第四章穩(wěn)恒電流

第四章穩(wěn)恒電流第一節(jié)電流的穩(wěn)恒條件和導(dǎo)電規(guī)律1。電流強(qiáng)度和電流密度（1）電流導(dǎo)體中電荷作定向運動形成電流，方向和大小都不隨時間變化的電流叫做穩(wěn)恒電流。在金屬導(dǎo)體中，正離子形成晶格，若大量自由電子在無規(guī)則熱運動基礎(chǔ)上相對晶格作規(guī)則的定向移動，便形成電流，自由電子被稱為載流子。在電解液中，正、負(fù)離子的定向運動形成電流，其載流子是正、負(fù)帶電離子。像上述兩種情況下大量微觀帶電粒子定向移動所形成的電流叫傳導(dǎo)電流。此外，由宏觀帶電體或帶電粒子作宏觀定向移動所形成的電流叫運流電流，由變化的電場“產(chǎn)生”的電流叫位移電流。關(guān)于位移電流將在本書的第十一章中介紹，本章主要研究傳導(dǎo)電流。形成傳導(dǎo)電流的條件是：物體中有可移動的電荷，即載流子；物體兩端有電勢差或物體內(nèi)有電場。例如在金屬導(dǎo)體內(nèi)就有可以自由移動的電荷——自由電子，所以在金屬導(dǎo)體的兩端加上電壓時就可在其內(nèi)形成電流，因而金屬是導(dǎo)電的，稱為導(dǎo)體。導(dǎo)體內(nèi)電流的形成過程為：當(dāng)在導(dǎo)體兩端加上電壓時，與之相伴隨而在導(dǎo)體內(nèi)會產(chǎn)生一電場，其方向沿著電勢降落的方向，在電場的作用下，自由電子將逆著電場的方向作規(guī)則的定向移動，從而形成電流。習(xí)慣上，人們把正電荷在電場作用下規(guī)則定向移動的方向規(guī)定為電流的方向，因而電流的方向與自由電子移動的方向正好相反，這樣在形成電流問題上，可以把負(fù)電荷移動形成的電流看作是正電荷沿相反方向移動形成的電流。2）電流強(qiáng)度電流的強(qiáng)弱用電流強(qiáng)度來表示，其定義為：單位時間通過導(dǎo)體任一截面的電量。假定在dt時間內(nèi)，通過導(dǎo)體截面的電量為dq,用I表示電流強(qiáng)度，則有I=dq/dt其單位是安培（用A表示），1安培=1庫侖/秒。電流強(qiáng)度是標(biāo)量,通常所說的電流方向是指電荷在導(dǎo)體內(nèi)移動的方向,并非電流是矢量。當(dāng)I二dq/dt二常數(shù)時，即電流強(qiáng)度的大小和方向都不隨時間發(fā)生變化時，這種電流稱為穩(wěn)恒電流，也叫直流電流；當(dāng)I隨時間發(fā)生周期性變化時，稱為交變電流；當(dāng)I隨時間作正弦規(guī)律的變化時，稱為正弦交流電。(3)電流密度應(yīng)該注意：電流雖然是電荷的定向移動形成的，但電流的傳遞速度與電荷定向移動的速度是完全不同的。一般來說，導(dǎo)體內(nèi)各點的電流分布是不相同的，為了描述電流分布的詳細(xì)情況，我們引入一個新的物理量——電流密度。在電流通過的導(dǎo)體中的某處取一小面元dS，使dS的法線單位矢量n的方向和該處的電流方向一致，設(shè)垂直通過dS的電流強(qiáng)度為di,則電流密度定義為：j=dI/dS該式表明，電流密度的大小等于垂直通過單位面積的電流強(qiáng)度，方向與該處小面元dS的法線方向即電流方向一致，單位是安培／米(A/m)。由上式還可求出通過任一有限面積S的電流強(qiáng)度。在S上任取一面積元dS,其法向方向與該處的j夾一角度為e角，則通過dS的電流強(qiáng)度dI=j?dS則通過有限面積S的電流強(qiáng)度為mj?ds可見電流強(qiáng)度也可看作是電流密度矢量對該曲面的通量。2．