分析力學(xué)課件

Chapter5分析力學(xué)

分析力學(xué)用新的觀點(diǎn)、新的方法處理力學(xué)問題，具有更高的概括性，是力學(xué)理論發(fā)展的更高階段，而這一發(fā)展是與充分利用了數(shù)學(xué)分析這一有力的數(shù)學(xué)工具是分不開的。分析力學(xué)注重的物理量不是力和加速度，而是功和能。從數(shù)學(xué)上講，處理對象從矢量轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量，處理方法也從幾何方法轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)分析的方法。Chapter5分析力學(xué)分析力1Chapter5分析力學(xué)內(nèi)容§5.1約束和廣義坐標(biāo)§5.2虛功原理

§5.3

拉格朗日方程§5.4小振動

§5.5哈密頓正則方程§5.6哈密頓原理§5.7泊松括號和泊松定理Chapter5分析力學(xué)內(nèi)容§5.1約束和廣義2本章基本要求：本章重點(diǎn)：

深刻理解約束、虛位移和廣義坐標(biāo)的概念；掌握拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)的寫法；牢固掌握虛功原理和拉格朗日方程并能熟練應(yīng)用；掌握能量積分的條件；能應(yīng)用正則方程解決簡單的力學(xué)問題；對哈密頓原理著重理解其思維方法；了解泊松括號和泊松定理。虛功原理和拉格朗日方程及其應(yīng)用。本章基本要求：本章重點(diǎn)：深刻理解約束、虛位移3§5.1約束和廣義坐標(biāo)

彼此相互影響的若干質(zhì)點(diǎn)的一個集合，稱為力學(xué)體系，也叫質(zhì)點(diǎn)組。一個力學(xué)體系中，存在著限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動的條件，我們把這些條件叫做約束，約束的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為約束方程。

一、約束的概念和分類1）約束§5.1約束和廣義坐標(biāo)彼此相互影響的若干質(zhì)點(diǎn)的一42）約束的分類例如：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)和長為l的剛性桿相連時，如剛性桿的上端固定不動，取此點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則約束方程：——穩(wěn)定約束

穩(wěn)定約束——如果限制系統(tǒng)位置的約束不是時間t的函數(shù)，則約束方程中不顯含時間t，即：a)穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束

不穩(wěn)定約束——如果約束是時間t的函數(shù)，則約束方程顯含時間t，即：2）約束的分類例如：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)和長為l的剛性桿相連時，如剛5如果桿的上端沿水平直線(x軸)以勻速運(yùn)動，并取該直線上某定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則約束方程為：——不穩(wěn)定約束

b)可解約束和不可解約束

不可解約束——質(zhì)點(diǎn)始終不能脫離某曲面（或曲線）的那種約束。

可解約束——如果質(zhì)點(diǎn)雖然被約束在某一曲面上，但在某一方向可以脫離這個曲面。如果桿的上端沿水平直線(x軸)以勻速運(yùn)動，并取該直線6

如果質(zhì)點(diǎn)是用剛性桿和定點(diǎn)O相連，則質(zhì)點(diǎn)所受的約束是不可解約束，約束方程為：

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)被一柔軟繩連在一個定點(diǎn)O上而作任意運(yùn)動時，所受的約束是可解約束，約束方程為：

如果質(zhì)點(diǎn)是用剛性桿和定點(diǎn)O相連，則質(zhì)點(diǎn)所受的約束是7

幾何約束——它只限制質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，因而表現(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。

c)幾何約束和運(yùn)動約束

運(yùn)動約束——除了限制質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)外，還要限制質(zhì)點(diǎn)的速度。運(yùn)動約束又叫微分約束。幾何約束——它只限制質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，因而表現(xiàn)為質(zhì)8

完整約束不完整約束

凡只受有完整約束的力學(xué)體系叫完整系。同時受有完整約束與不完整約束的力學(xué)體系，或只受有不完整約束的力學(xué)體系都叫不完整系。d)完整約束和不完整約束完整約束不完整約束凡只受有完整約束的力學(xué)體系叫完整9二、廣義坐標(biāo)

在力學(xué)體系只受幾何約束的情形下，獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目叫做力學(xué)體系的自由度。用來表示這些獨(dú)立變量的參數(shù)叫廣義坐標(biāo)（也叫拉格朗日廣義坐標(biāo)），通常用q表示。

例如，一個力學(xué)體系由n個質(zhì)點(diǎn)所形成，受k個幾何約束，自由度：s=3n-k，把3n個不獨(dú)立的坐標(biāo)用s個獨(dú)立參數(shù)及t表出，即：二、廣義坐標(biāo)在力學(xué)體系只受幾何約束的情形下，獨(dú)立坐10

廣義坐標(biāo)，它不一定是長度，可以是角度或其它物理量，例如：面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等。或?qū)懗墒噶渴剑?/p>

廣義坐標(biāo)，它不一定是長度，可以是角度或其它物理量，例11§5.2虛功原理

一、實位移與虛位移

實位移：質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動實際上所發(fā)生的位移（由于時間t發(fā)生變化所致）以dr表之。

虛位移：是想象中可能發(fā)生的位移，它只決定于質(zhì)點(diǎn)在此時刻的位置和加在它上面的約束，時間t

沒有改變（δt=0），以δr表之。§5.2虛功原理一、實位移與虛位移實位移：質(zhì)點(diǎn)由12

在穩(wěn)定約束下，實位移是許多虛位移里面的一個，但對不穩(wěn)定約束，實位移與虛位移并不一致。

一般說來，在任意時刻

t，在約束所許可的情況下，質(zhì)點(diǎn)的虛位移不止一個。實位移則不同，它除受到約束的限制外，還要受到運(yùn)動規(guī)律的限制，當(dāng)時間改變dt后，實位移一般只能有一個。在穩(wěn)定約束下，實位移是許多虛位移里面的一個，但對不13二、理想約束

虛功——作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（包括約束反力）在任意虛位移中所做的功。

理想約束——如果作用在一力學(xué)體系上的諸約束反力在任意虛位移中所做的虛功之和為零。這種約束叫做理想約束。

光滑曲線、光滑曲面、光滑鉸鏈、剛性桿、不可伸長的繩等都是理想約束。二、理想約束虛功——作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（包括約束反14三、虛功原理

設(shè)某力學(xué)體系受有k個幾何約束，處于平衡狀態(tài)，取體系中任一質(zhì)點(diǎn)Pi，并設(shè)作用在此質(zhì)點(diǎn)上主動力的合力為Fi，約束反力的合力為Ri，因為此體系中每一質(zhì)點(diǎn)都必須處于平衡狀態(tài)，故必須有：

質(zhì)點(diǎn)自它的平衡位置發(fā)生一虛位移δri

三、虛功原理設(shè)某力學(xué)體系受有k個幾何約束，處于平衡15對所有質(zhì)點(diǎn)求和：

對理想約束：因此力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)時，其平衡條件是：或：對所有質(zhì)點(diǎn)求和：對理想約束：因此力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)時，16

優(yōu)點(diǎn)——利用虛功原理解理想約束的力學(xué)體系的平衡問題時，由于約束反力自動消去，故可很簡單地用它去求主動力在平衡時所應(yīng)滿足的條件，即所謂平衡條件。

受有理想約束的力學(xué)體系平衡的充要條件是：力學(xué)體系所受到的的諸主動力在任意虛位移中所做的元功之和等于零。叫做虛功原理，也叫虛位移原理。優(yōu)點(diǎn)——利用虛功原理解理想約束的力學(xué)體系的平衡問題17廣義坐標(biāo)下力學(xué)體系的平衡條件：由虛功原理有：

所以：廣義坐標(biāo)下力學(xué)體系的平衡條件：由虛功原理有：所以：18

這就是受有理想約束的力學(xué)體系在廣義坐標(biāo)系下的平衡方程。它和力學(xué)體系自由度的數(shù)目相等，叫廣義力，它和Fi一樣，也不包含約束反力。廣義力的定義式：這就是受有理想約束的力學(xué)體系在廣義坐標(biāo)系下的平衡方19例1：

