繞著過質(zhì)心的水平軸轉(zhuǎn)動的竹蜻蜓可以看作是一個繞質(zhì)心作定點運動的對稱剛體，它發(fā)生的進動以及章動將一定程度上阻止其對稱軸的偏轉(zhuǎn)，但這里由于風(fēng)力對竹蜻蜓的力矩的作用遠大于其產(chǎn)生進動和章動的回轉(zhuǎn)力矩，因此竹蜻蜓的對稱軸最終仍然會趨于豎直。這里，盡管同時繞著過質(zhì)心的水平軸轉(zhuǎn)動的竹蜻蜓可以看作是一個繞16關(guān)于正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)的竹蜻蜓的穩(wěn)定性根據(jù)以上討論，竹蜻蜓飛行時，它的軸最終總是傾向于豎直，而豎直卻分頭向上和頭向下兩種狀態(tài)。而根據(jù)我們的觀察，感覺上，頭向下飛的竹蜻蜓比頭向上飛的竹蜻蜓更加穩(wěn)定。而這種感覺是否正確呢？我們不能確定。也不能找到確切的理由說明哪一種狀態(tài)的竹蜻蜓更加穩(wěn)定?；蛟S因為反轉(zhuǎn)的竹蜻蜓其重心更低，能量更低，因而更加穩(wěn)定。但重心可以依竹蜻蜓被釋放的高度而變，但我們并不覺得蹲著釋放的頭向上的竹蜻蜓比站著釋放的頭向下的竹蜻蜓穩(wěn)定。關(guān)于正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)的竹蜻蜓的穩(wěn)定性根據(jù)以上討論，竹蜻蜓飛行時，它17另外一種可能（很玄乎）的解釋是，因為竹蜻蜓的升力來自于起葉片轉(zhuǎn)動會向下方吹風(fēng)，這種風(fēng)力可以感覺到是比較大的，若頭向上，則下面的棒將會與流動的空氣作用，這樣就會對竹蜻蜓的運動產(chǎn)生擾動，使得其這種運動看起來相比之下更加不穩(wěn)定。又或者，正確的是另外一種解釋......另外一種可能（很玄乎）的解釋是，因為竹蜻蜓的升力來自于起葉片18竹蜻蜓進動情況在真正玩竹蜻蜓的時候，我們并不只是想其直上直下，而是想使其往其它方向飛行，這時我們會將旋翼漿盤朝其它方向傾斜，或者竹蜻蜓會在飛行過程中受到其它擾動導(dǎo)致本身的傾斜。在上述情況下，傾斜并旋轉(zhuǎn)的竹蜻蜓，所受拉力也是傾斜的，拉力的豎直方向分量對抗重力，水平方向分量驅(qū)使竹蜻蜓向前飛行，但這種前飛的驅(qū)使不能一直維持，其飛行姿態(tài)以及飛行軌跡會產(chǎn)生變化，如下圖所示。竹蜻蜓進動情況在真正玩竹蜻蜓的時候，我們并不只是想其直上直下19定性分析（一般情況，有傾斜角與質(zhì)心水平初速度）

