其中為繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換矩陣課件

第2章計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)1第2章計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)1222.2圖形變換

在計(jì)算機(jī)圖形處理中，經(jīng)常需要對(duì)已經(jīng)生成的圖形進(jìn)行幾何變換處理。例如，改變圖形的大小、移動(dòng)圖形或根據(jù)需要將圖形旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，輸出零件的三面視圖，顯示立體圖，或要求一物體繞一軸線作連續(xù)的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)，使觀察者能看到物體的各個(gè)側(cè)面。這就要求圖形的處理軟件能夠?qū)崿F(xiàn)旋轉(zhuǎn)、平移、縮放等幾何變換。我們知道，點(diǎn)是構(gòu)成一個(gè)幾何形體的最基本的元素。一幅二維圖形可以看成是一個(gè)點(diǎn)集。那么，我們就可以把對(duì)圖形的幾何變換歸結(jié)對(duì)點(diǎn)的變換。32.2圖形變換32.2.1圖形變換方法一、點(diǎn)的向量表示

在二維空間中點(diǎn)的表示方法，我們通常是用它的坐標(biāo)來表示，寫作P（x，y）。為了以后變換的方便，我們可以把它寫作矩陣的形式，即用一行兩列的矩陣或一個(gè)兩行一列的矩陣表示。在三維空間里則用表示空間一點(diǎn)。那么，對(duì)于一個(gè)二維空間的圖形或三維空間的立體，可以用一個(gè)點(diǎn)的集合（簡(jiǎn)稱點(diǎn)集）來表示，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)行向量，則點(diǎn)集為n×2或m×3階的矩陣：或

42.2.1圖形變換方法或4

例如：已知三角形ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）則三角形ABC可以記作矩陣：

然后把它以數(shù)組的形式存貯在計(jì)算機(jī)內(nèi)。5

二、齊次坐標(biāo)

齊次坐標(biāo)是將一個(gè)n維空間的點(diǎn)用n十1維，即附加一個(gè)坐標(biāo)來表示。如二維點(diǎn)[xy]的齊次坐標(biāo)通常用三維坐標(biāo)[HxHyH]表示，三維點(diǎn)[xyz]的齊次坐標(biāo)通常用四維坐標(biāo)[HxHyHzH]表示，……。在齊次坐標(biāo)系中，最后一維坐標(biāo)H稱為比例因子。由于比例因子H的取值是任意的，所以任一點(diǎn)可用許多組齊次坐標(biāo)表示，如二維點(diǎn)[32]可表示為[321]、[642]、[963]等。另外，可用H＝0的向量表示無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)。例如用[1000]、[0100]、[0010]分別表示x，y，z軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。對(duì)齊次坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)變換稱為齊次變換，相應(yīng)的變換矩陣稱為齊次變換矩陣6二、齊次坐標(biāo)6反過來，還可以通過矩陣變換將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)變換為與之對(duì)應(yīng)的有限遠(yuǎn)點(diǎn)。當(dāng)H=1時(shí)，則稱為規(guī)范齊次坐標(biāo)。從齊次坐標(biāo)返回到n維空間去時(shí)，只需將坐標(biāo)中每個(gè)分量除以H就可以了。以后介紹的變換矩陣實(shí)際上都是奇次坐標(biāo)變換。用齊次坐標(biāo)方式進(jìn)行變換運(yùn)算不但可以產(chǎn)生正常坐標(biāo)變換的同樣效果，而且可以簡(jiǎn)化正常坐標(biāo)變換過程。在圖形變換中引入齊次坐標(biāo)表示，還能使各種基本變換，如旋轉(zhuǎn)、平移和比例交換等具有統(tǒng)一的變換矩陣格式，并且可以將它們結(jié)合在一起進(jìn)行組合變換，同時(shí)也便于計(jì)算。7反過來，還可以通過矩陣變換將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)變換為與之三、變換矩陣由于圖形可以用點(diǎn)集表示，因此要對(duì)圖形進(jìn)行變換，只要變換點(diǎn)就可以了。對(duì)點(diǎn)的變換可以通過相應(yīng)的矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，即：

舊點(diǎn)（集）×變換矩陣新點(diǎn)（集）

若將二維空間的點(diǎn)由某個(gè)位置P(x，y)變換到一個(gè)新的位置P*(x*，y*)，變換的原理是把齊次坐標(biāo)點(diǎn)（x，y，1）通過變換矩陣變換成新的齊次坐標(biāo)點(diǎn)（x*，y*，1）。即：8三、變換矩陣8Ｔ為基本變換矩陣：