均勻桿OA，重P1，長為l1，能在豎直平面內(nèi)繞固定鉸鏈O轉(zhuǎn)動，此桿的A端用鉸鏈連另一重P2，長為l2的均勻桿AB，在AB桿的B端加以水平力F，求平衡時此二桿與水平線所成的角度及，如圖所示。解：自由度s

=2，選和為兩個廣義坐標(biāo)。由虛功原理得：（1）

例1：均勻桿OA，重P1，長為l1，能在豎直20分析力學(xué)課件21代入（1）式得：

（1）

代入（1）式得：（1）22因為：是互相獨(dú)立的，故得：所以：作業(yè)：5—15—3因為：是互相獨(dú)立的，故得：所以：作業(yè)：5—123預(yù)備知識1）求和號“”的運(yùn)算a)求和指標(biāo)的改變，不影響計算結(jié)果。b)指標(biāo)不同的求和號，前后秩序可交換。

c)與求和指標(biāo)無關(guān)的因子，可放到求和號里面，也可放到求和號外面。預(yù)備知識1）求和號“”的運(yùn)算a)求和指標(biāo)的24由以上規(guī)則，有以下關(guān)系：

d）與求和指標(biāo)無關(guān)的微商（或微分）符號，可以放到求和號里面，也可以放到求和號外面。c)與求和指標(biāo)無關(guān)的因子，可放到求和號里面，也可放到求和號外面。由以上規(guī)則，有以下關(guān)系：d）與求和指標(biāo)無關(guān)的微商（252）求力學(xué)量的全微商和偏微商

求全微商：求偏微商：

首先弄清自變量：

2）求力學(xué)量的全微商和偏微商求全微商：求偏微商：首先弄26只把當(dāng)作變量，將

都當(dāng)常量，所以有：只把當(dāng)作變量，將27求對t的微商：

首先弄清自變量：求對t的微商：首先弄清自變量：28§5.3

拉格朗日方程

（Lagrange′sequation）一、基本形式的拉格朗日方程

由n個質(zhì)點(diǎn)所組成的力學(xué)體系——達(dá)朗伯原理

或：

（1）§5.3拉格朗日方程（Lagrange′sequ29——達(dá)朗伯—拉格朗日方程

（2）

用虛位移點(diǎn)乘(1)式，并對i求和，在理想約束的條件下，得：

物理意義：表示主動力Fi、約束反力Ri和因質(zhì)點(diǎn)有加速度而產(chǎn)生的有效力（慣性力）的平衡，通過這種方法將動力學(xué)問題化為靜力學(xué)問題來處理——動靜法。（1）——達(dá)朗伯—拉格朗日方程（2）用虛位移點(diǎn)乘(130推導(dǎo)基本形式的拉格朗日方程：

代入（2）得：將——廣義力即：（3）

推導(dǎo)基本形式的拉格朗日方程：代入（2）得：將——廣義力31（4）

則（3）式變?yōu)椋?/p>

令：（3）

現(xiàn)在計算：（4）則（3）式變?yōu)椋毫睿海?）現(xiàn)在計算：32分析力學(xué)課件33由于是互相獨(dú)立的，，所以（4）式變?yōu)椋篢——力學(xué)體系的動能由于是互相獨(dú)立的，34——基本形式的拉格朗日方程（5）

基本形式的拉格朗日方程中物理量的意義：——叫廣義速度，可為線速度、角速度或其它；——叫廣義動量，可為線動量也可為角動量；

——叫拉格朗日力；——基本形式的拉格朗日方程（5）基本形式的拉格朗日方程中35——叫廣義力（不包含約束反力），其量綱由表達(dá)式?jīng)Q定。長度力面積表面張力

電荷電壓等等。

體積應(yīng)力

嚴(yán)格地講，談到廣義力時，應(yīng)同時指出與它相應(yīng)的廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)廣義力——叫廣義力（不包含約束反力），其量綱由表達(dá)式36二、保守系的拉格朗日方程

對于保守系，必存在勢能V，它是坐標(biāo)的函數(shù)V（xi,yi,

zi），且：

將所有坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示：二、保守系的拉格朗日方程對于保守系，必存在37廣義力：

這樣基本形式的拉氏方程可改寫為：廣義力：這樣基本形式的拉氏方程可改寫為：38令：L=T-V，代表體系的動能與勢能之和。則：這樣(6)式變?yōu)椋海?）

（7）

——保守系的拉格朗日方程L=T-V，叫做拉格朗日函數(shù)，簡稱拉氏函數(shù)。令：L=T-V，代表體系的動能與勢能之和。則：這樣(6)式變39

例2（周衍柏習(xí)題5.8）一光滑細(xì)管可在豎直平面內(nèi)繞通過其一端的水平軸以勻角速轉(zhuǎn)動，管中有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，開始時，細(xì)管取水平方向，質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)動軸的距離為a，質(zhì)點(diǎn)相對于管的速度為v0，試由拉格朗日方程求質(zhì)點(diǎn)相對于管的運(yùn)動規(guī)律。

解：如圖所示，取管軸為動坐標(biāo)系的x軸，自由度s=1，選q=x，質(zhì)點(diǎn)的相對速度為：牽連速度為：例2（周衍柏習(xí)題5.8）一光滑細(xì)管可在豎直40質(zhì)點(diǎn)的勢能：

（以通過O點(diǎn)的水平線為零勢線）質(zhì)點(diǎn)的動能：拉氏函數(shù)為：質(zhì)點(diǎn)的勢能：（以通過O點(diǎn)的水平線為零勢線）質(zhì)點(diǎn)的動能：41即：

代入拉氏方程：齊次方程的通解：非齊次方程的特解為：即：代入拉氏方程：齊次方程的通解：非齊次方程的特解為：42代入初始條件：得：

故質(zhì)點(diǎn)沿管的運(yùn)動規(guī)律為：方程的通解：作業(yè)：5—55—65—7代入初始條件：得：故質(zhì)點(diǎn)沿管的運(yùn)動規(guī)律為：方程的通解：43三、循環(huán)積分

一般地講，如果拉氏函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo)，則:由拉氏方程得：即：常數(shù)（廣義動量）。

——稱為循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo)。三、循環(huán)積分一般地講，如果拉氏函數(shù)L中不顯含某一44對于任一循環(huán)坐標(biāo)，都有一對應(yīng)的積分，叫做循環(huán)積分。

例如：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在平方反比引力場中運(yùn)動時，用極坐標(biāo)表示它的動能為：而平方反比引力的勢能為：所以拉氏函數(shù)為：對于任一循環(huán)坐標(biāo)，都有一對應(yīng)的積分，叫做循環(huán)積分。45

有心力問題有兩個自由度，在極坐標(biāo)系中：

現(xiàn)在所求出的拉氏函數(shù)L中卻沒有，在這里就是一個循環(huán)坐標(biāo)，對應(yīng)這一循環(huán)坐標(biāo)的循環(huán)積分為：=常數(shù)有心力問題有兩個自由度，在極坐標(biāo)系中：現(xiàn)在所46

即質(zhì)點(diǎn)相對于力心的動量矩守恒。=常數(shù)拉氏函數(shù)L中不含某一廣義坐標(biāo)，并不意味著也不含對應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義速度。拉氏函數(shù)L中不含某一廣義坐標(biāo)時，對應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義動量為常數(shù)，但廣義速度一般并不為常數(shù)。注意即質(zhì)點(diǎn)相對于力心的動量矩守恒。=常數(shù)拉氏函數(shù)L47四、能量積分

假設(shè)有一個完整的、保守的力學(xué)體系，體系有s個自由度，先求出用廣義坐標(biāo)及廣義速度所表示的動能：四、能量積分假設(shè)有一個完整的、保守的力學(xué)體系48分析力學(xué)課件49