定性分析（一般情況，有傾斜角與質(zhì)心水平初速度）

20

21但仔細分析，就會發(fā)現(xiàn)由于槳葉一直在旋轉(zhuǎn)，其受到的瞬時力矩的方向也會一直改變。槳葉處于A點和B點連線位置，瞬時力矩方向指向正后上方，但隨著槳葉旋轉(zhuǎn)，瞬時力矩方向漸漸指向B點，直到槳葉恰好沿著前后方向，此時其絕對速度大小相同，所受升力大小相同，力矩為零，越過這條線后，后行槳葉處于A點前方，前向槳葉處于B點后方，力矩又隨之出現(xiàn)了，并且方向由指向A點慢慢偏向正后上方，直到槳葉回到AB位置，完成一個周期.。上述轉(zhuǎn)動過程中，可以將力矩分解，分解成指向正后上方的以及沿AB的?？梢娭赶蛘笊戏降牧厥冀K大于等于0，其大小成周期性變化，而方向沿AB的力矩方向會改變，周期性（與自轉(zhuǎn)周期相等）地指向A、B兩端。其中指向正后方的分力矩使得竹蜻蜓側(cè)向運動，即表現(xiàn)出來的轉(zhuǎn)向；而沿AB方向不斷改變的分力矩使其前后振動，且理想情況每半個周期內(nèi)的振動可以互相抵消。但實際上由于轉(zhuǎn)速降低，其前后方向的振動不能完全抵消，會使其向某個方向偏轉(zhuǎn)。但仔細分析，就會發(fā)現(xiàn)由于槳葉一直在旋轉(zhuǎn)，其受到的瞬時力矩的方22側(cè)向擺振的情況取決于槳葉的個數(shù)和自轉(zhuǎn)的快慢.。自轉(zhuǎn)角速度一定時，槳葉個數(shù)越多，擺振頻率越高，幅值越小。槳葉個數(shù)一定時，自轉(zhuǎn)角速度越大，擺振頻率越高，幅值也越小。這里我們可以通過用手控制傾斜竹蜻蜓自轉(zhuǎn)角速度的方法來觀察側(cè)向擺振的頻率和幅值.自轉(zhuǎn)角速度較小時，擺振頻率較小，幅值較大.側(cè)向擺振的情況取決于槳葉的個數(shù)和自轉(zhuǎn)的快慢.。23只有傾斜角或只有質(zhì)心水平初速度只有傾斜角若開始時竹蜻蜓只有傾斜角而無初速度，可以知道其所受拉力與重力不在豎直方向上，則必有向某個水平方向的分力，隨之便可獲得水平方向的速度只有質(zhì)心水平初速度由分析得兩槳葉的絕對速度不一樣，竹蜻蜓必受到力矩作用使其傾斜可見上述兩種情況最終都會轉(zhuǎn)換為之前討論的一般情況只有傾斜角或只有質(zhì)心水平初速度只有傾斜角24實際上，就算釋放時無質(zhì)心水平初速度也無傾斜角也極有可能出現(xiàn)之前描述的軌跡，可能原因如下：1、運動時受到圍繞獲得了傾斜角或質(zhì)心水平初速度2、槳葉旋轉(zhuǎn)平面與平衡桿不垂直，即竹蜻蜓重心不在桿上2中情況較為復(fù)雜，有興趣可以討論一下實際上，就算釋放時無質(zhì)心水平初速度也無傾斜角也極有可能出現(xiàn)之25存在的問題

以及，一些聯(lián)想。。。存在的問題

以及，一些聯(lián)想。。。26參考文獻1、田愛平.姜愛民.張慧.從竹蜻蜓到直升機旋翼.力學(xué)與實踐.20162、劉延柱.竹蜻蜓與回旋鏢.力學(xué)與實踐.20083、趙凱華.新概念物理教程.力學(xué)參考文獻1、田愛平.姜愛民.張慧.從竹蜻蜓到直升機旋翼.力學(xué)27Thankyou！Thankyou！28竹蜻蜓的動力學(xué)分析課件29此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！此課件下載可自行編輯修改，供參考！30竹蜻蜓的動力學(xué)分析161240035）161240047）161232051）竹蜻蜓的動力學(xué)分析161240035）31竹蜻蜓概述

竹蜻蜓是一種中國傳統(tǒng)的民間兒童玩具之一，流傳甚廣。竹蜻蜓由兩部分組成。一是竹柄。二是“翅膀”。玩時，雙手一搓，然后手一松，竹蜻蜓就會飛上天空。旋轉(zhuǎn)一會兒后，才會落下來。它是中國古代一個很精妙的小發(fā)明，這種簡單而神奇的玩具，曾令西方傳教士驚嘆不已，將其稱為“中國螺旋”。二十世紀三十年代，德國人根據(jù)“竹蜻蜓”的形狀和原理發(fā)明了直升機的螺旋槳?！俣劝倏?/p>

