高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 反證法名師點撥 北師大選修12

1．間接證明不是從正面論證命題的真實性，而是通過證明它的等價命題，間接地達(dá)到證明的目的，最常見的間接證明是反證法．編輯ppt2．間接論證的應(yīng)用，有一定困難．因為在間接證明過程中，不得不暫時離開所討論的論題，引進(jìn)許多補(bǔ)充的材料(如結(jié)論的反面等)，致使全部過程復(fù)雜化．但這種方法我們務(wù)必學(xué)會，因為在學(xué)習(xí)中，時常會遇到這樣的命題，當(dāng)時并無直接證明它的論據(jù)，必須用間接法來證明它的真實性．編輯ppt1．反證法的原理反證法的原理是“否定之否定等于肯定”．反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律．排中律的一般表現(xiàn)形式是：或者是A，或者是非A，即在同一討論過程中，A和非A有一個且僅有一個是對的．不能有第三種情形出現(xiàn)．編輯ppt2．反證法證題的一般步驟(1)假設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾，這是反證法的核心，在推理論證的過程中要有意識地制造矛盾和發(fā)現(xiàn)矛盾．編輯ppt編輯ppt反證法可以證明的命題范圍相當(dāng)廣泛．如：唯一性問題，無限性問題，肯定性問題，否定性問題，存在性問題，不等式問題，等式問題，函數(shù)問題，整除問題，幾何問題等．常見的基本題型是：(1)一些基本定理；(2)“否定性”命題；(3)“唯一性”命題；(4)“必然性”命題；(5)“至少”、“至多”命題．編輯ppt常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”歸納如下：原結(jié)論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個反設(shè)詞一個也沒有(不存在至少有兩個)至多有(n－1)個至少有(n＋1)個編輯ppt原結(jié)論詞只有一個對任意x成立對任意x不成立反設(shè)詞沒有或至少有兩個存在某個x不成立存在某個x成立原結(jié)論詞都是一定是p或qp且q反設(shè)詞不都是不一定是綈p且綈q綈p或綈q編輯ppt1．如果待證命題的相反判斷有多種不同情況，需對各種不同情況一一導(dǎo)出矛盾，加以否定，才能使原判斷得到充分肯定．2．有些待證命題的相反判斷雖然只有一種情況，但在證明過程中有必要進(jìn)行分類，首先要求分類必須詳盡無遺漏，并且就各類一一導(dǎo)出矛盾．編輯ppt3．有些待證命題的相反判斷是斷言一個對象在某一范圍內(nèi)恒有某種屬性，對此只要我們能夠在該范圍內(nèi)舉一特例導(dǎo)出矛盾，即可予以否定，從而達(dá)到證明的目的．4．用直接法證明幾何問題時，所畫的圖形應(yīng)力求準(zhǔn)確，但反證法恰好相反，我們往往故意畫出不正確的甚至不可能存在的圖形，才便于探索導(dǎo)出矛盾的途徑．5．有些命題在證明過程中，可以連續(xù)運用反證法，即反證法中套反證法．編輯ppt◎已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實根．編輯ppt【錯因】利用反證法進(jìn)行證明時，首先對所要證明的結(jié)論進(jìn)行否定性的假設(shè)，并以此為條件進(jìn)行歸謬，得到矛盾，則原命題成立．即反證法必須