基本不等式常見(jiàn)題型歸納（教師版）

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專題函數(shù)常見(jiàn)題型歸納三個(gè)不等式關(guān)系：（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．（2）a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．（3）a，b∈R，eq\f(a2＋b2,2)≤(eq\f(a＋b,2))2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．上述三個(gè)不等關(guān)系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者間的不等關(guān)系．其中，基本不等式及其變形：a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)(或ab≤(eq\f(a＋b,2))2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)和為定值時(shí)，可求積的最值；當(dāng)積為定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等號(hào)．【題型一】利用拼湊法構(gòu)造不等關(guān)系【典例1】（揚(yáng)州市2015—2016學(xué)年度第一學(xué)期期末·11）已知且，則的最小值為.【解析】∵且∴，解得或，∵∴，即．．練習(xí)：1．（南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第一次模擬·10）若實(shí)數(shù)滿足，且，則的最小值為．解析：由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，則有xy=2，那么==（x－y）+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)（x－y）=，即x=+1，y=－1時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為4．2.（蘇北四市（徐州、淮安、連云港、宿遷）2017屆高三上學(xué)期期末）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．3.（無(wú)錫市2017屆高三上學(xué)期期末）已知，且，則的最小值為.【典例2】（南京市2015屆高三年級(jí)第三次模擬·12）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則eq\F(4x,4x＋y)＋eq\F(y,x＋y)的最大值為．解析：由于eq\F(4x,4x＋y)＋eq\F(y,x＋y)===1+=1+≤1+=eq\f(4,3)，當(dāng)且僅當(dāng)4=，即y=2x時(shí)等號(hào)成立．【典例3】若正數(shù)、滿足,則的最小值為_(kāi)_________.解析：由,得,解得(當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí),取等號(hào)).變式：1.若,且滿足,則的最大值為_(kāi)________.解析：因?yàn)?所以由,,解得(當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí),取等號(hào)).2.設(shè)，，則的最小值為_(kāi)______43.設(shè)，，則的最大值為_(kāi)________4.（蘇北四市（淮安、宿遷、連云港、徐州）2017屆高三上學(xué)期期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為【題型二】含條件的最值求法【典例4】（蘇州市2017屆高三上期末調(diào)研測(cè)試）已知正數(shù)滿足，則的最小值為練習(xí)1．（江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末·14）已知正數(shù)滿足，則的最小值為.解析：對(duì)于正數(shù)x，y，由于+=1，則知x>1，y>1，那么+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（+）2=25，當(dāng)且僅當(dāng)·=·時(shí)等號(hào)成立．2.（2013~2014學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一）·11）已知正數(shù)滿足，則的最小值為．解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．故答案為：9．3．（南通市2015屆高三第一次調(diào)研測(cè)試·12）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如下圖所示，則的最小值為.解析：由題可得a+b=3，且a>1，那么+=（a－1+b）（+）=（4+++1）≥（2+5）=，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立．4．（江蘇省蘇北四市2015屆高三第一次模擬考試·12）己知a，b為正數(shù)，且直線與直線互相平行，則2a+3b的最小值為_(kāi)_______．【解析】由于直線ax+by－6=0與直線2x+（b－3）y+5=0互相平行，則有=，即3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）·=（2a+3b）（+）=++13≥2+13=25，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b時(shí)等號(hào)成立．5.常數(shù)a，b和正變量x，y滿足ab＝16，eq\f(a,x)＋eq\f(2b,y)＝eq\f(1,2).若x＋2y的最小值為64，則ab＝________.答案：64；(考查基本不等式的應(yīng)用).6.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．答案：【題型三】代入消元法【典例5】（蘇州市2016屆高三調(diào)研測(cè)試·14）已知，，則的最小值為．解析：由得，令則當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立．練習(xí)1．（江蘇省揚(yáng)州市2015屆高三上學(xué)期期末·12）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋2xy－1＝0，則x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=，那么x2＋y2=x2＋=x2+－≥2－=－，當(dāng)且僅當(dāng)x2=，即x4=時(shí)等號(hào)成立．2．