電流連續(xù)性方程在導(dǎo)體內(nèi)任取一個閉合曲面S,因為閉合曲面S的法線正方向總是規(guī)定向外的，所以通過該閉合曲面的j通量，就是面內(nèi)向外流出的電流強(qiáng)度,亦即單位時間向外流出的電量。根據(jù)電荷守恒定律,從曲面內(nèi)流出的電量應(yīng)等于面內(nèi)電量的減少量。設(shè)閉合曲面內(nèi)的電量為q,則有旺j?dS=-dq/dt該式稱為電流連續(xù)性方程。對于穩(wěn)恒電流，由于I的大小和方向都不隨時間發(fā)生變化,這樣形成電流的電場就必須是一個穩(wěn)定場,產(chǎn)生電場的電荷就必須是一個穩(wěn)定的分布,這樣對于任一閉合曲面S,必有Jjj?dS=O此即為穩(wěn)恒電流的連續(xù)性方程,也叫電流的穩(wěn)恒條件。穩(wěn)恒電流的電場是一個不隨時間發(fā)生變化的電場,它與前面講的靜電場十分相似，靜電場所滿足的規(guī)律在此仍然適用，在后面電路中經(jīng)常使用的電勢和電勢差（電壓）就是基于這一點。第二節(jié)均勻電路的歐姆定律及其微分形式焦耳定律1.均勻電路的歐姆定律所謂均勻電路，就是一段不含電源的穩(wěn)恒電路，比如給導(dǎo)體兩端加上恒定的電勢差，導(dǎo)體中相應(yīng)地就存在著穩(wěn)恒電流，電勢差越大，電流強(qiáng)度I就越大，導(dǎo)體中的電流強(qiáng)度I和導(dǎo)體兩端的電勢差之間的關(guān)系由實驗得出為I=U/R該式稱為均勻電路的歐姆定律。式中R是常數(shù)，稱為導(dǎo)體的電阻，在國際制單位中的單位為歐姆（用Q表示）。實驗表明歐姆定律它不僅適用于金屬導(dǎo)體，而且對電解質(zhì)溶液也適用，但它對氣態(tài)導(dǎo)體（如日光燈中汞蒸汽）和其它一些導(dǎo)電器件（電子管、晶體管）則不成立。2．電阻定律一般金屬導(dǎo)體電阻的大小與導(dǎo)體的材料和幾何形狀有關(guān)。實驗指出，對由一定材料制成的橫截面均勻的導(dǎo)體的電阻R=p1/S該式稱為電阻定律。式中i是導(dǎo)體的長度，S是導(dǎo)體的截面積，比例系數(shù)p是導(dǎo)體的電阻率，單位是歐姆?米（Q?m），大小由材料性質(zhì)決定。電阻率的倒數(shù)叫電導(dǎo)率，用符號Y表示，即p=1/Y當(dāng)導(dǎo)體的橫截面積不均勻或電阻率不均勻時，導(dǎo)體的電阻R=pdl/S當(dāng)溫度發(fā)生變化時，導(dǎo)體的電阻率也要改變。實驗表明，在通常情況下大多數(shù)金屬導(dǎo)體溫度越高，電阻率越大。3．半導(dǎo)體和超導(dǎo)體一般把電阻率小于10-60?m的材料叫導(dǎo)體，電阻率大于108Q?m的材料叫絕緣體，電阻率在10-5?1060?m之間的材料叫半導(dǎo)體，鍺和硅是最常見的半導(dǎo)體。半導(dǎo)體材料有以下特點：當(dāng)溫度發(fā)生變化時，其導(dǎo)電性能會急劇變化，溫度升高，其電阻會急劇減小，(這與上述的金屬導(dǎo)體完全相反)并且變化不是線性的。適當(dāng)摻雜，其導(dǎo)電性能會急劇增加。光照時其導(dǎo)電性能也會發(fā)生變化。正是基于以上三點，半導(dǎo)體材料獲得了廣泛的應(yīng)用，由此制作的二極管、三極管、場效應(yīng)管以及集成電路等已成為電子線路最重要的元件。當(dāng)溫度降到某一特定熱力學(xué)溫度Tc時，某些金屬、合金以及金屬化合物的電阻率會幾乎減小到零，這種現(xiàn)象叫超導(dǎo)現(xiàn)象。能產(chǎn)生超導(dǎo)電現(xiàn)象的材料叫超導(dǎo)體，超導(dǎo)體處于電阻率為零的狀態(tài)叫超導(dǎo)態(tài)。