式中T2、T1、T0分別是廣義速度的二次、一次和零次函數(shù)，系數(shù)一般都是廣義坐標(biāo)及時間t的函數(shù)。

如果力學(xué)體系是穩(wěn)定的，ri中不顯含時間t，因而即：，a=0，

于是動能T將僅是廣義速度的二次齊次函數(shù)，即：T=T2。如果T=T2，而且也不顯含時間t，那么：式中T2、T1、T0分別是廣義速度50各項乘以，然后對求和得：第一項：各項乘以，然后對求和得：第一項：51代入上式得：（1）歐拉齊次函數(shù)定理：齊次函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)各乘以相應(yīng)的變量，相加起來，就等于這函數(shù)乘上它的次數(shù)。

動能T是廣義速度的二次齊次函數(shù)，根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定理知：

（2）代入上式得：（1）歐拉齊次函數(shù)定理：齊次函數(shù)52

若拉氏函數(shù)中不顯含時間t，T和V都不是時間t的顯函數(shù)，所以：（3）若拉氏函數(shù)中不顯含時間t，T和V都不是時間t的顯函53將（2）（3）代入（1）式：

（2）（3）（1）將（2）（3）代入（1）式：（2）（3）（1）54即：積分得到：T+V=E

——這就是力學(xué)體系的能量積分。

得到能量積分的條件：一個完整的、保守的力學(xué)體系，（1）拉氏函數(shù)L中不顯含時間t，（2）且約束是穩(wěn)定的。即：積分得到：T+V=E55

如果拉氏函數(shù)L中不顯含時間t，但約束是非穩(wěn)定的，即動能是廣義速度的二次非齊次函數(shù)：

T=T2+T1+T0那末：

上式代入（1）式：

得:（1）如果拉氏函數(shù)L中不顯含時間t，但約束是非穩(wěn)定的，即動能是56積分得：

由此可見，即使主動力都是保守力，拉格朗日方程也不一定給出能量積分，除非約束是穩(wěn)定的，因為在不穩(wěn)定約束的情況下，約束反力可以作功，而在拉格朗日方程中并不含有約束反力，這就產(chǎn)生了如上的差異。并不代表動能，h雖是常數(shù)，但并不代表總能量，與E不同，所以就物理意義來說，不是能量積分，因為它和能量積分類似，所以它被稱為廣義能量積分。積分得：由此可見，即使主動力都是保守力，拉格朗日方57

例3質(zhì)量為m1的滑塊，可以沿水平軸x自由滑動（不受摩擦），質(zhì)量為m2的小球，用長為l

的輕桿與滑塊相連，輕桿可以在鉛直平面內(nèi)擺動，試求該系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程和首次積分。小球的坐標(biāo)為：

解：該系統(tǒng)的自由度為2，建立固定坐標(biāo)系o—xy，選滑塊的水平位置x1和輕桿對鉛垂線的擺角為兩個廣義坐標(biāo)，如圖所示。例3質(zhì)量為m1的滑塊，可以沿水平軸x自由滑58小球的速度分量為：體系的動能為：小球的速度分量為：體系的動能為：59

作用在體系上的主動力是保守力m1g和m2g，選過x軸的水平面為零勢面，其勢能為：體系的拉格朗日函數(shù)為：作用在體系上的主動力是保守力m1g和m2g，選60分析力學(xué)課件61代入拉氏方程：

得體系的運(yùn)動微分方程為：代入拉氏方程：得體系的運(yùn)動微分方程為：62

因為L中不顯含時間t，且約束是穩(wěn)定的，所以可得一能量積分，即體系的機(jī)械能守恒：

因為拉格朗日函數(shù)L中不顯含x1，x1是循環(huán)坐標(biāo)，故可得一循環(huán)積分，即對應(yīng)循環(huán)坐標(biāo)x1的廣義動量守恒：作業(yè)：5—95—11因為L中不顯含時間t，且約束是穩(wěn)定的，所以63五、拉格朗日方程的應(yīng)用由拉格朗日方程解力學(xué)問題的步驟（以保守力系為例）

1)確定力學(xué)體系的自由度；2)適當(dāng)選取描寫體系運(yùn)動的廣義坐標(biāo)；3)寫出力學(xué)體系的動能T及勢能V，寫出拉氏函數(shù)L；4)代入拉氏方程，得出力學(xué)體系的運(yùn)動微分方程；5)解方程并討論結(jié)果。

拉氏函數(shù)L等于力學(xué)體系的動能與勢能之差，它是力學(xué)體系的一個特性函數(shù)，表征著約束、運(yùn)動狀態(tài)、相互作用等性質(zhì)。用拉氏方程解題時，正確寫出系統(tǒng)的拉氏函數(shù)是關(guān)鍵.五、拉格朗日方程的應(yīng)用由拉格朗日方程解力學(xué)問64拉氏函數(shù)寫法如下：

1）選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)（或剛體）看作自由質(zhì)點(diǎn)（或剛體），寫出系統(tǒng)的動能和勢能的表達(dá)式。自由質(zhì)點(diǎn)在各種坐標(biāo)系下的動能表達(dá)式：球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系拉氏函數(shù)寫法如下：1）選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將65

2）利用約束關(guān)系或坐標(biāo)變換關(guān)系，找出各坐標(biāo)變量與廣義坐標(biāo)的關(guān)系，將動能和勢能用廣義坐標(biāo)和廣義速度表示，即得拉氏函數(shù)。

對非穩(wěn)定約束情況，有時用動坐標(biāo)系來寫出拉氏函數(shù)較方便，在這種情況下，速度要用相對靜止坐標(biāo)系的絕對速度，勢能也應(yīng)以靜系中的固定點(diǎn)為參考點(diǎn)計算。注意對于剛體，由柯尼希定理寫出它的動能表達(dá)式：2）利用約束關(guān)系或坐標(biāo)變換關(guān)系，找出各坐標(biāo)變量66

3)對保守力系：

2)

利用虛功：

1)利用廣義力的定義式：

計算廣義力有三種方法：3)對保守力系：2)利用虛功：1)利用廣義力的定67

例1：一質(zhì)點(diǎn)在主動力F

的作用下，作平面運(yùn)動，求它對應(yīng)于平面極坐標(biāo)的廣義力。解法1,利用虛功的表達(dá)式：虛功：在平面極坐標(biāo)系中：例1：一質(zhì)點(diǎn)在主動力F的作用下，作平面運(yùn)動，68所以對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力：又解：利用廣義力的定義式：所以對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力：又解：利用廣69所以對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力：所以對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力：70

例2（5.12）均質(zhì)桿AB，質(zhì)量為m，長為2a，其A端可在光滑水平槽上運(yùn)動，而棒本身又可在豎直面內(nèi)繞A端擺動，如除重力作用外，B端還受有一水平的力F的作用，試用拉格朗日方程求其運(yùn)動微分方程。如擺的角度很小，則又如何？解：系統(tǒng)自由度為2，如圖所示,選取為廣義坐標(biāo)由科尼希定理知棒的動能為：

k為棒繞質(zhì)心c轉(zhuǎn)動的回轉(zhuǎn)半徑。

例2（5.12）均質(zhì)桿AB，質(zhì)量為m，長為2a71棒質(zhì)心坐標(biāo)：

棒質(zhì)心坐標(biāo)：72虛功：

虛功：73代入基本形式的拉格朗日方程：得運(yùn)動微分方程為：所以廣義力為：代入基本形式的拉格朗日方程：得運(yùn)動微分方程為：所以廣義力為：74則運(yùn)動微分方程為：若很小，這里：則運(yùn)動微分方程為：若很小，75

例3一滑輪可繞通過輪心的水平軸轉(zhuǎn)動，在此滑輪上繞一不可伸長的輕繩，繩的一端懸一重物，其質(zhì)量為m，另一端固結(jié)在一鉛直彈簧上，彈簧下端接地，如圖所示，設(shè)彈簧彈力與其伸長量成正比，比例系數(shù)為k。已知滑輪的質(zhì)量為M，并分布在輪緣上，假定繩與滑輪之間無滑動，試求重物的振動周期。解：建立以重物的平衡位置o為原點(diǎn)的坐標(biāo)系ox，本題有一個自由度，選x為廣義坐標(biāo)

