2022-2023學(xué)年上海市新中高二年級上冊學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市新中高級中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)是某長方體四條棱的中點，則直線和直線的位置關(guān)系是（

）.A．相交 B．平行 C．異面 D．無法確定【答案】A【分析】在長方體中，延長，，，即會得到直線和直線的位置關(guān)系.【詳解】如圖，延長使，因為，，，為棱的中點，所以延長，都會交中點處，所以直線和直線的位置關(guān)系為相交.故選：A.2．下列給出的命題正確的是（

）A．兩條互相垂直的直線確定一個平面B．平行于同一條直線的兩個平面平行C．不共面的四點中，任何三點不共線D．所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱.【答案】C【分析】依據(jù)空間中直線與直線垂直定義、直線與平面平行及平面與平面平行的知識、平面公理2（基本事實）及推論、棱柱的定義及分類依次判斷即可.【詳解】對于A，根據(jù)空間中兩條直線互相垂直的定義，互相垂直的兩條直線可以是異面直線，故A錯誤；對于B，當(dāng)兩平面相交，這兩個平面外的一條直線與交線平行時，這兩個相交平面同時平行于這條直線，故B錯誤；對于C，不共面的四點中，假設(shè)有三點共線，則這三點可以確定一條直線，另一點在直線上或在直線外，均有四點共面，與前提矛盾，故假設(shè)錯誤，不共面的四點中，任何三點不共線，故C正確；對于D，當(dāng)所有側(cè)面均為正方形的四棱柱的底面為不是正方形的菱形時，這個四棱柱不是正四棱柱，故D錯誤.故選：C.3．如圖所示，在斜三棱柱中，，且，過作平面，垂足為，則點在（

