高數(shù)a,b上期中試卷答案

（A（2003級高等數(shù)學(xué)（A（上）期中試一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共12分 二、填空題（424分52.x0,第一類（跳躍）2e2e(x1)

3e(x1)2

(5(x1))e(x1)3

(x

(0 y(exxcos(xy)

(n

（728分x 2.x

x)

d23.y()2

4(e2

4. 2sin

1（8分）求證當(dāng)x0時(shí)，x6

sinx

t

ms（8分a2a2a2時(shí)，沒有實(shí)根。七（6分）設(shè)F(x)x3f(x)，對F(x)在區(qū)間[0,1]上用定理即可得證。22八（8分）所求點(diǎn)為 22

b2004級高等數(shù)學(xué)（A（上）期中試填空題(每小題420n

a

f10(0)2

5.x1

x21x1

0二.選擇題(每小題4分,共16分) 3.C735

x2sin 1limcotx

1

x23

sinx

sin x

x0ln1 2x e e 1xex

d2

13tdy2ycosy2xexy1

dx2t(1t2

4t3(1t2)2a

2四.(816五.(8分)所求的切點(diǎn)為 )，切線方程為

32x256 n六.(7用單調(diào)有界原理來證明數(shù)列極限的存在性，然后求得limx2n七.(6fxg(xx3Cauchyf(x在a,b上用2005級高等數(shù)學(xué)（A（上）期中試一．填空題（本題共5小題，每小題4滿分20分

x2

k4

e2e(x1)3e(x1)2o((x1)22

a1,b1二．單項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分 三．計(jì)算題（本題共5小題，每小題7滿分35分12

11。3ln (1)n

ex2xcos(x2y2)13。f(n)(x)

2xy2ycos(x2y2（本題共4道題，滿分29分15（（

16（7分）（

F(xex1xe2，則F'(x)e

(e

1

xg(x)ex2

1 的符號即可x2x317（本題滿分8分）所求點(diǎn)為P22,2，弦PQ的最短長度為 318（（1）利用(1)的結(jié)論，對f(x)在區(qū)間(a,c)(c,b)分別用日中值定理即可得證2006級高等數(shù)學(xué)（A（上）期中試一.填空題（45824分x0x1；第一類（跳躍）間斷點(diǎn)，第二類（無窮）a1,b

dy

f(x) 1f2(x)

a3,bx2sin5（1）

（2）y

（3）yx3（4）lim x0ln(1d24二.單項(xiàng)選擇題（每題4分，滿分12分）1．C 三.計(jì)算題（每題d241．3

t

23

t1y(10)(x)393x220x

4x3y6

8分

}單調(diào)遞增有上界 故收斂且lim

52n2五.（8分）

n 六.(7分)提示：對F(x)(1x)3f(x)用定理七．(6分)（1）

(x)arctanx

，x(0,)，lim

(x)

0 n

x0

nlim

(x)

0，故0xx，使得g(x0g(x0n

n

gn(x在區(qū)間[x1x2gn(x在(x1x2g(x)1x2

，記h(x)

arctanx,h(x)

0

1

1x2 x(0h(xh(00x0g(x0x0g(x在(0內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減，gn(x在(0內(nèi)至多存在一個(gè)零點(diǎn)。gn(x在(0fn(x在(0xn(0 （2）由于arctanxn1 arctanxn，而arctanx嚴(yán)格單調(diào)遞減，

n

n x

(n1arctanxx(n1，得lim

nlimxn1lim(n2arctanxn11n

2007級高等數(shù)學(xué)（A（上）期中試一.填空題（每小題4分，滿分24分21．k3,a 2

a1,b

12x2x22x32x4o(x41e2xxsin2arctanx

1(,4

二.單項(xiàng)選擇題（每題4分，滿分12分） 三.計(jì)算題（每小題8分，滿分32分d2y(6t5)(110．

12．f(10)(x)210(x2x)sin2x2105(2x1)cos2x2945sin2x13.a1,b1yx2 0x四(14).（8）f(x23x2

xx

，在[02),(2x2五(15).（8）f(x2x六(16).(8略七(17)．(82008級高等數(shù)學(xué)（A（上）期中試一.填空題（每個(gè)空格4分，本題滿分32分11．12

k ,181

2

y(0)5．(x1)1(x1)2o((x1)22 6．a(chǎn)