（蘇州市2014屆高三調(diào)研測(cè)試·13）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則x+y的最小值為．解析：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴x+y的最小值為．故答案為：．3．（南通市2014屆高三第三次調(diào)研測(cè)試·9）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．解析：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=，當(dāng)且僅當(dāng)y=3，（x=5）時(shí)取等號(hào)．∴x+y的最小值為8．故答案為：8．4.（揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期中）若，且，則使得取得最小值的實(shí)數(shù)=。5.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是_________6.已知，且，，求的最大值為_(kāi)_____【題型四】換元法【典例6】（南京市、鹽城市2016屆高三年級(jí)第二次模擬考試·13）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x－b(a，b均為正數(shù))，不等式f(x)＞0的解集記為P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若對(duì)于任意正數(shù)t，P∩Q≠，則eq\F(1,a)－eq\F(1,b)的最大值是．【解析】由題意可知任意正數(shù)t，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}，構(gòu)成的集合的交集為，即，，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，或（舍）∵故．則eq\F(1,a)－eq\F(1,b)的最大值是eq\F(1,2)．2．（2016年江蘇省淮安、宿遷、連云港、徐州高考數(shù)學(xué)一模試卷·14）已知正數(shù)a，b，c滿足b+c≥a，則+的最小值為．解法一：∵正數(shù)a，b，c滿足b+c≥a，∴+≥+=（+）+﹣=+﹣≥﹣當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào)．故答案為：﹣解法二：由得，令，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故的最小值為．練習(xí)1．（江蘇省南京市2016屆高三第三次模擬·14）若實(shí)數(shù)x，y滿足2x2＋xy－y2＝1，則的最大值為．解析：由2x2＋xy－y2＝1可得，，令，則，，，代入得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為．2．設(shè)是正實(shí)數(shù),且,則的最小值是____.解:設(shè),,則,所以=.因?yàn)樗?3..若實(shí)數(shù)x，y滿足2x2＋xy－y2＝1，則eq\f(x－2y,5x2－2xy＋2y2)的最大值為．eq\f(\r(2),4)4．（江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)2016屆高三數(shù)學(xué)教學(xué)情況調(diào)查數(shù)學(xué)試題（一）·14）若實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為5.解析：當(dāng)時(shí)，取最大值8，，取得最大值，解得，故.【題型五】判別式法【典例7】南通市2015屆高三第三次調(diào)研測(cè)試14．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的取值范圍為．【解析】設(shè)，則，代入得：，由，解得，即xy的取值范圍為.練習(xí)1.（泰州市2016屆高三第一次模擬·13）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．【解析】令，則，因此，當(dāng)時(shí)，，因此的最大值為2.設(shè)，，則的最大值為_(kāi)_______變式1．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題·14）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，，，，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的最大值是．解析：由題意得：，對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，因此，即對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，即，對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，即，，即，實(shí)數(shù)的最大值是 【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判別式法、分離參數(shù)法、換主元法．判別式法：將所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1）對(duì)恒成立2）對(duì)恒成立分離變量法：若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值。一般地有：1）恒成立2）恒成立確定主元法：如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。2．（南京市2014屆高三年級(jí)第三次模擬·14）設(shè)二次函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為．對(duì)任意，不等式恒成立，則的最大值為．解析：∵，∴，∵對(duì)任意，不等式恒成立，∴恒成立，即恒成立，故，且，即，故，故答案為：．【題型六】分離參數(shù)法【典例8】（2013-2014學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高三（上）期末·14）．已知x＞0，y＞0，若不等式x3+y3≥kxy（x+y）恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為_(kāi)______．解析∵x＞0，y＞0，∴不等式x3+y3≥kxy（x+y）可化為，x2﹣xy+y2≥kxy，即，由基本不等式得，，∴k≤2﹣1=1，∴實(shí)數(shù)k的最大值為1，故答案為：1．練習(xí)1．（江蘇省蘇北三市2016屆最后一次模擬·3）已知對(duì)滿足的任意正實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.解析：，而，因此即實(shí)數(shù)的取值范圍為．2．若不等式x2＋2x