叫做轉(zhuǎn)變溫度。到目前為止，通過對各種金屬的實驗測定，人們已發(fā)現(xiàn)在正常壓力下，有28種元素具有超導(dǎo)電性，其中鋸(Nb)的轉(zhuǎn)變溫度最高，Tc=9?26K,鎢(W)的轉(zhuǎn)變溫度最低，Tc=O?012K。另外有10多種金屬，在加壓和制成高度無序薄膜以后，也會變?yōu)槌瑢?dǎo)體。目前約有5000種合金和化合物具有超導(dǎo)現(xiàn)象，最高轉(zhuǎn)變溫度已達(dá)90K。費利(F訂e)等人用核磁共振方法測量超導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場來研究螺線管內(nèi)超導(dǎo)電流的衰減，他們得到的結(jié)論是超導(dǎo)電流的衰減時間不短于10萬年，這樣的電流真可稱為永久電流，可見超導(dǎo)體處于超導(dǎo)態(tài)時是一種完全導(dǎo)電的理想導(dǎo)體。1933年邁斯納用實驗還證明了，在超導(dǎo)狀態(tài)下，超導(dǎo)體內(nèi)部磁場消失，它是一個理想的抗磁體。超導(dǎo)研究是目前物理學(xué)上一個活躍的領(lǐng)域，其主要工作有以下幾個方面：①完善關(guān)于超導(dǎo)電性的理論解釋；②提高較變溫度Tc,這直接關(guān)系到超導(dǎo)體的應(yīng)用問題；③關(guān)于超導(dǎo)的應(yīng)用研究。在目前世界上競相開展的超導(dǎo)研究熱潮中，我國中科院物理所的研究工作一直走在世界的前列。4?歐姆定律的微分形式j(luò)=YE稱作歐姆定律的微分形式。它表明導(dǎo)體中任意一點的電流密度與該點的電場強(qiáng)度成正比，且同方向。歐姆定律的微分形式雖是在穩(wěn)恒電流情況下推出的，但對電流變化不很快的非穩(wěn)恒情況也適用，因此它比歐姆定律的積分式更為普遍。5?電功及電熱定律電流通過一段電路時，電場力作的電功A=qU=IUt電功率 P=A/t=IU其單位分別為焦?fàn)?J)和瓦(W)。此二式是普遍適用的式子而不論何種用電器。在電場力作功過程中，電勢能轉(zhuǎn)變成其他形式的能，如純電阻電路將全部轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能，電解池電路將轉(zhuǎn)變?yōu)榛瘜W(xué)能和少量內(nèi)能，電動機(jī)電路將轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能和少量內(nèi)能等等。電流通過電阻時產(chǎn)生的熱量由實驗得出為Q=I2Rt該式焦耳定律，其電熱功率為P=I2R電熱功率密度P=aE也稱作焦耳定律的微分形式，它像歐姆定律的微分形式一樣，是對任意一點都是成立的。第三節(jié)電動勢非均勻電路的歐姆定律1．電源前面講過，在一段均勻的導(dǎo)體中，要維持一穩(wěn)恒電流，那么在導(dǎo)體的兩端就要維持恒定不變的電勢差，現(xiàn)在來看這一條件是如何滿足的。我們以電容器放電時產(chǎn)生的電流為例。如圖所示，當(dāng)用導(dǎo)線把充過電的電容器的正負(fù)極板連接以后，正電荷就在靜電力的作用下從正極板通過導(dǎo)線向負(fù)極板流動而形成電流。但是這種電流是一種暫時電流，因為兩極板上正負(fù)電荷會逐漸中和而減少，兩極板間電勢差也逐漸減小而趨于零，導(dǎo)線中電流也逐漸減弱直到等于零。由此可見，僅有靜電力是不能形成穩(wěn)恒電流的。為了形成穩(wěn)恒電流，必須有一種裝置，它能為電路提供一種非靜電力，從而把正、負(fù)電荷再分開以維持電勢差不變。