2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義選修1-1北師大版：第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)章末復(fù)習(xí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù).2。理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程。3.能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算．1．函數(shù)y＝f（x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(1）函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的瞬時變化率稱為函數(shù)y＝f（x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)，即f′（x0）＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy，Δx)＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0)）eq\f（fx0＋Δx－fx0,Δx)。（2)函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0）是曲線y＝f(x）在點P(x0，f(x0)）處切線的斜率,在點P處的切線方程為y－f(x0）＝f′(x0)(x－x0）．2．導(dǎo)函數(shù)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b)上的每一點x處都有導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)值記為f′(x)，f′(x)＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0）)eq\f（fx＋Δx－fx,Δx）,則f′(x）是關(guān)于x的函數(shù)，稱f′(x)為f（x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡稱為導(dǎo)數(shù)．3．導(dǎo)數(shù)公式表原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x）＝c(c是常數(shù)）f′(x）＝0f(x)＝xα(α為實數(shù))f′（x)＝αxα－1f(x）＝sinxf′(x)＝cosxf（x）＝cosxf′(x）＝－sinxf(x)＝ax（a〉0，a≠1)f′（x)＝axlnaf(x）＝exf′（x)＝exf（x）＝logax（a>0，a≠1)f′（x）＝eq\f（1,xlna）f(x)＝lnxf′(x）＝eq\f（1，x）f（x)＝tanxf′（x)＝eq\f(1,cos2x)f（x）＝cotxf′(x）＝－eq\f（1，sin2x）4．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)兩個函數(shù)f（x），g(x)可導(dǎo),則和的導(dǎo)數(shù)［f(x)＋g（x）］′＝f′(x）＋g′(x)差的導(dǎo)數(shù)[f（x）－g(x）］′＝f′（x）－g′（x)積的導(dǎo)數(shù)［f（x）g(x)］′＝f′（x）g（x）＋f(x)g′(x)商的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（fx，gx））)′＝eq\f(f′xgx－fxg′x，g2x）1．f′(x0）與(f(x0))′表示的意義相同．（×）2．若y＝eq\r(3），則y′＝eq\f（1，2)×3＝eq\f（3,2)。（×)3．因為（lnx)′＝eq\f（1,x），則eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，x)）)′＝lnx．（×）類型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例1求過曲線y＝sinx上點Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，6），\f(1，2)））且與過這點的切線垂直的直線方程．解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲線在點Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，6)，\f(1,2）)）處的切線斜率k＝coseq\f（π，6）＝eq\f（\r（3),2），∴過點P且與切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2,\r（3）)，故所求的直線方程為y－eq\f(1，2）＝－eq\f（2,\r(3）)（x－eq\f(π，6)),即2x＋eq\r(3）y－eq\f（\r（3),2）－eq\f（π,3)＝0。反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時關(guān)鍵是找到切點，若切點未知需設(shè)出．常見的類型有兩種，一類是求“在某點處的切線方程"，則此點一定為切點，易求斜率進(jìn)而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”,這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q（x1，y1)，由eq\f(y0－y1，x0－x1)＝f′(x1)和y1＝f（x1)求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x）＝eq\f(1,3）x3＋ax2－9x－1（a>0)，直線l是曲線y＝f(x)的一條切線,當(dāng)l的斜率最小時，直線l與直線10x＋y＝6平行．(1）求a的值；（2）求f(x）在x＝3處的切線方程．考點切線方程求解及應(yīng)用題點求曲線的切線方程解（1）∵f′（x）＝x2＋2ax－9＝(x＋a）2－a2－9，∴f′(x）min＝－a2－9,由題意知－a2－9＝－10,∴a＝1或－1(舍去）．