中心極限定理(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)課件

5.2中心極限定理定理5:(獨立同分布的中心極限定理)設隨機變量X1

,X2

,…,Xn,…相互獨立,服從同一分布,且具有數(shù)學期望和方差，E(Xk)=,D(Xk)=20(k=1,2,…).則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)

,對于任意x,有5.2中心極限定理定理5:中心極限定理的意義

在第二章曾講過有許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布

若聯(lián)系于此隨機現(xiàn)象的隨機變量為X

，是由于許多彼次沒有什么相依關系、對隨機現(xiàn)象誰也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機因素共同作用則它可被看成為許多相互獨立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.(即這些因素的疊加)的結果.中心極限定理的意義在第二章曾講過有許多隨對此現(xiàn)象還可舉個有趣的例子——高爾頓釘板試驗——加以說明.03—

釘子層數(shù)對此現(xiàn)象還高爾頓釘板03—釘子層數(shù)中心極限定理的應用例1

炮火轟擊敵方防御工事100次,每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布,其數(shù)學期望為2,均方差為1.5.若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨立的,求100次轟擊(1)至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2)命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.中心極限定理的應用例1炮火轟擊敵方防御工事100次,解

設Xk

表示第

k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨立，設X表示100次轟擊命中的炮彈數(shù),則由獨立同分布中心極限定理,有解設Xk表示第k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨立，設(1)(2)(1)(2)例2

售報員在報攤上賣報,已知每個過路人在報攤上買報的概率為1/3.令X

是出售了100份報時過路人的數(shù)目，求

P(280X320).解令Xi

為售出了第

i–1份報紙后到售出第i份報紙時的過路人數(shù),i=1,2,…,100(幾何分布)例2售報員在報攤上賣報,已知每個過路解令Xi為售出相互獨立,由獨立同分布中心極限定理,有相互獨立,由獨立同分布中心極限定理,有例3

檢驗員逐個檢查某產(chǎn)品,每查一個需用10秒鐘.但有的產(chǎn)品需重復檢查一次，再用去10秒鐘.若產(chǎn)品需重復檢查的概率為0.5,求檢驗員在8小時內檢查的產(chǎn)品多于1900個的概率.解

若在8小時內檢查的產(chǎn)品多于1900個,即檢查1900個產(chǎn)品所用的時間小于8小時.設X為檢查1900個產(chǎn)品所用的時間(秒)設Xk

為檢查第k

個產(chǎn)品所用的時間(單位：秒),k=1,2,…,1900例3檢驗員逐個檢查某產(chǎn)品,每查一個需解若在8小

XkP10200.50.5相互獨立同分布,XkP10200.5中心極限定理(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)課件(德莫佛-拉普拉斯定理)設隨機變量服從參數(shù)為n,p(0<p<1)

的二項分布，則對于任意x,有定理6:(德莫佛-拉普拉斯定理)設隨機變例4

某車間有200臺車床，每臺獨立工作，開工率為0.6.開工時每臺耗電量為r

千瓦.問供電所至少要供給這個車間多少電力,才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？解設至少要供給這個車間

a千瓦的電力，X為開工的車床數(shù),

則X~B(200,0.6),

X~N(120,48)(近似)由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,有例4某車間有200臺車床，每臺獨立工作，解設至少要供問題轉化為求

a,使反查標準正態(tài)函數(shù)分布表，得問題轉化為求a,使反查標準正態(tài)函數(shù)分布表，得令解得(千瓦)令解得(千瓦)例5

設有一批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中，良種比例與1/6比較上下不超過1%的概率.解設

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),X~B(6000,1/6)近似由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,則有例5設有一批種子，其中良種占1/6.解設X表中心極限定理(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)課件比較幾個近似計算的結果中心極限定理二項分布(精確結果)Poisson分布Chebyshev不等式比較幾個近似計算的結果中心極限定理二項分布(精確結果)Poi例2

設每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為

0.75,試用中心極限定理估計,n

多大時,才能在

n

次獨立重復試驗中,事件

A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90?解設

X

表示

n

次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(n,0.75)例2設每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為解設X表示要使，求n問題由德莫佛-拉普拉斯定理要使，求n問題由德莫佛-拉普拉斯定理由此可得查表可得由此解得由此可得查表可得由此解得(李雅普諾夫定理)設隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立,它們具有數(shù)學期望和方差:定理7:(李雅普諾夫定理)設隨機變量X1中心極限定理(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)課件例6某保險公司有10000個同齡又同階層的人參加人壽保險，已知該類人在一年內死亡的概率為0.006，每個參加保險的人在年初付12元保險費，而在死亡時家屬可向公司領得1000元。問在此項業(yè)務活動中：保險公司虧本的概率是多少？

