高等數(shù)學上冊-第二章復件高數(shù)

第二節(jié)二、反函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)求導法則四、初等函數(shù)的求導問題一、四則運算求導法則

函數(shù)的求導法則思路:(構(gòu)造性定義)求導法則其它基本初等函數(shù)求導公式證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導問題本節(jié)內(nèi)容一、和、差、積、商的求導法則定理證(3)證(1)、(2)略.推論注意:分段函數(shù)求導時,分界點導數(shù)用左右導數(shù)求.例題分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得已推導的基本公式:說明:

類似可得二、反函數(shù)的求導法則

定理2.

y的某鄰域內(nèi)單調(diào)、可導,

證:在

x

處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知

因此即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).例1.求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得利用,則2)設(shè)則特別當時,小結(jié):思考題:三、復合函數(shù)的求導法則

前面我們已經(jīng)會求簡單函數(shù)——基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算的結(jié)果的導數(shù)，但是像等函數(shù)（復合函數(shù)）是否可導，可導的話，如何求它們的導數(shù)?先看兩個引例．這里我們是先展開，再求導，若像求導數(shù)，展開就不是辦法，再像求導數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？

仔細分析知:引例1:引例2:?注意到事實上由以上兩例可見：由復合而成的函數(shù)的導數(shù)恰好等于對中間變量的導數(shù)與中間變量對自變量的導數(shù)的乘積——這就是鏈式法則在點x

可導,定理3.在點可導復合函數(shù)且在點x

可導,證:在點

u可導,故故有（當時)即因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則)例如,推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.關(guān)鍵:1.搞清復合結(jié)構(gòu),注意中間變量;2.鏈式法則——“由外向里，逐層求導”.例2解例3解練習1解例4解練習2練習３.設(shè)求解:思考:

若存在,如何求的導數(shù)?這兩個記號含義不同練習４:

設(shè)例5解例6解:練習5例7:求下列導數(shù):解:

(1)(2)(3)說明:

類似可得例8.

設(shè)解:記則(反雙曲正弦)其它反雙曲函數(shù)的導數(shù)見

P94例16.的反函數(shù)四、初等函數(shù)的求導問題

1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)(P94)2.有限次四則運算的求導法則(C為常數(shù))3.復合函數(shù)求導法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導,由定義證,說明:最基本的公式其它公式用求導法則推出.且導數(shù)仍為初等函數(shù)例9.

求解:練習6.設(shè)解:求例10.

求解:關(guān)鍵:

搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導例11.

設(shè)求解:五、內(nèi)容小結(jié)求導公式及求導法則(見P94)注意:1)2)搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導.1.思考與練習對嗎?2.

設(shè)其中在因故正確解法:時,下列做法是否正確?在求處連續(xù),3.

求下列函數(shù)的導數(shù)解:(1)(2)或4.

設(shè)求解:

方法1

利用導數(shù)定義.方法2

利用求導公式.備用題

1.設(shè)解：2.設(shè)解:其中可導,求求思考題冪