因繩與滑輪之間無滑動

重物平衡時:

式中為彈簧的靜伸長

于是系統(tǒng)的動能、勢能（選重物的平衡位置o為零勢能點(diǎn)）、拉格朗日函數(shù)為：例3一滑輪可繞通過輪心的水平軸轉(zhuǎn)動，在此滑輪上繞一76分析力學(xué)課件77故重物的振動周期為：得運(yùn)動微分方程為：代入拉氏方程：

故重物的振動周期為：得運(yùn)動微分方程為：代入拉氏方程：78

例4已知質(zhì)量為m的擺錘掛在輕彈簧上，彈簧一端固定，如圖所示，彈簧原長為l0，勁度系數(shù)為k,求此彈簧擺的振動方程。解：取彈簧和擺錘為系統(tǒng)，自由度為2，選r，為廣義坐標(biāo),

系統(tǒng)的動能為

系統(tǒng)的勢能為彈簧擺

拉氏函數(shù)為例4已知質(zhì)量為m的擺錘掛在輕彈簧上，彈簧一端固定79拉氏函數(shù)為代入拉氏方程：

拉氏函數(shù)為代入拉氏方程：80得到系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為

這是非線性方程組，需在計算機(jī)上作數(shù)值計算，在一定的初始條件下，擺錘的軌跡如右圖所示。如果系統(tǒng)做小振動，可進(jìn)行近似計算，將非線性方程化為線性方程。彈簧擺的軌跡得到系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為這是非線性方程組，需在計算機(jī)81

例5(5.16)半徑為r的均質(zhì)重球，可在一具有水平軸、半徑為R的固定圓柱的內(nèi)表面作純滾動，如圖所示，試求重球繞平衡位置作微振動的運(yùn)動微分方程及其周期。解：系統(tǒng)自由度S=1，選廣義坐標(biāo)：球只滾不滑：

球的動能：

例5(5.16)半徑為r的均質(zhì)重球，可在一具有水82（以通過0點(diǎn)的水平線為零勢線）

球的勢能：

拉氏函數(shù)：代入拉氏方程：

（以通過0點(diǎn)的水平線為零勢線）球的勢能：拉氏函數(shù)：代入拉83得運(yùn)動微分方程為：

對于微振動：

∴振動周期為：

得運(yùn)動微分方程為：對于微振動：∴振動周期為：84

例6半徑為r的均勻圓球，自半徑為R的固定圓球的頂端無初速地滾下，試用拉格朗日方程求動球球心下降的切向加速度。則：由科尼希定理，動球的動能為：解：系統(tǒng)自由度為1，選為廣義坐標(biāo)約束方程為：

例6半徑為r的均勻圓球，自半徑為R的固定圓球的頂端85（以通過0點(diǎn)的水平線為零勢線）動球的勢能：

拉氏函數(shù)為：代入拉氏方程：

得：

（以通過0點(diǎn)的水平線為零勢線）動球的勢能：拉氏函數(shù)為：代入86故動球球心下降的切向加速度為：故動球球心下降的切向加速度為：87例7（5.10）試用拉格朗日方程解2.4題中的(a)及(b)。

質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為的光滑直角劈滑下，劈的本身質(zhì)量為m2，又可在光滑水平面上自由滑動，試求(a)劈的加速度；(b)質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度。解法1:此力學(xué)體系自由度為2，選廣義坐標(biāo)：

如圖所示

m1的絕對速度：

系統(tǒng)的動能：

例7（5.10）試用拉格朗日方程解2.4題中的(a)及(b)88(以m1初始狀態(tài)為勢能零點(diǎn))系統(tǒng)的勢能：

拉氏函數(shù)：

(以m1初始狀態(tài)為勢能零點(diǎn))系統(tǒng)的勢能：拉氏函數(shù)：89代入拉氏方程：

即：

代入拉氏方程：即：90兩式聯(lián)立得：

劈的加速度為：

質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度：

兩式聯(lián)立得：劈的加速度為：質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度：91解法2：

選固定坐標(biāo)系,如圖所示。系統(tǒng)自由度為2，選廣義坐標(biāo)：

（質(zhì)點(diǎn)m1相對靜系的水平位置）

(直角劈m2相對靜系的位置，因為直角劈只做平動，故C點(diǎn)的運(yùn)動可代表直角劈的運(yùn)動)直角劈m2的動能為：

解法2：選固定坐標(biāo)系,如圖所示。系統(tǒng)自由度為92約束方程為：

質(zhì)點(diǎn)m1的動能和勢能為：

系統(tǒng)拉氏函數(shù)為：

約束方程為：質(zhì)點(diǎn)m1的動能和勢能為：系統(tǒng)拉氏函數(shù)為：93分析力學(xué)課件94代入拉氏方程：

整理得：

⑴+⑵得：

（3）代入拉氏方程：整理得：⑴+⑵得：（3）95

由以上兩解法可知，應(yīng)用拉氏方程求解力學(xué)體系的動力學(xué)問題時，廣義坐標(biāo)可同時選慣性系量，也可同時選慣性系量和非慣性系量。⑴⑶兩式聯(lián)立得：

作業(yè)：5—135—16由以上兩解法可知，應(yīng)用拉氏方程求解力學(xué)體系的動力學(xué)問96§5.4小振動

一、保守系在廣義坐標(biāo)系中的平衡方程在廣義坐標(biāo)系中的平衡方程是所有廣義力在任意虛位移中所作元功之和為零，即：

因為諸是相互獨(dú)立的，因而得出廣義坐標(biāo)系中的平衡方程是所有的廣義力等于零，即：如果作用在力學(xué)體系上的力都是保守力，則：故保守力系平衡時的條件是勢能具有穩(wěn)定值，即：§5.4小振動一、保守系在廣義坐標(biāo)系中的平衡方程97二、多自由度系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近的小振動

本節(jié)介紹多自由度系統(tǒng)線性振動問題的處理方法，在這類振動系統(tǒng)中，各自由度的振動相互耦合，比較復(fù)雜，但由于方程是線性的，最終能找到解耦的方法。在物理中，耦合線性振蕩電路的振蕩、原子在晶格點(diǎn)陣上的振動、原子在分子內(nèi)的振動等問題都可歸結(jié)為這類問題。下面，我們通過一個實例，學(xué)習(xí)這類問題的解法及一些重要概念和結(jié)論。設(shè)質(zhì)量均為m的兩個質(zhì)點(diǎn)，被三個輕彈簧連接，兩側(cè)彈簧的一端均被固定，中間彈簧的勁度系數(shù)為k1，兩邊彈簧的勁度系數(shù)為k2，兩質(zhì)點(diǎn)靜止時各彈簧無伸長。試求兩質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近的小振動。為簡化，設(shè)質(zhì)點(diǎn)只沿水平方向運(yùn)動。

二、多自由度系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近的小振動98

如圖1所示，選取x1和x2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，它們分別表示兩質(zhì)點(diǎn)相對自身平衡位置的位移，系統(tǒng)的動能為圖1兩質(zhì)點(diǎn)的耦合振動

系統(tǒng)的勢能為

(2)(1)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

(3)如圖1所示，選取x1和x2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，它99(4)將上式代入拉格朗日方程可得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程

這是二階線性微分方程組，x1的變化與x2的變化相互耦合，設(shè)方程組解的形式為(5)（5）式代入（4）式，得

(6)(4)將上式代入拉格朗日方程可得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程100要使A1，A2有非零解，方程組（6）的系數(shù)行列式必須為零(7)此方程稱為特征方程，展開得

