2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步蘇教版必修二講義：第一章 立體幾何初步1.2.3 第3課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3課時(shí)直線與平面垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面垂直的定義。2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并能靈活應(yīng)用判定定理證明直線與平面垂直．知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的定義定義如果一條直線a與一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線a與平面α互相垂直記法a⊥α有關(guān)概念直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)P稱為垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識(shí)點(diǎn)二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸）．觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？答案不一定．思考2當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？答案當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí),折痕AD與桌面垂直．梳理文字語(yǔ)言如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面符號(hào)語(yǔ)言a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m?α，n?α，?a⊥α圖形語(yǔ)言1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行．（×)2．若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α.（×）3．若a⊥b，b⊥α,則a∥α.（×)類型一線面垂直的定義例1下列命題中,正確的序號(hào)是________．①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；④過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條．答案③④解析當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直,所以②不正確，③正確；過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面，所以④正確．故填③④.反思與感悟(1）直線和平面垂直的定義是描述性定義,對(duì)直線的任意性要注意理解．實(shí)際上，“任意一條”與“所有”表達(dá)相同的含義．當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直．（2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b。跟蹤訓(xùn)練1設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是________．（填序號(hào)）①若l⊥m,m?α，則l⊥α;②若l⊥α，l∥m，則m⊥α；③若l∥α，m?α，則l∥m；④若l∥α，m∥α,則l∥m.答案②解析對(duì)于①，直線l⊥m，m并不代表平面α內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直;對(duì)于②，因?yàn)閘⊥α，則l垂直于α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故②正確;對(duì)于③，也有可能是l，m異面；對(duì)于④，l，m還可能相交或異面．類型二線面垂直的判定定理的應(yīng)用eq\x（命題角度1證明線面垂直）例2如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC。證明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC。又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC＝C,∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他條件不變，作AF⊥PB于點(diǎn)F，求證：PB⊥平面AEF.證明∵PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC,∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB?平面PBC,∴AE⊥PB,又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A,∴PB⊥平面AEF。反思與感悟應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來(lái)解決．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn),O是底面正方形ABCD的中心，求證:OE⊥平面ACD1.證明連結(jié)BD，AE，CE，D1O,D1E，B1D1，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，易證AE＝CE.∵AO＝OC，∴OE⊥AC。在正方體中易求出D1O＝eq\r(DD\o\al(2，1)＋DO2）＝eq\r（a2＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2）,2）a))2）＝eq\f（\r（6），2)a，OE＝eq\r（BE2＋OB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,2））)2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2），2）a))2）＝eq\f（\r（3)，2)a，D1E＝eq\r(D1B\o\al(2，1）＋B1E2)＝eq\r（\r（2）a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，2）））2)＝eq\f（3,2）a,∴D1O2＋OE2＝D1E2，∴D1O⊥OE?！逥1O∩AC＝O，D1O，AC?平面ACD1，∴OE⊥平面ACD1.eq\x（命題角度2證明線線垂直）例3如圖(1）,在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD,如圖（2）．（1）求證：DE∥平面A1CB；(2）求證：A1F⊥BE.證明（1)因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC。又因?yàn)镈E?平面A1CB,BC?平面A1CB,所以DE∥平面A1CB。（2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC。所以DE⊥A1D，DE⊥CD。所以DE⊥平面A1DC。而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F。又因?yàn)锳1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE?平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE。反思與感悟線線垂直的證明，常用方法是利用線面垂直的定義證明，即欲證線線垂直，可先證線面垂直．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示,若MC⊥菱形ABCD所在的平面,求證:MA⊥BD。證明連結(jié)AC,因?yàn)锳BCD是菱形,所以BD⊥AC。又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC。因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD。1．若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，則能保證該直線與平面垂直的是_____．（填序號(hào))①三角形的兩邊;②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．答案①③解析由線面垂直的判定定理可知,①③能判定直線與平面垂直;②中梯形的兩邊不一定相交，所以無(wú)法判定直線與平面垂直;④中正六邊形的兩邊不一定相交,所以無(wú)法判定直線與平面垂直．2．給出下列命題，其中正確命題的序號(hào)是________．①垂直于平面內(nèi)任意一條直線的直線垂直于這個(gè)平面；②垂直于平面的直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；③過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線只有一條;④過一點(diǎn)和已知直線垂直的平面只有一個(gè)．答案①②③④解析由直線與平面垂直的定義知,①②正確；③④顯然正確．3.如圖，平行四邊形ADEF的邊AF垂直于平面ABCD,AF＝2，CD＝3,則CE＝________.答案eq\r(13)解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝eq\r(DE2＋CD2）＝eq\r（22＋32)＝eq\r(13)。4．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD的形狀是________．答案菱形解析如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD。又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，則平行四邊形ABCD是菱形．5.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2,BC＝2eq\r(2），E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．證明：PC⊥平面BEF.證明如圖，連結(jié)PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA＝AB＝CD,AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點(diǎn)，所以EF⊥PC.