竹蜻蜓概述竹蜻蜓是一種中國傳統(tǒng)的民間兒童玩具之一32幾種常見的竹蜻蜓幾種常見的竹蜻蜓33更普遍的定義

更普遍的定義

34一、理想情況下簡單的動力學(xué)模型

一、理想情況下簡單的動力學(xué)模型

35傾斜角和葉片幾何形狀的影響

升力大小不能直接決定竹蜻蜓的性能傾斜角和葉片幾何形狀的影響

升力大小不能直接決定竹蜻蜓的性能36運動時間是衡量竹蜻蜓性能的主要因素我們將竹蜻蜓的運動時間定義為轉(zhuǎn)速衰減到一定值所經(jīng)歷的時間（這一點是基于它的觀賞性而定義的）。在用運動時間定義竹蜻蜓性能的前提下，我們再去探究傾斜角和葉片幾何形狀對它的性能影響。運動時間是衡量竹蜻蜓性能的主要因素我們將竹蜻蜓的運動時間定義37通過對前面求得的力矩表達式進行積分，我們可以得到角速度與時間t的關(guān)系（n代表葉片的個數(shù)）這意味著角速度需要經(jīng)過無限長，或者說非常長的時間（在考慮摩擦阻力時）才會減為零（這和日常生活中觀察到的情況比較接近，在實際情況下我們一般不會觀察到竹蜻蜓的轉(zhuǎn)動完全停止）。所以我們需要以衰減到某特定值的時間來定義運動時間通過對前面求得的力矩表達式進行積分，我們可以得到角速度與時間38傾斜角度的影響當最終的角速度一定時，我們可以得到運動時間為：這也就是說，其他條件相同，傾斜角度越小時，我們所定義的運動時間越長

但這并不意味著傾斜角度越小越好傾斜角度的影響當最終的角速度一定時，我們可以得到運動時間為：39考慮竹蜻蜓在豎直方向的運動，為了使它向上飛行，初始時的升力大小應(yīng)該滿足：也就是：考慮竹蜻蜓在豎直方向的運動，為了使它向上飛行，初始時的升力大40Y=(sinx)^2cosx的示意圖為滿足豎直方向的運動情況，傾斜角度應(yīng)有最小值，此值由竹蜻蜓的質(zhì)量、幾何形狀和初始角速度決定。而且，此最小值即為傾斜角在給定情況下的最佳角度。Y=(sinx)^2cosx的示意圖為滿足豎直方向的運動情41另外，結(jié)合升力的表達式，我們可以得到竹蜻蜓的質(zhì)心在豎直方向的運動情況：這里對豎直方向的運動情況做一些定性的分析另外，結(jié)合升力的表達式，我們可以得到竹蜻蜓的質(zhì)心這里對豎直方42幾何形狀的影響考慮兩方面的問題1、葉片本身寬度分布2、外加結(jié)構(gòu)（已經(jīng)有這樣的產(chǎn)品出現(xiàn)）依然從這個式子出發(fā)幾何形狀的影響考慮兩方面的問題依然從這個式子出發(fā)43傾斜竹蜻蜓在空中運動的姿態(tài)O大家在玩竹蜻蜓的時候，想必都注意到了這么一個現(xiàn)象。竹蜻蜓釋放時，若其對稱軸與豎直方向有一定傾角，只要葉片所在的一端（稱為前端或頭）不指向下，竹蜻蜓的頭都會重新抬起來。我們先將這種傾斜夸大，即討論其對稱軸水平時的情況。而在討論之前，我們必須給出這樣一種很自然而然的假設(shè)，即，我們使竹蜻蜓轉(zhuǎn)動的方向都是能使其升空的方向。如圖所示，當竹蜻蜓釋放后，其在重力的作用下會向下掉，獲得微小的速度dv，這將導(dǎo)致右側(cè)葉片的速度增大dv，左側(cè)速度減小dv。進而右側(cè)葉片受力大于左側(cè)受力，它們各自沿葉片面的分力F?>F?。葉片兩側(cè)受力不平衡。取質(zhì)心參考系，則葉片所受合力對過質(zhì)心，的水平軸有力矩M，作用效果即是使竹蜻蜓前端抬起。dv

F?F?M傾斜竹蜻蜓在空中運動的姿態(tài)O大家在玩竹蜻蜓的時候，想必都注意44當竹蜻蜓前端抬起后，葉片受空氣的作用力使得竹蜻蜓具有了向前的速度，但無論其是向前或者是向下運動，其右側(cè)受到的力沿葉片面的分力F?總是大于其左側(cè)受到力的分力F?，因此，竹蜻蜓前端將繼續(xù)抬起。以上所述，就是向上傾斜的竹蜻蜓因質(zhì)心具有速度而抬起前端的機理。而若竹蜻蜓并不向上傾斜，而是向下傾斜。這時，為了使竹蜻蜓向上升起，竹蜻蜓的轉(zhuǎn)動方向?qū){(diào)轉(zhuǎn)，于是，按照之前的方法，可以得出竹蜻蜓的頭將會繼續(xù)向下傾斜而至其對稱軸豎直的結(jié)論。這里不再討論。v