在電路上，把能夠提供這種非靜電力的裝置叫電源。從能量的角度講，電源是一種向電路提供能量的裝置，干電池、蓄電池、發(fā)電機(jī)等都屬于電源。電源是一種能量轉(zhuǎn)換裝置，它的作用是通過非靜電力對電荷作功，把其它形式的能量轉(zhuǎn)換為電路所需的電能。不同的電源，非靜電力的形式不同，所以能量轉(zhuǎn)換的方式也不同。2．電源的電動勢電源有兩個電極，一個叫正極，一個叫負(fù)極。電源工作時就是靠非靜電力作功不斷地把正電荷從負(fù)極推向正極，其能力的大小用電源的電動勢&來表示，其定義為：把單位正電荷從電源的低電位（負(fù)極）推向高電位（正極）非靜電力所作的功。設(shè)電源對正電荷q施加的非靜電力為Fk，則從電源負(fù)極到正極Fk所作的功為A=J+Fdl=qJ+Edl

kkk所以電源的電動勢宓=nEkdi式中Ek表示非靜電力場，數(shù)值上等于單位正電荷受的非靜電力，方k向和正電荷受的非靜電力的方向相同。在有些情況下，整個回路L都是電源，因此電動勢&可普遍地表示為€ =tEkdl電動勢是一個標(biāo)量，其單位和電勢的單位相同，為伏特(V),其大小只取決于電源本身的性質(zhì)，與電源外電路的連接方式無關(guān)。為了使用方便,常規(guī)定電動勢的方向為電源內(nèi)部電勢升高的方向,也即從負(fù)極指向正極。表征電源的另一個重要參量是電源的內(nèi)阻r，當(dāng)有電流通過電源時，電阻r對電流也有阻礙作用，電勢在r上也有降落，電能也會損失而使電源發(fā)熱。由電源的電動勢&=A/q和q=It可得，電源的功率P=I€將該式與電阻的功率P=IU相比較，可以看出€與U相當(dāng)，事實上,當(dāng)電源無內(nèi)阻時，€在數(shù)值上就等于電源的端電壓。含源電路的歐姆定律對于一段含源電路，其歐姆定律的表達(dá)式為U=&-I(R+r)式中的符號法則規(guī)定為：U表示選定方向為A-B,若U>0,表明電勢升高;若UV0,表明電勢降低。 BA BA若電阻中的電流方向與選定方向相同,則電勢降落,電壓取-IR；反之取+IR,對電源內(nèi)阻r亦相同。若電動勢的方向(負(fù)極指向正極)與選定方面相同,則電勢升高，取+&;反之，取-￡。閉合電路的歐姆定律若電源外電路上僅與一個電阻R相連接，則為無分支的最簡單的閉合電路。下面我們從能量守恒的角度來求閉合回路的電流強(qiáng)度。電源€向電路提供能量，其功率為P=I￡，而外電阻R和內(nèi)電阻r在電路上消耗的功率分別為IR和Ir,這樣由能量守恒定律可得￡=Ir+IR

則 I二￡/(R+r)該式表明閉合電路中的電流等于電源的電動勢與總電阻之比，稱為閉合電路的歐姆定律。關(guān)于閉合電路的歐姆定律應(yīng)注意以下幾點：當(dāng)Rf8時，外電路開路，1=0,此時電路上沒有電流；當(dāng)R=0時，外電路短路，I=￡/r,由于一般r很小，I很大，所以極易燒毀電源,應(yīng)注意避免發(fā)生這種情況。對前一式變形可得IR+Ir—￡=0,其中IR是電壓，若將￡看作無內(nèi)電阻電源的端電壓,則這一關(guān)系可理解為,在穩(wěn)恒電路中,從電路的某一點出發(fā),繞電路一周,各個元件的電壓之和為零,這是一個很重要的結(jié)論,在分析電路時經(jīng)常用到。電源兩端的電壓U稱作路端電壓，它是電源向電路提供能量(也稱為放電)時的電壓,U=IR=￡-Ir。如果一個閉合電路含有多個電源,則先取一繞行方向,并假設(shè)電流強(qiáng)度方向，然后按上述規(guī)定的符號法則即可。例1?附圖中所示的電路，U=12伏，Rx=30千歐，7?2=6.0千歐，尺3=100千歐,^4=10千歐，心=100千歐，&=1.0千歐，^7=2.0千歐，求電壓%、和Ug.