曲線積分與曲面積分

關(guān)于曲線積分與曲面積分第一頁，共八十八頁，2022年，8月28日一、對弧長的曲線積分的概念1.定義函數(shù)f(x,y)在曲線弧上對弧長的曲線積分第二頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.存在條件：3.推廣第三頁，共八十八頁，2022年，8月28日4.性質(zhì)第四頁，共八十八頁，2022年，8月28日5、對弧長曲線積分的計算定理第五頁，共八十八頁，2022年，8月28日注意:第六頁，共八十八頁，2022年，8月28日例1解第七頁，共八十八頁，2022年，8月28日例2解例3解第八頁，共八十八頁，2022年，8月28日例3解由對稱性,知第九頁，共八十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題第十頁，共八十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念定義:

函數(shù)P(x,y)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)x的曲線積分類似地定義第十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.存在條件：3.組合形式第十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日4.推廣第十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日5.性質(zhì)即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).第十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日6、對坐標(biāo)的曲線積分的計算定理第十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日第十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日第十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日例1解第十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十頁，共八十八頁，2022年，8月28日例2解第二十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.第二十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日例3解第二十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.第二十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：其中（可以推廣到空間曲線上）第二十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日思考題第二十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.第二十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第三十頁，共八十八頁，2022年，8月28日1、區(qū)域連通性的分類

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD三、格林公式第三十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.格林公式定理1第三十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.第三十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日第三十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日xyoLAB第三十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日第三十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日解第三十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日xyoLyxo第三十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日xyo(注意格林公式的條件)第三十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日

若區(qū)域

如圖為復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。思考題第四十頁，共八十八頁，2022年，8月28日思考題解答由兩部分組成外邊界：內(nèi)邊界：第四十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日Gyxo四、第二類曲線積分與路徑無關(guān)的條件BA1.定義：如果在區(qū)域G內(nèi)有第四十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2第四十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日兩條件缺一不可有關(guān)定理的說明：第四十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日定理3第四十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日第四十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日解第四十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日解第四十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日第四十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日四、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題第五十頁，共八十八頁，2022年，8月28日第五十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日第五十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第五十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日五、對面積的曲面積分1.定義第五十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.對面積的曲面積分的性質(zhì)第五十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日3、計算法則第五十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日則第五十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日例1解第五十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日第五十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日解依對稱性知：第六十頁，共八十八頁，2022年，8月28日第六十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日第六十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題第六十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日第六十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第六十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日六、對坐標(biāo)的曲面積分1.曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)第六十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:第六十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日2、概念及性質(zhì)第六十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日類似可定義第六十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日存在條件:組合形式:第七十頁，共八十八頁，2022年，8月28日性質(zhì):第七十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日3、計算法第七十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日第七十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).第七十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日解第七十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日第七十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題第七十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第七十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日七、高斯公式第七十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日Gauss公式的實質(zhì)

表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知第八十頁，共八十八頁，2022年，8月28日解第八十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日(利用柱面坐標(biāo)得)第八十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日使用Guass公式時應(yīng)注意:第八十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日第八十四頁，共八十