F?F?M當竹蜻蜓前端抬起后，葉片受空氣的作用力使得竹蜻蜓具有了向前的45這里，盡管同時繞著過質(zhì)心的水平軸轉(zhuǎn)動的竹蜻蜓可以看作是一個繞質(zhì)心作定點運動的對稱剛體，它發(fā)生的進動以及章動將一定程度上阻止其對稱軸的偏轉(zhuǎn)，但這里由于風(fēng)力對竹蜻蜓的力矩的作用遠大于其產(chǎn)生進動和章動的回轉(zhuǎn)力矩，因此竹蜻蜓的對稱軸最終仍然會趨于豎直。這里，盡管同時繞著過質(zhì)心的水平軸轉(zhuǎn)動的竹蜻蜓可以看作是一個繞46關(guān)于正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)的竹蜻蜓的穩(wěn)定性根據(jù)以上討論，竹蜻蜓飛行時，它的軸最終總是傾向于豎直，而豎直卻分頭向上和頭向下兩種狀態(tài)。而根據(jù)我們的觀察，感覺上，頭向下飛的竹蜻蜓比頭向上飛的竹蜻蜓更加穩(wěn)定。而這種感覺是否正確呢？我們不能確定。也不能找到確切的理由說明哪一種狀態(tài)的竹蜻蜓更加穩(wěn)定。或許因為反轉(zhuǎn)的竹蜻蜓其重心更低，能量更低，因而更加穩(wěn)定。但重心可以依竹蜻蜓被釋放的高度而變，但我們并不覺得蹲著釋放的頭向上的竹蜻蜓比站著釋放的頭向下的竹蜻蜓穩(wěn)定。關(guān)于正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)的竹蜻蜓的穩(wěn)定性根據(jù)以上討論，竹蜻蜓飛行時，它47另外一種可能（很玄乎）的解釋是，因為竹蜻蜓的升力來自于起葉片轉(zhuǎn)動會向下方吹風(fēng)，這種風(fēng)力可以感覺到是比較大的，若頭向上，則下面的棒將會與流動的空氣作用，這樣就會對竹蜻蜓的運動產(chǎn)生擾動，使得其這種運動看起來相比之下更加不穩(wěn)定。又或者，正確的是另外一種解釋......另外一種可能（很玄乎）的解釋是，因為竹蜻蜓的升力來自于起葉片48竹蜻蜓進動情況在真正玩竹蜻蜓的時候，我們并不只是想其直上直下，而是想使其往其它方向飛行，這時我們會將旋翼漿盤朝其它方向傾斜，或者竹蜻蜓會在飛行過程中受到其它擾動導(dǎo)致本身的傾斜。在上述情況下，傾斜并旋轉(zhuǎn)的竹蜻蜓，所受拉力也是傾斜的，拉力的豎直方向分量對抗重力，水平方向分量驅(qū)使竹蜻蜓向前飛行，但這種前飛的驅(qū)使不能一直維持，其飛行姿態(tài)以及飛行軌跡會產(chǎn)生變化，如下圖所示。竹蜻蜓進動情況在真正玩竹蜻蜓的時候，我們并不只是想其直上直下49定性分析（一般情況，有傾斜角與質(zhì)心水平初速度）

定性分析（一般情況，有傾斜角與質(zhì)心水平初速度）

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51但仔細分析，就會發(fā)現(xiàn)由于槳葉一直在旋轉(zhuǎn)，其受到的瞬時力矩的方向也會一直改變。槳葉處于A點和B點連線位置，瞬時力矩方向指向正后上方，但隨著槳葉旋轉(zhuǎn)，瞬時力矩方向漸漸指向B點，直到槳葉恰好沿著前后方向，此時其絕對速度大小相同，所受升力大小相同，力矩為零，越過這條線后，后行槳葉處于A點前方，前向槳葉處于B點后方，力矩又隨之出現(xiàn)了，并且方向由指向A點慢慢偏向正后上方，直到槳葉回到AB位置，完成一個周期.。上述轉(zhuǎn)動過程中，可以將力矩分解，分解成指向正后上方的以及沿AB的。可見指向正后上方的力矩始終大于等于0，其大小成周期性變化，而方向沿AB的力矩方向會改變，周期性（與自轉(zhuǎn)周期相等）地指向A、B兩端。其中指向正后方的分力矩使得竹蜻蜓側(cè)向運動，即表現(xiàn)出來的轉(zhuǎn)向；而沿AB方向不斷改變的分力矩使其前后振動，且理想情況每半個周期內(nèi)的振動可以互