初中數(shù)學(xué)輔助線專項(xiàng)突破 專題1中點(diǎn)專題（無(wú)答案）

.@:第一章中點(diǎn)專題三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考命題的熱點(diǎn)。其中，三角形各邊的中點(diǎn)、中線及中位線的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，是中考的必考內(nèi)容，歷年多以計(jì)算和證明題的形式出現(xiàn)。我們預(yù)計(jì)與中點(diǎn)有關(guān)的操作性試題和綜合性的探究題將是今后幾年中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型。方法技巧提煉與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線，我們總結(jié)以下四種類型：類型一見(jiàn)中線，可倍長(zhǎng)1.倍長(zhǎng)中線或類中線〔與中點(diǎn)有關(guān)的線段〕構(gòu)造全等三角形或平行四邊形2.有些幾何題在利用“倍長(zhǎng)中線〞證完一次全等三角形后，還需再證一次全等三角形，即“二次全等〞.在證明第二次全等時(shí)，難點(diǎn)通常會(huì)表達(dá)在倒角上.常見(jiàn)的倒角方法有：①“8〞字型〔如圖1-8〕；②平行線；③180°〔平角；三角形內(nèi)角和〕；④360°〔周角；四邊形內(nèi)角和〕；⑤小旗子〔三角形外角〕；⑥90°〔互余角〕類型二見(jiàn)等腰三角形，想“三線合一〞等腰三角形底邊的中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接，用“三線合一〞類型三見(jiàn)斜邊，想中線直角三角形斜邊的中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線，目的是得到三條等線段和兩對(duì)等角.類型四見(jiàn)多個(gè)中點(diǎn)，想中位線三角形的兩邊有中點(diǎn)，可以連接這兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線；一邊中點(diǎn)，可以在另一邊上取中點(diǎn)，連接構(gòu)造中位線；一邊中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)作平行線可構(gòu)造相似三角形.精題精講精練類型一見(jiàn)中線可倍長(zhǎng)例題1.如圖1-9，在?ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F,AF=EF，求證：AC=BE.【思路提示】AD是中線，可考慮倍長(zhǎng)中線.變式.如圖1-10，在?ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF//AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，假設(shè)AD為三角形ABC的角平分線，求證：BG=CF.例題2.如目1-11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別為AB,AC上的點(diǎn),且ED⊥FD,以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？假設(shè)能，該三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？【思路提示】倍長(zhǎng)中線DF,造全等三角形變式1.如圖1-12，點(diǎn)M為△ABC中BC邊上的中點(diǎn)，∠AMB,∠AMC的平分線分別交AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn),連接EF.求證：BE+CF>EF.變式2.如圖1-13，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DM⊥DN，假如BM2+CM2=DM2+DN2求證：AD2=〔AB2+AC2〕.例題3.〔豐臺(tái)一模〕ABC和△AED是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接BM和DM.如圖1-14〔1〕，假如點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，那么BM，DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是；將圖1-14〔1〕中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1-14〔2〕的位置，判斷〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.【思路提示】見(jiàn)到中點(diǎn)可考慮倍長(zhǎng)中線證全等，得到線段相等和平行線，再證二次全等即可.檢測(cè)1：如圖1-15，在ABC中，假設(shè)AB=10，AC=6，求邊上的中線AD的取值范圍.檢測(cè)2：如圖1-16，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE丄DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E：，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF.求證：BE+CF>EF.類型二見(jiàn)等腰三角形，想“三線合一〞例題4.如圖1-17，一副三角板如圖放置，等腰直角三角板ABC固定不動(dòng)，另一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)D處，且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩直角邊的交點(diǎn)G,H始終在邊AB,BC上.〔1〕在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段和CH大小有何關(guān)系？證明你的結(jié)論.〔2〕假設(shè)AB=BC=4cm，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形的面積是否改變？假設(shè)不變，求出它的值；假設(shè)改變，求出它的取值范圍.〔3〕假設(shè)交點(diǎn)G，H分別在邊AB，BC的延長(zhǎng)線上，那么〔1〕中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形，直接寫出結(jié)論.【思路提示】見(jiàn)到中點(diǎn)D，而且在等腰直角三角形的底邊上，可以想“三線合一〞，再證全等.例題5.如圖1-18，點(diǎn)P是等腰RtABC底邊BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BA，AC的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn),設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).求證：是等腰直角三角形.【思路提示】欲證明是等腰直角三角形，需證明DE=DF,=90°,故只要證明即可解決.檢測(cè)1：如圖1-19，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E,F分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且DE丄DF.〔1〕請(qǐng)說(shuō)明：DE=DF；〔2〕請(qǐng)說(shuō)明：BE2+CF2=EF2；〔3〕假設(shè)BE=6，CF=8，求DEF的面積.〔直接寫結(jié)果〕類型三見(jiàn)斜邊，想中線例題6.如圖1-20，ABC中，假設(shè)∠B=2∠C，AD丄BC，E為BC邊的中點(diǎn).求證：AB=2DE.【思路提示】取斜邊AC或AB的中點(diǎn)，利用斜邊中線性質(zhì)和中位線性質(zhì).例題7.如圖1-21，在RtABC中，ACB=90°,點(diǎn)D，E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且CEF=A.求證：DE=CF.【思路提示】點(diǎn)D，E分別是直角三角形ABC斜邊和直角邊的中點(diǎn)，利用斜邊中線的性質(zhì)和中位線解題.檢測(cè)1：如圖1-22，在RtABC中，ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CE=CF=AB，那么的度數(shù)為多少？檢測(cè)2：如圖1-23，在RtACB中，C為直角頂點(diǎn)，ABC=25°，O為斜邊中點(diǎn).將OA繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〔0°<<180°〕至OP，當(dāng)BCP恰為軸對(duì)稱圖形時(shí)，的值為多少？類型四見(jiàn)多個(gè)中點(diǎn)，想中位線例題8.問(wèn)題一：如圖1-24〔1〕，在四邊形ABCD中，AB=CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N.求證：BME=CNE.問(wèn)題二：如圖1-24〔2〕，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC，AB于點(diǎn)M，N，判斷的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.問(wèn)題三：如圖1-24〔3〕，在ABC中，AC>AB，點(diǎn)D在AC上，AB=CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接GD。假設(shè)EFC=60°，判斷AGD的形狀并證明.【思路提示】見(jiàn)到兩個(gè)中點(diǎn)，想到中位線;又AB,CD相等不共點(diǎn)，想到可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)移使它們共端點(diǎn)，這個(gè)可由取中點(diǎn)構(gòu)造中位線實(shí)現(xiàn).例題9.如圖1-25，ABC中，AB=AC，CE是AB邊上的中線，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD=AB.求證：CD=2CE.【思路提示】點(diǎn)B，E都是中點(diǎn)，可以嘗試倍長(zhǎng)中線，或構(gòu)造中位線檢測(cè)1：如圖1-26，在ABC中，點(diǎn)O是重心，BC=10，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)交AC