(6)要使A1，A2有非零解，方程組（6）的系數(shù)行列式必101

這是關(guān)于的二次方程，說明振動頻率不能取任意值，他們只能取以下數(shù)值：

從這兩個結(jié)果看到，兩個頻率均由系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)決定，因而是系統(tǒng)固有的，稱為系統(tǒng)的簡正頻率（normalfrequency）。下面我們將看到，對應(yīng)一種簡正頻率，系統(tǒng)存在一種簡單的、基本的振動方式。對應(yīng)不同的簡正頻率，系統(tǒng)有不同的振動方式，這種與簡正頻率相對應(yīng)的基本振動方式稱為簡正模式（normalmode）。這是關(guān)于的二次方程，說明振動頻率不102(8)將代入方程（6），并將A1，A2寫成A11，A21，以表示這組振幅與相應(yīng)，于是有(6)

這兩個方程是不獨(dú)立的，故不能完全確定A11，A21的量值，只能確定它們的比值，從上兩式可得(8)將103所以與對應(yīng)的振動方程為(9)它的簡正模式如圖2所示。其中是與相對應(yīng)的振動的初相。由于二質(zhì)點(diǎn)振動位相相同，所以它們的運(yùn)動步調(diào)完全一致，這種模式稱為對稱模式。圖2簡正模式

對稱模式所以與對應(yīng)的振動方程為(9)它104將代入方程（6），相應(yīng)的振幅用

A12，A22表示，得解得（A12，A22）組成與對應(yīng)的振動方程為(10)將105（9）式和（10）式都是方程組（4）的特解，其通解是他們的線性組合，即可見二質(zhì)點(diǎn)的振動位相相反，振幅相同，稱為反對稱模式，他的簡正模式如圖3

所示。圖3簡正模式

反對稱模式(10)（9）式和（10）式都是方程組（4）的特解，其通解106設(shè)t=0時，，可求得式中的4個待定常數(shù)A11，A12，由初始條件確定。(11)將上式代入（11）式，得到方程的解為設(shè)t=0時，107將上式代入（11）式，得到方程的解為(12)上式表明兩質(zhì)點(diǎn)的位移x1，x2

分別是兩個簡諧振動的疊加，疊加結(jié)果出現(xiàn)了低頻振動對高頻振動振幅的調(diào)制，類似拍的現(xiàn)象，如圖3所示。將上式代入（11）式，得到方程的解為(12)108

圖3振動疊加圖從圖上可看出，兩個振動的振幅是此消彼長，說明系統(tǒng)的能量在兩者間不斷交換，周期性地變化。圖3振動疊加圖從圖上可看出，兩個振動的振幅是此109

本問題除了選擇x1，x2為廣義坐標(biāo)外，還可選擇其它變量，它可以使方程的解成為僅包含一個簡振頻率的簡諧振動，這樣的廣義坐標(biāo)稱為簡正坐標(biāo)（normalcoordinate）。如何尋找簡正坐標(biāo)呢？我們從解（12）式中得到啟發(fā)，實際上就是兩個簡正坐標(biāo)隨時間的變化，故可設(shè)(13)本問題除了選擇x1，x2為廣義坐標(biāo)外，還可選擇110將（13）式代入（12）式，得：

這是一種坐標(biāo)變換關(guān)系，通過反解就可求得簡正坐標(biāo)為(15)(14)將（14）式代入（1）（2）式，得將（13）式代入（12）式，得：這是一種坐標(biāo)變換關(guān)系，通過111可見采用簡正坐標(biāo)后，動能、勢能的表達(dá)式分別成為廣義速度和廣義坐標(biāo)的平方和形式。系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為代入拉格朗日方程，得運(yùn)動方程為(16)可見每個方程只包含一個變量，方程組已解耦，其解分別為簡諧振動可見采用簡正坐標(biāo)后，動能、勢能的表達(dá)式分別成112(17)其中，，他們就是系統(tǒng)的簡正頻率，在上述初始條件下，可求出積分常數(shù)，B1，B2，（從略），代入（17）式可得(17)其中，113§5.5哈密頓正則方程一、勒讓德變換

在拉氏方程：中，如果令：(1)作為獨(dú)立變量，則由拉氏方程可得：

(2)由（1）式又可解出

(3)§5.5哈密頓正則方程一、勒讓德變換在拉氏方程：114將（3）式代入拉氏函數(shù)L中，以表之，即：

勒讓德變換：

由一組獨(dú)立變量變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變量的變換，在數(shù)學(xué)上叫做勒讓德變換?？紤]兩個變量的勒讓德變換，設(shè)：f=f(x,y)，則：

將（3）式代入拉氏函數(shù)L中，以表之，即：勒讓德變換：115

這是以x，y

作為獨(dú)立變量的，如果我們把u，y

當(dāng)作自變量，則：

這時函數(shù)f改用u,y表出，記為：，即：

取偏導(dǎo)數(shù)：

這是以x，y作為獨(dú)立變量的，如果我們把u，y當(dāng)作116上式又可寫為：

上式又可寫為：117勒讓德變換的基本法則

新的函數(shù)（g）等于不要的變量（x）乘以原來的函數(shù)對該變量的偏導(dǎo)數(shù)（），再減去原來的函數(shù)（f）。勒讓德變換的基本法則新的函數(shù)（g）等于不118

通過勒讓德變換，使拉氏函數(shù)L中的獨(dú)立變量由變?yōu)?，則引入新函數(shù)H：

二、正則方程其中：通過勒讓德變換，使拉氏函數(shù)L中的獨(dú)立變量由則119取微分：對拉氏函數(shù)取微分將dL的表達(dá)式代入dH

中得：

取微分：對拉氏函數(shù)120(4)取微分：(5)（4）=(5)(6)（6）式叫做哈密頓正則方程，簡稱正則方程，函數(shù)H叫做哈密頓函數(shù)。叫做正則變量，也叫宗量。

因為：(4)取微分：(5)（4）=(5)(6)（6）式叫做哈密頓正121三、能量積分與循環(huán)積分

循環(huán)積分因此，H中不含某個廣義坐標(biāo)時，對應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義動量為常數(shù)（廣義動量守恒），故比用拉氏方程更簡便，更富有物理意義。由哈密頓正則方程可以看出，哈密頓函數(shù)H中不含某個廣義坐標(biāo)時，則可立即得出一個首次積分，這積分叫循環(huán)積分。這個廣義坐標(biāo)叫循環(huán)坐標(biāo)。三、能量積分與循環(huán)積分循環(huán)積分因此，H中不含某個122

如果H中不顯含時間t，則因，故，因而正則方程有一積分：

H=h，此處h為一積分常數(shù)。

將正則方程代入：取微商：哈密頓函數(shù)

能量積分

如果H中不顯含時間t，則因123

如果約束是穩(wěn)定的，可將動能T表示為廣義速度的二次齊次函數(shù)T=T2，由歐勒齊次函數(shù)定理得：上式代入哈密頓函數(shù)H中得：

=–(T–V)+2T=T+V=E（總能量）如果約束是穩(wěn)定的，可將動能T表示為廣義速124

這就是力學(xué)體系的能量積分，即在H中不顯含時間t，且約束穩(wěn)定時，得到能量積分，此時哈密頓函數(shù)H等于力學(xué)體系的總能量E。如果體系所受的約束是不穩(wěn)定約束，即動能T不是廣義速度的二次齊次函數(shù)T=T2+T1+T0

，則：上式代入哈密頓函數(shù)：這就是力學(xué)體系的能量積分，即在H中不125

=–(T2+T1+T0–V)+2T2+T1

H=T2–T0+V=h

此式代表廣義能量積分。因此，哈密頓函數(shù)也是力學(xué)體系的特性函數(shù)。=–(T2+T1+T0–V)+2T2+T1126

例1質(zhì)點(diǎn)在萬有引力場中運(yùn)動，對應(yīng)平面極坐標(biāo)，寫出它的哈密頓函數(shù)。解：質(zhì)點(diǎn)在萬有引力場中運(yùn)動，其拉氏函數(shù)為：廣義動量：