故a＝1.（2)由(1)得a＝1?！鄁′(x）＝x2＋2x－9，則k＝f′（3）＝6，f(3）＝－10.∴f（x）在x＝3處的切線方程為y＋10＝6（x－3)，即6x－y－28＝0。類型二導(dǎo)數(shù)的計算例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y＝x2－lnx＋ax＋π；(2）y＝3eq\r（3，x4）＋4eq\r（x3）；（3)y＝eq\f(cosx，x2）.考點導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則題點導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用解(1)y′＝（x2－lnx＋ax＋π)′＝（x2）′－(lnx）′＋（ax）′＋π′＝2x－eq\f(1,x）＋axlna.(2)y′＝（3eq\r(3，x4）＋4eq\r（x3）)′＝（3eq\r（3,x4））′＋(4eq\r（x3))′＝4eq\r(3,x)＋6eq\r(x)。(3）y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(cosx，x2)))′＝eq\f(cosx′·x2－cosx·x2′,x4)＝eq\f（－sinx·x2－cosx·2x，x4)＝－eq\f（xsinx＋2cosx,x3)。反思與感悟有關(guān)導(dǎo)數(shù)的計算應(yīng)注意以下兩點（1）熟練掌握公式：熟練掌握簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則．（2)注意靈活化簡:當(dāng)函數(shù)式比較復(fù)雜時，要將函數(shù)形式進(jìn)行化簡,化簡的原則是將函數(shù)拆分成簡單函數(shù)的四則運(yùn)算形式，由于在導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式中，和與差的求導(dǎo)法則較為簡潔,因此化簡時盡可能轉(zhuǎn)化為和、差的形式，盡量少用積、商求導(dǎo)．跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1)y＝eq\f（3x2－x\r(x)＋5\r（x)－9,\r(x)）；（2）y＝eq\f（cos2x,sinx＋cosx).考點導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則題點導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用解(1）∵∴＝eq\f(9，2）eq\r(x)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，x2)))－1。（2）∵y＝eq\f(cos2x,sinx＋cosx)＝eq\f(cos2x－sin2x，cosx＋sinx)＝cosx－sinx，∴y′＝(cosx－sinx）′＝（cosx）′－（sinx）′＝－sinx－cosx。

類型三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f（x)＝a2x2（a>0)，若函數(shù)y＝f(x)圖像上的點到直線x－y－3＝0距離的最小值為eq\r(2)，求a的值．考點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解因為f(x）＝a2x2，所以f′(x）＝2a2x,令f′（x）＝2a2x＝1，得x＝eq\f（1,2a2)，此時y＝eq\f(1，4a2)，則點eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2a2)，\f（1，4a2)））到直線x－y－3＝0的距離為eq\r(2）,即eq\r(2）＝eq\f(\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f(1，2a2）－\f(1,4a2)－3)），\r(2）)，解得a＝eq\f（1，2）或eq\f（\r（5），10).反思與感悟利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題．解題時可先利用圖像分析取最值時的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計算．跟蹤訓(xùn)練3已知直線x－2y－4＝0與拋物線y2＝x相交于A，B兩點,O是坐標(biāo)原點，試在拋物線的弧上求一點P，使△ABP的面積最大．考點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解設(shè)P（x0，y0)，過點P與AB平行的直線為l，如圖．由于直線x－2y－4＝0與拋物線y2＝x相交于A，B兩點，所以|AB｜為定值,要使△ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大,而P點是拋物線的弧上的一點，因此點P是拋物線上平行于直線AB的切線的切點,由圖知點P在x軸上方，y＝eq\r（x)，y′＝eq\f(1,2\r(x))，由題意知kAB＝eq\f（1，2)?！鄈l＝eq\f（1，2\r(x0）)＝eq\f(1,2），即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1，1）.1．下列說法正確的是（)A．若f′(x0）不存在,則曲線y＝f(x）在點（x0,f（x0）)處就沒有切線B．若曲線y＝f(x）在點(x0，f（x0))處有切線，則f′（x0）必存在C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f（x)在點（x0,f（x0)）處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x）在點（x0，f（x0)）處沒有切線，則f′（x0）有可能存在答案C解析k＝f′(x0），所以f′（x0）不存在只說明曲線在該點處的切線斜率不存在,而當(dāng)斜率不存在時，切線方程也可能存在,其切線方程為x＝x0。2．已知函數(shù)f(x)＝x22x，則f′(2)等于（)A．16＋ln2 B．16＋8ln2C．