,b 二.單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題滿分12分） 9．三.計(jì)算題（本題滿分27分10（7

11（6

lim2lnxsinx1xsinx2d2d2y6t(td2

12（7

2t

t d2y

2 13.（7

4xsinf

)[f'(x

cosf

)f

)2cosf

)f'(x四(14).（7）a1b3（注意：分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)要用導(dǎo)數(shù)的定義來求 五(15).（7）f(x

x

x

x0

xxk(k1 六(16).(9f(xx11lnxx xg(x)x1lnxx七(17)．(6分)令F(x)(bx)f'(x)，利用定理證明2009級高等數(shù)學(xué)（A（上）期中試一.填空題（每個(gè)空格4分，本題滿分24分1．a(chǎn)1,b 5．1x1x3

3

e11

y'(0)12

二.單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題滿分12分） 9．三.計(jì)算題（本題滿分36分10．

8

t0

d2d2

113f(n)(x)2n1x2cos(2xn)2n1nxcos(2xn1)2n3n(n1)cos(2xn2 1四(14).（8）x0x五(15).（8）略。六(16)(6

3七(17)(6分)

f'(x00 f(0)0

nM，所以由介值定理知0x0

f() n因?yàn)樵趨^(qū)間[0,]以及[,1]上滿 日定理的條件，故1(0,),2(,1)使得f()f(0)

f'()

f()f(1)

f

)

n( 2010級高等數(shù)學(xué)（A（上）期中試一.填空題（每個(gè)空格4分，本題滿分24分 21．；2．e；3．1e2xdx；4．2010!；5．e；6．xy82二.單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題滿分12分A；三.計(jì)算題（每小題8分，本題滿分32分

1 limxln1ex

limxe

10

lim1exelim1ex

ee

e x0 x0 n2n(n

n2n(n11

n1

n2 n2 n2 n2 nn2n2n(nnn2由于lim lim 3，由 定理

n2

n1

n2

nnnn2 n2 n2n 12

dy1t2，d

2t(1t2

1

t213

f(4)(x)2xlnxx11(x1)21(x1)3 (x1)4，0 12(1(x四(14)（13分）.解（1）當(dāng)a0f(x

f(x當(dāng)0a1f(x

f(x)

ff(00f(x

f(x)fx

lim

故f(x)不可導(dǎo)（3）當(dāng)1a1b時(shí)，f(x)可導(dǎo)，但f(x)在區(qū)間[1,1]上limf(x)f(0)limxa1sin(xb)0

f(x)f，

axa1sin(xb)bxab1cos(xb),x f(x)

x

f(x可導(dǎo)，但lim

lim(axa1sin(xbbxab1cos(xb))blimxab1cos(xb)，由于limxab1，故

f(x)在區(qū)間[1,1]上（4）當(dāng)a1b時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,1]上有界，但f(x)連續(xù)。由（3）f(00

f(x)blimcos(xbb0f(x不連續(xù)，由（3）f(x)abx[1,1，因ab10（5）當(dāng)a1bf(x連續(xù)。由（3）得limf(x)

f(0)0f(x連續(xù)五(15（8分）解f(xlnxax(0f(x1

a0時(shí)， f(x0f(x嚴(yán)格單增，當(dāng)a0f(10f(xxlnx有唯一實(shí)根；當(dāng)a0f(e11ae<0f(eaa(1ea)>0f(xxlnxa有唯一實(shí)根；當(dāng)a0f(xxa0f(x（最小值點(diǎn)）xa若 f(a)ln(a)10，即當(dāng)ae1時(shí)方程xlnx無實(shí)根；當(dāng)ae1時(shí)， f(e1)0，f(x)有唯一零點(diǎn)，即方程xlnxe1有一實(shí)根；當(dāng)e1a0時(shí)， 0，f(ea)a(1ea)>0，f(ea)a(1ea)>0當(dāng)0xaf(x嚴(yán)格單減，當(dāng)axf(xf(x有且僅xlnxa有且僅有兩個(gè)實(shí)根.六(16)(6f(x在區(qū)間(a,bLagrangex之間，使得f(xf(x0f(x0)(xx0f(f(x0))(xx0又由于

f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)增加，故

f(xf(x0f(x0)(xx00，即f(x)f(x0)f(x0)(xx0)七(17)(5分)

fC[a,b]，且f在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，試證存在c(a,b)，使 b f(b)2 f(a)

f(c)4