保險公司獲得利潤不少于40000元的概率是多少？解：設這10000人中一年內死亡的人數(shù)為X，則X~b(10000,0.006)每年死亡人數(shù)超過120人時公司才會虧本，當每年死亡保險公司一年收取10000×12=120000元保險費，故僅當例6某保險公司有10000個同齡又同階層的人參加人壽保險P{X>120}=1-人數(shù)不超過80人時公司獲利不少于40000元。由此可知，所求的概率分別為P{X>120}及P{X>120}=1-人數(shù)不超過80人時公司獲利不少于4005.2中心極限定理定理5:(獨立同分布的中心極限定理)設隨機變量X1

,X2

,…,Xn,…相互獨立,服從同一分布,且具有數(shù)學期望和方差，E(Xk)=,D(Xk)=20(k=1,2,…).則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)

,對于任意x,有5.2中心極限定理定理5:中心極限定理的意義

在第二章曾講過有許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布

若聯(lián)系于此隨機現(xiàn)象的隨機變量為X

，是由于許多彼次沒有什么相依關系、對隨機現(xiàn)象誰也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機因素共同作用則它可被看成為許多相互獨立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.(即這些因素的疊加)的結果.中心極限定理的意義在第二章曾講過有許多隨對此現(xiàn)象還可舉個有趣的例子——高爾頓釘板試驗——加以說明.03—

釘子層數(shù)對此現(xiàn)象還高爾頓釘板03—釘子層數(shù)中心極限定理的應用例1

炮火轟擊敵方防御工事100次,每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布,其數(shù)學期望為2,均方差為1.5.若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨立的,求100次轟擊(1)至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2)命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.中心極限定理的應用例1炮火轟擊敵方防御工事100次,解

設Xk

表示第

k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨立，設X表示100次轟擊命中的炮彈數(shù),則由獨立同分布中心極限定理,有解設Xk表示第k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨立，設(1)(2)(1)(2)例2

售報員在報攤上賣報,已知每個過路人在報攤上買報的概率為1/3.令X

是出售了100份報時過路人的數(shù)目，求

P(280X320).解令Xi

為售出了第

i–1份報紙后到售出第i份報紙時的過路人數(shù),i=1,2,…,100(幾何分布)例2售報員在報攤上賣報,已知每個過路解令Xi為售出相互獨立,由獨立同分布中心極限定理,有相互獨立,由獨立同分布中心極限定理,有例3

檢驗員逐個檢查某產(chǎn)品,每查一個需用10秒鐘.但有的產(chǎn)品需重復檢查一次，再用去10秒鐘.若產(chǎn)品需重復檢查的概率為0.5,求檢驗員在8小時內檢查的產(chǎn)品多于1900個的概率.解

若在8小時內檢查的產(chǎn)品多于1900個,即檢查1900個產(chǎn)品所用的時間小于8小時.設X為檢查1900個產(chǎn)品所用的時間(秒)設Xk

為檢查第k

個產(chǎn)品所用的時間(單位：秒),k=1,2,…,1900例3檢驗員逐個檢查某產(chǎn)品,每查一個需解若在8小

XkP10200.50.5相互獨立同分布,XkP10200.5中心極限定理(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)課件(德莫佛-拉普拉斯定理)設隨機變量服從參數(shù)為n,p(0<p<1)

的二項分布，則對于任意x,有定理6:(德莫佛-拉普拉斯定理)設隨機變例4

某車間有200臺車床，每臺獨立工作，開工率為0.6.開工時每臺耗電量為r

千瓦.問供電所至少要供給這個車間多少電力,才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？解設至少要供給這個車間

a千瓦的電力，X為開工的車床數(shù),

則X~B(200,0.6),

X~N(120,48)(近似)由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,有例4某車間有200臺車床，每臺獨立工作，解設至少要供問題轉化為求

a,使反查標準正態(tài)函數(shù)分布表，得問題轉化為求a,使反查標準正態(tài)函數(shù)分布表，得令解得(千瓦)令解得(千瓦)例5

設有一批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中，良種比例與1/6比較上下不超過1%的概率.解設

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),X~B(6000,1/6)近似由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,則有例5設有一批種子，其中良種占1/6.解設X表中心極限定理(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)課件比較幾個近似計算的結果中心極限定理二項分布(精確結果)Poisson分布Chebyshev不等式比較幾個近似計算的結果中心極限定理二項分布(精確結果)Poi例2

設每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為

0.75,試用中心極限定理估計,n

多大時,才能在

n

次獨立重復試驗中,事件

A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90?解設

X

表示

n

次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(n,0.75)例2設每次試驗中