廣義能量：

例1質(zhì)點(diǎn)在萬有引力場中運(yùn)動，對應(yīng)平面極127

我們看到：h就是總機(jī)械能，但它不是哈密頓函數(shù)，因為其中含有廣義速度，而不是廣義動量。由廣義動量：我們看到：h就是總機(jī)械能，但它不是哈密頓函數(shù)128反解出廣義速度：將上式代入得哈密頓函數(shù)為：反解出廣義速度：將上式代入得哈密頓函數(shù)為：129例2寫出質(zhì)點(diǎn)在萬有引力場中運(yùn)動的哈密頓正則方程及其首次積分。解：由例1知體系的哈密頓函數(shù)為：將H代入哈密頓正則方程：

得其正則方程為：

例2寫出質(zhì)點(diǎn)在萬有引力場中運(yùn)動的哈密頓正130

因H中不顯含，所以有循環(huán)積分：=常數(shù)，即質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒。因H中不顯含，所以有循環(huán)積分：131

又因H中不顯含時間t，有廣義能量積分：

H=h（常數(shù)），即：

故質(zhì)點(diǎn)在萬有引力場中運(yùn)動時，機(jī)械能守恒。

（E總機(jī)械能）又因H中不顯含時間t，有廣義能量積分：

H=h（132§5.6哈密頓原理

凡是力學(xué)原理用到變分運(yùn)算的，叫做力學(xué)變分原理，力學(xué)變分原理有微分形式，也有積分形式。虛功原理是力學(xué)變分原理的微分形式，而本節(jié)的哈密頓原理，則是力學(xué)變分原理的積分形式。力學(xué)變分原理

§5.6哈密頓原理凡是力學(xué)原理用到變分133假設(shè)有兩個變量A和B，它們一般是q、p、t

的函數(shù)，則：一、變分運(yùn)算的幾個法則

下面介紹變分的概念目的是找出變分和微分運(yùn)算不同的地方，以及同時進(jìn)行微分、微商和變分運(yùn)算時的對易規(guī)則。假設(shè)有兩個變量A和B，它們一般是q、p、t的函數(shù)，134假定c是s維空間的一條曲線，且為質(zhì)點(diǎn)遵循運(yùn)動定律運(yùn)行時的軌道，及動力軌道或真實軌道，為鄰近c(diǎn)的一條曲線，但不是質(zhì)點(diǎn)的動力軌道，唯有c及的兩端點(diǎn)P1和P2相同，如圖所示。設(shè)質(zhì)點(diǎn)m沿c運(yùn)動，而想象另一質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動，它們同時自P1出發(fā)，并同時到達(dá)P2。假定c是s維空間的一條曲線，且為質(zhì)點(diǎn)遵循運(yùn)動135我們把相差甚微的軌道曲線c與之間的差異稱為變分。并用變分符號表示，以區(qū)別于表示在同一曲線上由于自變量微小變化而引起的差異的微分符號d，則在P1及P2點(diǎn)上有：我們把相差甚微的軌道曲線c與之間的差136如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為：點(diǎn)的坐標(biāo)為：

Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：至于在上和Q點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)，則可從兩方面來考慮：

如果P及是c及上兩對應(yīng)點(diǎn)，即m和同時自P1出發(fā)，分別沿著c和運(yùn)動，當(dāng)m到達(dá)P時，到達(dá)，Q點(diǎn)是P點(diǎn)附近的一點(diǎn)，并且和P在同一軌道c上。如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為：點(diǎn)的坐標(biāo)為：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：至于在上137可見：與d

的先后次序可以對易。即：因此有：

2)質(zhì)點(diǎn)自P至，然后至。1)質(zhì)點(diǎn)自P至Q，然后到；至于在上和Q點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)，則可從兩方面來考慮：可見：與d的先后次序可以對易。即：因此有：2)138一般來講，與的先后次序不能對易

若：，則：一般來講，與的先后次序不能對易若：139

至于與的先后次序不能對易的那種變分，叫做不等時變分或全變分。用來代表不等時變分，所以

可見在的假設(shè)下，與的先后次序是可以對易的，這種變分叫做等時變分。若：，則：至于與的先后次序不能對易的那種變分，叫做不等140二、哈密頓原理

設(shè)n個質(zhì)點(diǎn)所形成的力學(xué)體系受有k個幾何約束，則這力學(xué)體系的自由度是：s=3n-k，因此，我們?nèi)绻軌蜃龅桨裺個廣義坐標(biāo)作為時間t的函數(shù)加以確定，我們也就確定了這力學(xué)體系的運(yùn)動。

為了尋求力學(xué)體系的運(yùn)動規(guī)律，哈密頓提出可以從具有相同端點(diǎn)，并為約束所許可的許多條可能的運(yùn)動軌道，即s維空間曲線中，挑出一條真實軌道。為此，可以采用變分的方法來挑選這一條真實軌道，既然可以從約束所許可的許多軌道中，挑出真實軌道，當(dāng)然也就確定了力學(xué)體系沿著這條真實軌道運(yùn)動時的運(yùn)動規(guī)律。二、哈密頓原理設(shè)n個質(zhì)點(diǎn)所形成的力學(xué)體系受有k個幾141

上式乘，再對求和，然后沿著一條可能的運(yùn)動軌道積分（1）拉氏方程：下面用拉氏方程來推導(dǎo)在保守力系作用下的哈密頓原理

即s維空間的一條曲線自共同端點(diǎn)P1（t=t1）至P2（t=t2）對時間t積分得：（2）上式乘，再對求和，然后沿著一142第一項：

對等時變分：

代入(2)式得：（3）（2）第一項：對等時變分：代入(2)式得：（3）（2）143則（3）式簡化為：

兩個端點(diǎn)：（3）則（3）式簡化為：兩個端點(diǎn)：（3）144（4）就是在保守力系作用下的哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

又因：，則：哈密頓稱：為作用函數(shù)，當(dāng)它表示為端點(diǎn)時間和位置的函數(shù)時，也叫主函數(shù)，并以S表之，即：

（4）（4）就是在保守力系作用下的哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。又因：145哈密頓原理的文字表述如下：

完整的、保守的力學(xué)體系在相同時間內(nèi)，由某一初位形轉(zhuǎn)移到另一已知位形的一切可能運(yùn)動中，真實運(yùn)動的主函數(shù)具有穩(wěn)定值，即對于真實運(yùn)動來講，主函數(shù)的變分等于零。（4）哈密頓原理的文字表述如下：完整的、保守的力146分析力學(xué)課件147分析力學(xué)課件148§5.7泊松括號一、泊松括號

假設(shè)函數(shù)

上式對t取微商為：

將正則方程代入上式得：

§5.7泊松括號一、泊松括號假設(shè)函數(shù)上式對t取微商149

叫做泊松括號，它的定義是：使用泊松括號時，要注意所有的都是相互獨(dú)立的，任意一個對另外一個的偏微商都等于零，例如：叫做泊松括號，它的定義是：使用泊松括號時150這樣正則方程也可用泊松括號表出，即：二、泊松括號的性質(zhì)1）如果c為常數(shù)

2）

這樣正則方程也可用泊松括號表出，即：二、泊松括號的性質(zhì)1）1513)如果,則：

4）

5）

6）

7）

3)如果,則：4）5）6152Chapter5分析力學(xué)

分析力學(xué)用新的觀點(diǎn)、新的方法處理力學(xué)問題，具有更高的概括性，是力學(xué)理論發(fā)展的更高階段，而這一發(fā)展是與充分利用了數(shù)學(xué)分析這一有力的數(shù)學(xué)工具是分不開的。分析力學(xué)注重的物理量不是力和加速度，而是功和能。從數(shù)學(xué)上講，處理對象從矢量轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量，處理方法也從幾何方法轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)分析的方法。Chapter5分析力學(xué)分析力153Chapter5分析力學(xué)內(nèi)容§5.1約束和廣義坐標(biāo)§5.2虛功原理

§5.3

拉格朗日方程§5.4小振動

§5.5哈密頓正則方程§5.6哈密頓原理§5.7泊松括號和泊松定理Chapter5分析力學(xué)內(nèi)容§5.1約束和廣義154本章基本要求：本章重點(diǎn)：