）A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內(nèi)部【答案】B【分析】先通過線線垂直證明面，進(jìn)而可得面面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得要過作平面，只需過作即可，則答案可求.【詳解】連接，，，且，面，又面ABC面面，面面，要過作平面，則只需過作即可，故點在直線上故選：B.4．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫像多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結(jié)論：①正方體各頂點的曲率為；②任意三棱錐的總曲率均為；③將棱長為3的正方體正中心去掉一個棱長為1的正方體所形成的幾何體的總曲率為.其中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)幾何體頂點的曲率和幾何體總曲率的定義求解.【詳解】①因為正方體的每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正方體在各頂點的曲率為，故正確；②如圖所示：，A點的曲率為：，B點的曲率為：，C點的曲率為：，D點的曲率為：，則三棱錐的總曲率均為，，故正確；③此幾何體有16個頂點，每個頂點的曲率為，所以該幾何體的總曲率為，故正確.故選：D二、填空題5．“點A在直線上”用符號語言可以表示為_____________.【答案】【分析】根據(jù)立體幾何中，符號語言的表示規(guī)則直接寫出答案.【詳解】A在直線上，即故答案為：6．設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為___________.【答案】45°或135°##135°或45°【分析】根據(jù)等角定理即可得到答案.【詳解】根據(jù)等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補.故答案為：45°或135°.7．一個高為2的圓柱，底面周長為2π，該圓柱的體積為________．【答案】2π【詳解】由底面周長為2π可得底面半徑為1，S底＝πr2＝π，V＝S底·h＝2π.8．用斜二測畫法畫水平放置的邊長為4的正方形的直觀圖，則這個直觀圖的面積為_________;【答案】【分析】由斜二測畫法畫出正方形的直觀圖，計算可得.【詳解】方法一：如圖，由直觀圖的斜二測畫法知，邊長為4的正方形的直觀圖為平行四邊形，且，，，其高，所以其面積為.方法二：由斜二測畫法的直觀圖的面積是原圖面積的倍，因此，直觀圖面積為.故答案為：.9．已知三棱錐，設(shè)點是在底面上的投影，若與底面所成角相等，則點是的________心.【答案】外【分析】根據(jù)，，與底面所成角相等得到點在底面的投影到三角形三個頂點，，的距離相等，即可得到點在平面上的投影是的外心.【詳解】因為，，與底面所成角相等，所以頂點在底面的投影到三角形三個頂點，，的距離相等，所以點在平面上的投影是的外心.故答案為：外.10．如圖，已知空間四邊形兩對角線和的長分別為8和10，所成的角為，依次連接各邊中點所得四邊形的面積是_________;【答案】【分析】根據(jù)，，，分別為，，，中點得到四邊形為平行四邊形，且，，根據(jù)與所成角為得到平行四邊形的一個內(nèi)角為，然后求面積即可.【詳解】因為，，，分別為，，，中點，所以，，且，，所以四邊形為平行四邊形，因為與所成角為，所以平行四邊形的一個內(nèi)角為，所以.故答案為：.11．異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．【答案】或【分析】過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，要注意E、C在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情況，結(jié)合已知有，再過C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的長度，在Rt△DEC中應(yīng)用勾股定理求.【詳解】由題意，過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，如下示意圖，∴由題設(shè)知：面ABEC為直角梯形且，過C作CF⊥BE于F，則CF=AB=2，，可得DE=，BE=，∴如圖1，易得EF=，則EC=，在Rt△DEC中，CD=.如圖2，易得EF=，則EC=，在Rt△DEC中，CD=.故答案為：或12．已知正方體的體積為64，點分別是線段的中點，點在四邊形內(nèi)運動（含邊界），若直線與平面無交點，線段的取值范圍為___________.【答案】【分析】分別取線段、的中點P、Q，連接、、，證明平面平面，可得當(dāng)G與P（或Q）重合時，CG取最大值，當(dāng)G在PQ的中點R時，CG有最小值，利用勾股定理求得線段CG的取值范圍．【詳解】分別取線段、的中點P、Q，連接、、，連接EF，，由三角形中位線定理可得，，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理可證，平面，又，∴平面平面，故點G在線段PQ上運動（含端點位置）．當(dāng)G與P（或Q）重合時，；當(dāng)G在PQ的中點R時，．∴．故答案為：.三、解答題13．如圖，已知平面，，，，，，點是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面，得到平面，即可得到平面平面，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面；（2）根據(jù)，點為中點得到，即可將直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角，由（1）的結(jié)論可得為直線與平面所成角，然后利用勾股定理得到，的長度，即可求直線與平面所成角的正切值.【詳解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，點為中點，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中點，連接，，∵，，，點為中點，∴四邊為平行四邊形，，∴直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，∵平面，∴為直線與平面所成角，∵點為中點，，∴，，，∴，所以直線與平面所成角的正切值為.14．（1）敘述兩個平面平行的判定定理，并證明;（2）如圖，正方體中，分別為的中點，求證:平面平面.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）寫出面面平行的判定定理，然后用反證法證明即可；（2）根據(jù)為正方體，，為，中點得到，，然后利用面面平行的判定定理證明即可.【詳解】（1）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行，即，，，，，證明：假設(shè)，∵，，，∴，同理可得，，∴，與矛盾，所以不成立，所以.(2)取中點，連接，，，∵為正方體，，為，中點，∴，，，，∴四邊形，為平行四邊形，，，∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面.15．《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體叫做“鱉臑”，如圖所示，四面體中，平面是棱的中點，.(1)判斷四面體是否為鱉臑.若是，請寫出每個面的直角（只需寫出結(jié)論）;若不是，請說明理由.(2)若四面體是鱉臑，求二面角的大小;(3)若，求點到平面的距離.【答案】(1)是，直角分別為，，，；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)“鱉臑”的定義判斷即可，然后根據(jù)四面體的結(jié)構(gòu)特征寫直角；（2）根據(jù)四面體為“鱉臑”得到，根據(jù)平面得到，即可得到平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，即可得到為二面角的平面角，然后求角即可；（3）根據(jù)得到三角形為等邊三角形，然后利用等體積的方法求點到平面的距離即可.【詳解】（1）四面體是“鱉臑”，直角分別為，，，.（2）∵四面體為“鱉臑”，∴為直角三角形，∵，，∴，，∵平面，平面，∴，∵,平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵平面平面，∴為二面角的平面角，∵，∴，所以二面角的平面角為.（3）取中點，連接，∵，∴三角形為等邊三角形，，∴，，∵，點為中點，∴，，設(shè)點到平面的距離為，，，解得，所以點到平面的距離為.16．設(shè)四邊形為矩形，點為平面外一點，且平面，若.(1)求異面直線和所成角的余弦值;(2)在邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由;(3)若點是的中點，在內(nèi)確定一點，使的值最小，并求出此時的值.【答案】(1)(2)存在，(3)答案見解析，【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，由異面直線夾角的定義得到和所成的角為，在中，由邊角關(guān)系求解即可.（2）假設(shè)BC邊上存在一點G滿足題設(shè)條件，不放設(shè)，則，再根據(jù)得，進(jìn)而得答案.（3）延長到，使得，連接，過作于，利用三點共線，兩線段和最小，得到，過作于，連接HB，在中，求