因?yàn)锽P＝eq\r（AP2＋AB2)＝2eq\r（2）＝BC，又F是PC的中點(diǎn)，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化2．證明線面垂直的方法（1)線面垂直的定義．（2)線面垂直的判定定理．（3)如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．（4）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的完美結(jié)合，利用垂直關(guān)系可判斷平行，反過來(lái)由平行關(guān)系也可判定垂直，即兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面．一、填空題1．下列條件中，能使直線m⊥平面α的是________．(填序號(hào))①m⊥b，m⊥c，b⊥α,c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α;④m∥b，b⊥α.答案④解析由線線平行及線面垂直的判定知④正確．2．如圖(1），在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是邊G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)如圖(2)所示的幾何體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下面結(jié)論成立的是________．(填序號(hào)）①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF;④GD⊥平面SEF。答案①解析在圖（1)中，SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,因此在圖（2)中，SG⊥GE,SG⊥GF。又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG。3．已知ABCD—A1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論正確的是________．（填序號(hào)）①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1；④AC1⊥BD1.答案①②③解析正方體中由BD∥B1D1，易知①正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，從而BD⊥AC1，即②正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．故填①②③。4.如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線AM與直線BC的位置關(guān)系為________．答案AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC。又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM?平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直線l，m，n與平面α，給出下列說(shuō)法：①若l⊥α，則l與α相交;②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m⊥α,n⊥α,則l∥n；④若m∥n,n?α，則m∥α.其中正確的說(shuō)法為________．(填序號(hào))答案①③解析由l⊥α，得l與α相交，所以①正確；若m?α，n?α,l⊥m,l⊥n，因?yàn)閙，n不一定相交，所以l不一定垂直于α，所以②不正確；由m⊥α,n⊥α,可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正確；由m∥n，n?α，得m∥α或m?α，所以④不正確．6。如圖所示，PA⊥平面ABC,在△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．答案4解析∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC，∴PA⊥BC。又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,∴直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC，△PBC，共4個(gè)．7.如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面,C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________．考點(diǎn)直線與平面所成的角題點(diǎn)直線與平面所成的角答案2解析因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在Rt△PAC中,AC＝eq\f（1,2）AB＝eq\f(1，2)PA,所以tan∠PCA＝eq\f（PA,AC)＝2.8．在三棱錐P－ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC,PC⊥PB，則定點(diǎn)P在底面上的投影是底面△ABC________心．考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)三角形的四心答案垂解析設(shè)O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC＝P,∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC。①又∵O是P在底面ABC上的投影,∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC。②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC,∴O是△ABC的垂心．9.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M,N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝______。答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵M(jìn)N⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°。10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時(shí)，有AB1⊥BC1。（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情況)答案A1C1⊥B1C1(答案不唯一）解析如圖所示,連結(jié)B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此,要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因?yàn)锳1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件,如∠A1C1B1＝90°等）11．在正四棱錐P—ABCD中，PA＝eq\f（\r(3），2）AB，M是BC的中點(diǎn)，G是△PAD的重心，則在平面PAD中經(jīng)過G點(diǎn)且與直線PM垂直的直線有________條．答案無(wú)數(shù)解析設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,則側(cè)棱長(zhǎng)為eq\f(\r（3),2）a.∵PM⊥BC，∴PM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a）)2－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a,2）))2）＝eq\f(\r（2),2）a.連結(jié)PG并延長(zhǎng)與AD相交于N點(diǎn)，則PN＝eq\f（\r(2），2）a,MN＝AB＝a.∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN.∵AD∥BC,∴PM⊥AD，又PN∩AD＝N,∴PM⊥平面PAD，∴在平面PAD中經(jīng)過G點(diǎn)的任意一條直線都與PM垂直．二、解答題12.如圖,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r（2），AA1＝3，E為CD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3.證明:BE⊥平面BB1C1C.證明過點(diǎn)B作CD的垂線交CD于點(diǎn)F，則BF＝AD＝eq\r（2）,EF＝AB－DE＝1，F(xiàn)C＝2.在Rt△BFE中，BE＝eq\r(3）,在Rt△CFB中，BC＝eq\r(6）.在△BEC中，因?yàn)锽E2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC。又由BB1⊥平面ABCD,得BE⊥BB1,且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C。13。如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面,E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn),PA＝AD.求證:(1）CD⊥PD;（2）EF⊥平面PCD。證明(1）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以CD⊥PA。又在矩形ABCD中,CD⊥AD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD。(2)取PD的中點(diǎn)G,連結(jié)AG,FG.因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，E,F分別是AB，PC的中點(diǎn),所以GF綊eq\f（1,2)CD，所以GF綊AE，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以AG∥EF。因?yàn)镻A＝AD，G是PD的中點(diǎn),所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，由(1）知，CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，所以CD⊥AG，所以EF⊥CD.因?yàn)镻D∩CD＝D,所以EF⊥平面PCD。三、探究與拓展14．設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中點(diǎn),則PA＝PB＝PC。其中正確命題的序號(hào)是