+(習(xí)題18)〔解〕利用串聯(lián)電路中各電阻上電壓分配規(guī)律，得電阻尺2,只3,^49Rj兩端電壓分別為2.0伏，0伏，0伏，8.0伏。設(shè)電源負(fù)極為電位零點，貝I]a、力,、d四點的電位分別為+(習(xí)題18)Uq=2.0伏，4=12伏，U亡=0伏，~8.0伏.因此所求電壓分別為U譏二UQ—U匕=-10伏，Uqg=Uq—Uc=2.0伏，口譏=人一01=—6.0伏?第四節(jié)基爾霍夫定律1．支路、節(jié)點、回路對于復(fù)雜的電路，用歐姆定律是無法求解出電流的，下面介紹一種解算復(fù)雜電路的基本定律：基爾霍夫定律。首先介紹幾個名詞：（1）支路支路就是由電源、用電器（如電阻）串聯(lián)而成的電流強(qiáng)度相同的通路。（2）節(jié)點節(jié)點就是由三個或三個以上支路匯交之點。（3）回路回路就是由支路構(gòu)成的閉合通路。2．基爾霍夫定律基爾霍夫包括兩個定律（1）節(jié)點電流定律，即基爾霍夫第一定律：ZI=0其表述為：在任一節(jié)點處的電流之和為零，或著說流出節(jié)點的電流（一般規(guī)定流出為正）等于流入節(jié)點的電流（流入為負(fù)）。這實質(zhì)上就是電流連續(xù)性方程或者說就是電荷守恒定律的反映。（2）回路電壓定律，即基爾霍夫第二定律：Z&+ZIR=0其表述為：沿任意閉合回路一周的電壓為零，或者說電勢增高之量等于電勢降落之量。其￡和IR的正負(fù)，完全與上接節(jié)的苻號法則像同?；芈冯妷憾蓪嵸|(zhì)上就是能量守恒定律的反映。（3）應(yīng)用基爾霍夫定律可以解算任何復(fù)雜的電路問題，其解題步驟為：假定電流方向和回路方向。找節(jié)點，若有n個節(jié)點，就可列出（n—1）個獨立的節(jié)點電流方程。找回路，只要回路內(nèi)有一段新電路，則這個回路就是獨立的?；蛘哒揖W(wǎng)孔，因為網(wǎng)路中每一網(wǎng)孔必然是獨立的。這樣又可列出m個（網(wǎng)孔數(shù)）回路電壓方程。聯(lián)立求解，當(dāng)I>0時，表明真實方向與假定方向一致，當(dāng)IV0時，則相反。例題1復(fù)雜電路如圖3-4-36所示，已知多=2.15V,^2=1.9V,rxQ0.1Q,r2=0.2Q,R=2Q.求：(1)各支路電流；(2)A、B兩點間的電壓；(3)兩電源的輸出功率和電阻R消耗的功率.解：(1)設(shè)各支路電流分別為人、人、人，正方向如圖

所示.根據(jù)基爾霍夫第一定律列出A點的節(jié)點電流方程，—人一匚+人=0根據(jù)基爾霍夫第二定律，對兩個網(wǎng)孔IJI分別列出回路電壓方程,7,十匚一人=0<0.1/, 0.212=0.25k0.2/2十2人=1.9由此方程組解出7,=1.5A,12=一0.5A,Z3=1A0,說明該支路實際電流方向與所設(shè)方向相反；其余支路的實際電流方向與所設(shè)的相同.A、B兩點的電壓Z7ab=I左=■1X2=2V讀者可以根據(jù)一段含源也路的歐姆定律，通過另外兩條支路驗證這個結(jié)果.電源茨的輸出功率Pi=/Qab=1.5X2=3W電源用2的輸出功率P2=Z2^ab=—0.5X2=—1Wp2<0,說明電源氛實際上不是輸出功率，而是從外部輸入功率，處于充電狀態(tài).電阻R消耗的功率巴=ER=FX2=2W從以上計算可知，電源用,輸出的功率，一部分消耗在電阻R上，另一部分輸入電源用”為之充電.電動勢不相等的電源并聯(lián)供電出現(xiàn)的這種情況，應(yīng)盡量避免.例題2如圖是惠斯通電橋原理圖.電源電動勢診已知，內(nèi)