8＋16ln2 D．16＋16ln2考點導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則題點利用導(dǎo)數(shù)的乘除法則求導(dǎo)答案D解析∵f′(x）＝2x·2x＋x2·2xln2，∴f′（2）＝16＋16ln2。3．設(shè)函數(shù)f(x）＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值為(）A。eq\f(19,3）B。eq\f（16，3）C.eq\f（13，3）D。eq\f（10，3）答案D解析f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1）＝4，∴3a－6＝4，∴a＝eq\f（10,3）.4．若直線y＝eq\f（1，2）x＋b是曲線y＝lnx(x>0）的一條切線，則實數(shù)b＝?？键c基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點與切線有關(guān)的問題答案ln2－1解析設(shè)切點為(x0，y0），∵y′＝eq\f(1，x)，∴eq\f（1,2）＝eq\f（1,x0)，∴x0＝2，∴y0＝ln2,ln2＝eq\f（1，2）×2＋b，∴b＝ln2－1。5．已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點,點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,－2，過P，Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A，則點A的縱坐標(biāo)為．考點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案－4解析由于P，Q為拋物線x2＝2yeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(即y＝fx＝\f(1，2）x2））上的點，且橫坐標(biāo)分別為4，－2，則P(4,8）,Q（－2,2)，從而在點P處的切線斜率k＝f′（4）＝4.由點斜式，得曲線在點P處的切線方程為y－8＝4(x－4）；同理，曲線在點Q處的切線方程為y－2＝－2(x＋2）；上述兩方程聯(lián)立，解得交點A的縱坐標(biāo)為－4.1．利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是逼近思想的應(yīng)用．2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在一點的切線的斜率．3．對于復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)，可利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,減少運(yùn)算量．一、選擇題1．y＝2x＋6從x＝2到x＝2。5的平均變化率是（）A．0B．0。5C．2D．2。5考點平均變化率的概念題點求平均變化率答案C解析y＝2x＋6從x＝2到x＝2。5的平均變化率是eq\f（Δy,Δx)＝eq\f(2×2。5＋6－2×2＋6，2。5－2）＝2，故選C。2．若物體運(yùn)動方程為s＝eq\f（1，4）t4－3t2,則t＝4時的瞬時速度為()A．4B．64C．16D．40考點導(dǎo)數(shù)的概念題點瞬時速度答案D解析∵s′＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，4)t4－3t2）)′＝t3－6t，∴s′(4)＝43－6×4＝40.

3。已知y＝f(x）的圖像如圖所示，則f′（xA）與f′（xB）的大小關(guān)系是（）A．f′(xA）〉f′（xB）B．f′（xA）〈f′(xB）C．f′(xA)＝f′（xB)D．不能確定答案B解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(xA),f′（xB）分別是切線在點A,B處切線的斜率，由圖像可知f′（xA）〈f′（xB）．4．已知曲線y＝x3－1與曲線y＝3－eq\f(1,2）x2在x＝x0處的切線互相垂直,則x0的值為()A。eq\f（\r（3）,3）B.eq\f(\r(3，3),3)C。eq\r（3)D。eq\f(\r（3，9），3)考點切線方程的求解及應(yīng)用題點求切點坐標(biāo)答案D解析由導(dǎo)數(shù)的定義容易求得，曲線y＝x3－1在x＝x0處切線的斜率k1＝3xeq\o\al(2，0），曲線y＝3－eq\f（1,2）x2在x＝x0處切線的斜率為k2＝－x0,由于兩曲線在x＝x0處的切線互相垂直,∴3xeq\o\al(2，0)·(－x0)＝－1，∴x0＝eq\f(\r(3,9)，3）,故選D。5．函數(shù)f（x）與g（x)是定義在R上的兩個可導(dǎo)函數(shù),若f(x），g(x)滿足f′(x)＝g′(x），則f(x）與g(x）滿足（）A．f(x)＝g(x）B．f(x）＝g(x)＝0C．f（x)－g（x)是常數(shù)函數(shù)D．f（x)＋g（x)是常數(shù)函數(shù)考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案C解析由f′（x）＝g′(x）可知f′(x)－g′（x)＝0，∴f(x）－g(x）＝c。6．設(shè)P為曲線C:y＝x2＋2x＋3上的點,且曲線C在點P處的切線的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f(π,4））)，則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為(）A。eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－1，－\f（1,2）)) B．[－1,0]C．［0，1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(1,2）,1）)答案A解析設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，先求出函數(shù)y＝x2＋2x＋3上此處的導(dǎo)數(shù)eq\f(Δy,Δx）＝eq\f(m＋Δx2＋2m＋Δx＋3－m2－2m－3,Δx)＝eq\f(2mΔx＋2Δx＋Δx2,Δx)＝2m＋2＋Δx，當(dāng)Δx趨于0時，eq\f(Δy,Δx)趨于2m＋2.