深刻理解約束、虛位移和廣義坐標(biāo)的概念；掌握拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)的寫法；牢固掌握虛功原理和拉格朗日方程并能熟練應(yīng)用；掌握能量積分的條件；能應(yīng)用正則方程解決簡單的力學(xué)問題；對哈密頓原理著重理解其思維方法；了解泊松括號和泊松定理。虛功原理和拉格朗日方程及其應(yīng)用。本章基本要求：本章重點(diǎn)：深刻理解約束、虛位移155§5.1約束和廣義坐標(biāo)

彼此相互影響的若干質(zhì)點(diǎn)的一個集合，稱為力學(xué)體系，也叫質(zhì)點(diǎn)組。一個力學(xué)體系中，存在著限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動的條件，我們把這些條件叫做約束，約束的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為約束方程。

一、約束的概念和分類1）約束§5.1約束和廣義坐標(biāo)彼此相互影響的若干質(zhì)點(diǎn)的一1562）約束的分類例如：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)和長為l的剛性桿相連時，如剛性桿的上端固定不動，取此點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則約束方程：——穩(wěn)定約束

穩(wěn)定約束——如果限制系統(tǒng)位置的約束不是時間t的函數(shù)，則約束方程中不顯含時間t，即：a)穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束

不穩(wěn)定約束——如果約束是時間t的函數(shù)，則約束方程顯含時間t，即：2）約束的分類例如：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)和長為l的剛性桿相連時，如剛157如果桿的上端沿水平直線(x軸)以勻速運(yùn)動，并取該直線上某定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則約束方程為：——不穩(wěn)定約束

b)可解約束和不可解約束

不可解約束——質(zhì)點(diǎn)始終不能脫離某曲面（或曲線）的那種約束。

可解約束——如果質(zhì)點(diǎn)雖然被約束在某一曲面上，但在某一方向可以脫離這個曲面。如果桿的上端沿水平直線(x軸)以勻速運(yùn)動，并取該直線158

如果質(zhì)點(diǎn)是用剛性桿和定點(diǎn)O相連，則質(zhì)點(diǎn)所受的約束是不可解約束，約束方程為：

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)被一柔軟繩連在一個定點(diǎn)O上而作任意運(yùn)動時，所受的約束是可解約束，約束方程為：

如果質(zhì)點(diǎn)是用剛性桿和定點(diǎn)O相連，則質(zhì)點(diǎn)所受的約束是159

幾何約束——它只限制質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，因而表現(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。

c)幾何約束和運(yùn)動約束

運(yùn)動約束——除了限制質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)外，還要限制質(zhì)點(diǎn)的速度。運(yùn)動約束又叫微分約束。幾何約束——它只限制質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，因而表現(xiàn)為質(zhì)160

完整約束不完整約束

凡只受有完整約束的力學(xué)體系叫完整系。同時受有完整約束與不完整約束的力學(xué)體系，或只受有不完整約束的力學(xué)體系都叫不完整系。d)完整約束和不完整約束完整約束不完整約束凡只受有完整約束的力學(xué)體系叫完整161二、廣義坐標(biāo)

在力學(xué)體系只受幾何約束的情形下，獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目叫做力學(xué)體系的自由度。用來表示這些獨(dú)立變量的參數(shù)叫廣義坐標(biāo)（也叫拉格朗日廣義坐標(biāo)），通常用q表示。

例如，一個力學(xué)體系由n個質(zhì)點(diǎn)所形成，受k個幾何約束，自由度：s=3n-k，把3n個不獨(dú)立的坐標(biāo)用s個獨(dú)立參數(shù)及t表出，即：二、廣義坐標(biāo)在力學(xué)體系只受幾何約束的情形下，獨(dú)立坐162

廣義坐標(biāo)，它不一定是長度，可以是角度或其它物理量，例如：面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等。或?qū)懗墒噶渴剑?/p>

廣義坐標(biāo)，它不一定是長度，可以是角度或其它物理量，例163§5.2虛功原理

一、實位移與虛位移

實位移：質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動實際上所發(fā)生的位移（由于時間t發(fā)生變化所致）以dr表之。

虛位移：是想象中可能發(fā)生的位移，它只決定于質(zhì)點(diǎn)在此時刻的位置和加在它上面的約束，時間t

沒有改變（δt=0），以δr表之。§5.2虛功原理一、實位移與虛位移實位移：質(zhì)點(diǎn)由164

在穩(wěn)定約束下，實位移是許多虛位移里面的一個，但對不穩(wěn)定約束，實位移與虛位移并不一致。

一般說來，在任意時刻

t，在約束所許可的情況下，質(zhì)點(diǎn)的虛位移不止一個。實位移則不同，它除受到約束的限制外，還要受到運(yùn)動規(guī)律的限制，當(dāng)時間改變dt后，實位移一般只能有一個。在穩(wěn)定約束下，實位移是許多虛位移里面的一個，但對不165二、理想約束

虛功——作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（包括約束反力）在任意虛位移中所做的功。

理想約束——如果作用在一力學(xué)體系上的諸約束反力在任意虛位移中所做的虛功之和為零。這種約束叫做理想約束。

光滑曲線、光滑曲面、光滑鉸鏈、剛性桿、不可伸長的繩等都是理想約束。二、理想約束虛功——作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（包括約束反166三、虛功原理

設(shè)某力學(xué)體系受有k個幾何約束，處于平衡狀態(tài)，取體系中任一質(zhì)點(diǎn)Pi，并設(shè)作用在此質(zhì)點(diǎn)上主動力的合力為Fi，約束反力的合力為Ri，因為此體系中每一質(zhì)點(diǎn)都必須處于平衡狀態(tài)，故必須有：

質(zhì)點(diǎn)自它的平衡位置發(fā)生一虛位移δri

三、虛功原理設(shè)某力學(xué)體系受有k個幾何約束，處于平衡167對所有質(zhì)點(diǎn)求和：

對理想約束：因此力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)時，其平衡條件是：或：對所有質(zhì)點(diǎn)求和：對理想約束：因此力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)時，168

優(yōu)點(diǎn)——利用虛功原理解理想約束的力學(xué)體系的平衡問題時，由于約束反力自動消去，故可很簡單地用它去求主動力在平衡時所應(yīng)滿足的條件，即所謂平衡條件。

受有理想約束的力學(xué)體系平衡的充要條件是：力學(xué)體系所受到的的諸主動力在任意虛位移中所做的元功之和等于零。叫做虛功原理，也叫虛位移原理。優(yōu)點(diǎn)——利用虛功原理解理想約束的力學(xué)體系的平衡問題169廣義坐標(biāo)下力學(xué)體系的平衡條件：由虛功原理有：

所以：廣義坐標(biāo)下力學(xué)體系的平衡條件：由虛功原理有：所以：170

這就是受有理想約束的力學(xué)體系在廣義坐標(biāo)系下的平衡方程。它和力學(xué)體系自由度的數(shù)目相等，叫廣義力，它和Fi一樣，也不包含約束反力。廣義力的定義式：這就是受有理想約束的力學(xué)體系在廣義坐標(biāo)系下的平衡方171例1：

均勻桿OA，重P1，長為l1，能在豎直平面內(nèi)繞固定鉸鏈O轉(zhuǎn)動，此桿的A端用鉸鏈連另一重P2，長為l2的均勻桿AB，在AB桿的B端加以水平力F，求平衡時此二桿與水平線所成的角度及，如圖所示。解：自由度s

=2，選和為兩個廣義坐標(biāo)。由虛功原理得：（1）

例1：均勻桿OA，重P1，長為l1，能在豎直172分析力學(xué)課件173代入（1）式得：

（1）

代入（1）式得：（1）174因為：是互相獨(dú)立的，故得：所以：作業(yè)：5—15—3因為：是互相獨(dú)立的，故得：所以：作業(yè)：5—1175預(yù)備知識1）求和號“”的運(yùn)算a)求和指標(biāo)的改變，不影響計算結(jié)果。b)指標(biāo)不同的求和號，前后秩序可交換。

c)與求和指標(biāo)無關(guān)的因子，可放到求和號里面，也可放到求和號外面。預(yù)備知識1）求和號“”的運(yùn)算a)求和指標(biāo)的176由以上規(guī)則，有以下關(guān)系：

d）與求和指標(biāo)無關(guān)的微商（或微分）符號，可以放到求和號里面，也可以放到求和號外面。c)與求和指標(biāo)無關(guān)的因子，可放到求和號里面，也可放到求和號外面。由以上規(guī)則，有以下關(guān)系：d）與求和指標(biāo)無關(guān)的微商（1772）求力學(xué)量的全微商和偏微商