阻忽略不計，求靈敏電流計的電流5與各臂電阻的關(guān)系.解：設(shè)各支路電流正方向如圖，在此過程中已利用了基爾霍夫第一定律，以盡量減少未知數(shù)的個數(shù).這里只設(shè)LJzJg三個未知數(shù).根據(jù)基爾霍夫第二定律，對IJIJH三個網(wǎng)孔分別列出回路電壓方程，設(shè)各回路的繞行方向均為順時針方向，則有網(wǎng)孔I： 人&+幾肌一人乩=0網(wǎng)孔II：Ui一/<3）從一（人+4）&—!gRg=0網(wǎng)孔III：11R1+（/2+4）&一分=0整理后得IR一I2R2+IgRg=0IR一IR一5（乩十從十Rg）=0人（&十E）十皿=送三個方程聯(lián)立求解，得j= （出&一&RJ發(fā) G &從（從+&）+尺2&（&+乩）+氐（&+從）（&+乩）由上式可知，當(dāng)從乩一&&=0,即當(dāng)邑=Er2&時，IG=O,電橋平衡，反之，當(dāng)電橋平衡時，IG=0,上式是電橋平衡的條件

例題3圖3-4-38是電勢差計的原理圖，求待測電池電動勢????銘.解：分析：電勢差計是用來精確測量電勢差的儀器，也常用于測量電源的電動勢.我們知道，用伏特計接在電源兩端測量時,由于伏特計中有電流通過，測得的路端電壓小于電源的電動勢?從路端電壓的公式（3440）、（3441）兩式可以看出，只有當(dāng)時，電源電動勢才等于路端電壓.電勢差計就是根據(jù)這個道理設(shè)計的.電路中，電池組的電動勢用應(yīng)大于標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢殞和待測電池的電動勢用’?下面來具體求解.先將開關(guān)K關(guān)到1,把標(biāo)準(zhǔn)電池罠接入電路，與電流計6AC間電阻Rx構(gòu)成補償回路.設(shè)各支路電流的正方向如圖.根據(jù)基爾霍夫第一定律，對節(jié)點A列出節(jié)點電流方程I—J】+人=0根據(jù)基爾霍夫第二定律，對補償回路列出回路電壓方程送、十厶心+JRg—IRzQ0合并上兩式，得（心+rq）i2—心（人一厶）=一罠調(diào)節(jié)滑動觸頭C,使電流計G中無電流通過，即/2=0,設(shè)此時R’=則上式變?yōu)镮0可見，當(dāng)AC段的電位差人&等于標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢憑時，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢被補僚——通過該電池的電流為零.保持由滑線電阻、電池組/和制流電阻R組成的輔助回路中的電流不變，使開關(guān)K關(guān)到2,將待測電池接入補償回路，重新調(diào)節(jié)滑動觸頭C,再次使電流計中無電流通過，設(shè)此時Rx=R29同理得" IR=炙比較式（3453）和（3.4.54）,得可見，只要已知標(biāo)準(zhǔn)電池電動勢緩和乎，就可求出農(nóng)”從上述例題中可看出，用基爾霍夫定律解決復(fù)雜電路問題的步驟大致如下：（1） 任意假設(shè)各支路電流正方向.（2） 根據(jù)基爾霍夫第一定律，對n個節(jié)點列出n一1個節(jié)點電流方程.（3） 根據(jù)基爾霍夫第二定律，設(shè)定繞行方向，對獨立回路列出回路電壓方程.（4） 解聯(lián)立方程組，并根據(jù)解的正負(fù)得出所求的真實結(jié)果.等效電源定理等效電源定理在電路計算中應(yīng)用很廣泛，利用它常可將復(fù)雜電路簡化為單回路，從而使計算大為簡化。等效電源定理包括等效電