∴f′(m）＝2m＋2.由于傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f(π，4)）)，∴0≤2m＋2≤1?－1≤m≤－eq\f(1,2）。即點P橫坐標(biāo)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（－1，－\f（1，2））).7．已知函數(shù)y＝x3＋ax2－eq\f(4a,3),使其導(dǎo)數(shù)為0的x的值也使y為0，則常數(shù)a的值為（）A．0 B．±3C．0或±3 D．以上答案都不對考點導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則題點導(dǎo)數(shù)加減法則的逆向應(yīng)用答案C解析由題設(shè)可知y′＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x3＋ax2－\f（4a,3))）′＝3x2＋2ax。令y′＝0，解得x＝0或x＝－eq\f（2a，3)。又∵當(dāng)x＝0時,y＝0，∴0＋a·0－eq\f(4a，3)＝0，解得a＝0;當(dāng)x＝－eq\f(2a,3）時，y＝0，∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（2a，3)))3＋aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(2a,3）））2－eq\f(4a,3）＝0，解得a＝0或a＝±3?！郺＝0或a＝±3。8．若曲線f(x）＝ax2＋lnx上存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是()A．（－∞，0) B．（－∞，1)C．（0，＋∞） D．（1，＋∞）答案A解析由題意知該函數(shù)的定義域為（0，＋∞)，f′(x)＝2ax＋eq\f（1，x）。因為存在垂直于y軸的切線，所以此時的切線的斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(0，＋∞）內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2ax＋eq\f（1,x)存在零點．又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）＝－2ax與函數(shù)h（x)＝eq\f（1,x)的圖像有交點．顯然a＝0不符合題意;當(dāng)a>0時，如圖（1),兩函數(shù)圖像顯然沒有交點；當(dāng)a<0時,如圖(2)，兩函數(shù)圖像正好有一個交點,綜上可得a〈0。二、填空題9．若曲線y＝ax－lnx在(1，a)處的切線平行于x軸，則實數(shù)a＝.考點切線方程的求解及應(yīng)用題點求切點坐標(biāo)答案1解析由題意得y＝ax－lnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝a－eq\f(1,x），∵在點(1，a）處的切線平行于x軸，∴a－1＝0，得a＝1.10．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x)，且滿足f(x）＝3x2＋2xf′(2)，則f′（5）＝.考點導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則題點利用導(dǎo)數(shù)的加減法則求導(dǎo)答案6解析∵f′(x)＝6x＋2f′（2），∴f′（2)＝12＋2f′(2)．∴f′(2)＝－12?！鄁′（x)＝6x－24.∴f′(5)＝30－24＝6。11．若曲線y＝eq\r(x）在點P（a,eq\r(a）)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是．考點切線方程的求解及應(yīng)用題點由條件求參數(shù)答案4解析y′＝eq\f(1，2\r(x)）,切線方程為y－eq\r（a）＝eq\f(1,2\r（a))(x－a)，令x＝0得，y＝eq\f(\r(a），2),令y＝0得，x＝－a，由題意知eq\f（1，2）·eq\f(\r(a）,2)·a＝2,∴a＝4。三、解答題12．設(shè)曲線C:y＝x3－3x和直線x＝a（a>0)的交點為P，曲線C在P點處的切線與x軸交于點Q（－a，0），求a的值．考點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x3－3x，，x＝a,）)解得P（a，a3－3a）．因為y′＝3x2－3，所以曲線C在點P處的切線的斜率為3a2－3,切線方程為y－（a3－3a)＝(3a2－3）（x－a）．令y＝0得切線與x軸的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2a3，3a2－3),0）)，則eq\f(2a3，3a2－3)＝－a，解得a＝eq\f（\r(15),5）或a＝－eq\f(\r（15）,5)或a＝0。因為a>0，所以a的值為eq\f（\r(15），5）。13．在曲線y＝eq\f(1,x）(x<0）上求一點P，使P到直線x＋2y－4＝0的距離最小．考點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解由題意得平行于直線x＋2y－4＝0的y＝eq\f(1，x)(x<0)的切線的切點即為所求P點，設(shè)P（x0，y0)，由y′＝－eq\f(1,x2)得,k＝－eq\f(1,x\o\al(2,0）），又x＋2y－4＝0的斜率為－eq\f（1，2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0））＝－eq\f(1,2），∴x0＝－eq\r(2）或eq\r(2）（舍去），當(dāng)x0＝－eq\r（2）時，y0＝－eq\f（1，\r(2)）＝－eq\f(\r(2),2),即P點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\r（2），－\f(\r(2）,2））).四、探究與拓展14．若曲線y＝x在點（a，a)處的切線與兩個