求全微商：求偏微商：

首先弄清自變量：

2）求力學(xué)量的全微商和偏微商求全微商：求偏微商：首先弄178只把當(dāng)作變量，將

都當(dāng)常量，所以有：只把當(dāng)作變量，將179求對t的微商：

首先弄清自變量：求對t的微商：首先弄清自變量：180§5.3

拉格朗日方程

（Lagrange′sequation）一、基本形式的拉格朗日方程

由n個質(zhì)點(diǎn)所組成的力學(xué)體系——達(dá)朗伯原理

或：

（1）§5.3拉格朗日方程（Lagrange′sequ181——達(dá)朗伯—拉格朗日方程

（2）

用虛位移點(diǎn)乘(1)式，并對i求和，在理想約束的條件下，得：

物理意義：表示主動力Fi、約束反力Ri和因質(zhì)點(diǎn)有加速度而產(chǎn)生的有效力（慣性力）的平衡，通過這種方法將動力學(xué)問題化為靜力學(xué)問題來處理——動靜法。（1）——達(dá)朗伯—拉格朗日方程（2）用虛位移點(diǎn)乘(1182推導(dǎo)基本形式的拉格朗日方程：

代入（2）得：將——廣義力即：（3）

推導(dǎo)基本形式的拉格朗日方程：代入（2）得：將——廣義力183（4）

則（3）式變?yōu)椋?/p>

令：（3）

現(xiàn)在計算：（4）則（3）式變?yōu)椋毫睿海?）現(xiàn)在計算：184分析力學(xué)課件185由于是互相獨(dú)立的，，所以（4）式變?yōu)椋篢——力學(xué)體系的動能由于是互相獨(dú)立的，186——基本形式的拉格朗日方程（5）

基本形式的拉格朗日方程中物理量的意義：——叫廣義速度，可為線速度、角速度或其它；——叫廣義動量，可為線動量也可為角動量；

——叫拉格朗日力；——基本形式的拉格朗日方程（5）基本形式的拉格朗日方程中187——叫廣義力（不包含約束反力），其量綱由表達(dá)式?jīng)Q定。長度力面積表面張力

電荷電壓等等。

體積應(yīng)力

嚴(yán)格地講，談到廣義力時，應(yīng)同時指出與它相應(yīng)的廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)廣義力——叫廣義力（不包含約束反力），其量綱由表達(dá)式188二、保守系的拉格朗日方程

對于保守系，必存在勢能V，它是坐標(biāo)的函數(shù)V（xi,yi,

zi），且：

將所有坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示：二、保守系的拉格朗日方程對于保守系，必存在189廣義力：

這樣基本形式的拉氏方程可改寫為：廣義力：這樣基本形式的拉氏方程可改寫為：190令：L=T-V，代表體系的動能與勢能之和。則：這樣(6)式變?yōu)椋海?）

（7）

——保守系的拉格朗日方程L=T-V，叫做拉格朗日函數(shù)，簡稱拉氏函數(shù)。令：L=T-V，代表體系的動能與勢能之和。則：這樣(6)式變191

例2（周衍柏習(xí)題5.8）一光滑細(xì)管可在豎直平面內(nèi)繞通過其一端的水平軸以勻角速轉(zhuǎn)動，管中有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，開始時，細(xì)管取水平方向，質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)動軸的距離為a，質(zhì)點(diǎn)相對于管的速度為v0，試由拉格朗日方程求質(zhì)點(diǎn)相對于管的運(yùn)動規(guī)律。

解：如圖所示，取管軸為動坐標(biāo)系的x軸，自由度s=1，選q=x，質(zhì)點(diǎn)的相對速度為：牽連速度為：例2（周衍柏習(xí)題5.8）一光滑細(xì)管可在豎直192質(zhì)點(diǎn)的勢能：

（以通過O點(diǎn)的水平線為零勢線）質(zhì)點(diǎn)的動能：拉氏函數(shù)為：質(zhì)點(diǎn)的勢能：（以通過O點(diǎn)的水平線為零勢線）質(zhì)點(diǎn)的動能：193即：

代入拉氏方程：齊次方程的通解：非齊次方程的特解為：即：代入拉氏方程：齊次方程的通解：非齊次方程的特解為：194代入初始條件：得：

故質(zhì)點(diǎn)沿管的運(yùn)動規(guī)律為：方程的通解：作業(yè)：5—55—65—7代入初始條件：得：故質(zhì)點(diǎn)沿管的運(yùn)動規(guī)律為：方程的通解：195三、循環(huán)積分

一般地講，如果拉氏函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo)，則:由拉氏方程得：即：常數(shù)（廣義動量）。

——稱為循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo)。三、循環(huán)積分一般地講，如果拉氏函數(shù)L中不顯含某一196對于任一循環(huán)坐標(biāo)，都有一對應(yīng)的積分，叫做循環(huán)積分。

例如：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在平方反比引力場中運(yùn)動時，用極坐標(biāo)表示它的動能為：而平方反比引力的勢能為：所以拉氏函數(shù)為：對于任一循環(huán)坐標(biāo)，都有一對應(yīng)的積分，叫做循環(huán)積分。197

有心力問題有兩個自由度，在極坐標(biāo)系中：

現(xiàn)在所求出的拉氏函數(shù)L中卻沒有，在這里就是一個循環(huán)坐標(biāo)，對應(yīng)這一循環(huán)坐標(biāo)的循環(huán)積分為：=常數(shù)有心力問題有兩個自由度，在極坐標(biāo)系中：現(xiàn)在所198

即質(zhì)點(diǎn)相對于力心的動量矩守恒。=常數(shù)拉氏函數(shù)L中不含某一廣義坐標(biāo)，并不意味著也不含對應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義速度。拉氏函數(shù)L中不含某一廣義坐標(biāo)時，對應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義動量為常數(shù)，但廣義速度一般并不為常數(shù)。注意即質(zhì)點(diǎn)相對于力心的動量矩守恒。=常數(shù)拉氏函數(shù)L199四、能量積分

假設(shè)有一個完整的、保守的力學(xué)體系，體系有s個自由度，先求出用廣義坐標(biāo)及廣義速度所表示的動能：四、能量積分假設(shè)有一個完整的、保守的力學(xué)體系200分析力學(xué)課件201

式中T2、T1、T0分別是廣義速度的二次、一次和零次函數(shù)，系數(shù)一般都是廣義坐標(biāo)及時間t的函數(shù)。

如果力學(xué)體系是穩(wěn)定的，ri中不顯含時間t，因而即：，a=0，

于是動能T將僅是廣義速度的二次齊次函數(shù)，即：T=T2。如果T=T2，而且也不顯含時間t，那么：式中T2、T1、T0分別是廣義速度202各項乘以，然后對求和得：第一項：各項乘以，然后對求和得：第一項：203代入上式得：（1）歐拉齊次函數(shù)定理：齊次函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)各乘以相應(yīng)的變量，相加起來，就等于這函數(shù)乘上它的次數(shù)。

動能T是廣義速度的二次齊次函數(shù)，根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定理知：

（2）代入上式得：（1）歐拉齊次函數(shù)定理：齊次函數(shù)204

若拉氏函數(shù)中不顯含時間t，T和V都不是時間t的顯函數(shù)，所以：（3）若拉氏函數(shù)中不顯含時間t，T和V都不是時間t的顯函205將（2）（3）代入（1）式：

（2）（3）（1）將（2）（3）代入（1）式：（2）（3）（1）206即：積分得到：T+V=E