從變換功能上可把T分為四個(gè)子矩陣，其中對(duì)圖形進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換；[lm]對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；[pq]T對(duì)圖形進(jìn)行投影變換，不做投影變換時(shí)取p=0，

q=0；[s]對(duì)圖形進(jìn)行全比例變換。通常取s=1。9Ｔ為基本變換矩陣：9三維圖形的變換矩陣是二維圖形變換矩陣的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，在三維空間中，用四維齊次坐標(biāo)表示三維點(diǎn)，即[xyz1]。三維變換矩陣則采用4×4階矩陣表示，即：10三維圖形的變換矩陣是二維圖形變換矩陣的簡(jiǎn)單擴(kuò)展齊次變換矩陣：平移縮放旋轉(zhuǎn)錯(cuò)切透視變換整體縮放11齊次變換矩陣：平移縮放透視變換整體縮放112.2.2二維圖形的幾何變換

一、基本幾何變換1、平移變換2、比例變換3、旋轉(zhuǎn)變換4、對(duì)稱變換5、錯(cuò)切變換

二、組合變換

122.2.2二維圖形的幾何變換12圖中l(wèi)、m分別為x、y方向的平移量。從圖中可以得出變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)值應(yīng)滿足以下關(guān)系：一、基本幾何變換1、平移變換

平移變換是將圖形在坐標(biāo)平面內(nèi)移動(dòng)，只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。平移變換如圖所示：13一、基本幾何變換13將它寫成矩陣的形式為：那么即為所求平移變換矩陣。14將它寫成矩陣的形式為：14例1：已知三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，0)，B(20，0)，C(0，20)，平移參數(shù)分別為l＝20，m＝10；試對(duì)此三角形進(jìn)行平移變換。解：因?yàn)槠揭谱儞Q矩陣為所以變換后點(diǎn)的坐標(biāo)為

15例1：已知三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，0)，B(20，0)，C(

2、比例變換比例變換指將原有圖形在x、y兩個(gè)方向上進(jìn)行放大或縮小的變換，通過它可以改變圖形的大小和方向。將平面上一點(diǎn)P（x，y）在x、y兩個(gè)方向上分別進(jìn)行放大a倍和d倍的比例變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系為：寫成矩陣的形式為162、比例變換16其中，T=稱為比例變換矩陣，a、d分別

為沿x、y方向上的比例因子，且a、d>0。a、d的取值不同，變換效果也不同，如下所述：（1）如果a=d=1，變換為恒等變換，即變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。（2）如果a=d≠1，變換為等比例變換。其中，如果a=d>1，變換為等比例放大；如果a=d<1，變換則為等比例縮小。如圖（a）、（b）所示。（3）如果a≠d，變換后的圖形會(huì)產(chǎn)生畸變。如圖（c）所示。

1717（a）a=d>1（b）a=d<1（c）ad

1818例2：a=2，d=1時(shí)，假設(shè)變換前A（1，1），B（2，1），C（1，2），那么，變換后為A*（2，1），B*（4，1），C*（2，2），△ABC與△A*B*C*不相似。19例2：a=2，d=1時(shí)，假設(shè)變換前A（1，1），B（2，1）3、旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換一般指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，規(guī)定為：繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化后不改變圖形自身的大小、形狀等，只改變圖形的方向。連續(xù)的旋轉(zhuǎn)變換相當(dāng)于將其旋轉(zhuǎn)角度疊加之后的旋轉(zhuǎn)變換。將平面上一點(diǎn)P（x，y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，變換后得到新點(diǎn)P1（x1，y1），P和P1的關(guān)系為：203、旋轉(zhuǎn)變換20

其中：為繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。

21214、對(duì)稱變換

對(duì)稱變換又稱為反射變換或鏡像變換。（1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（a）應(yīng)為：x*=－x，y*=－y，寫成矩陣形式為：

其中：為關(guān)于

原點(diǎn)的對(duì)稱變換矩陣。

224、對(duì)稱變換22（2）關(guān)于x軸的對(duì)稱變換

將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于x軸的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（b）應(yīng)為：x*=x，y*=－y，寫成矩陣形式為：其中：為關(guān)于

x軸的對(duì)稱變換矩陣。23（2）關(guān)于x軸的對(duì)稱變換23（3）關(guān)于y軸的對(duì)稱變換

將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于y軸的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（c）應(yīng)為：x*=－x，y*=y，寫成矩陣形式為：

其中：為變換矩陣。24（3）關(guān)于y軸的對(duì)稱變換24(4)關(guān)于y=x的對(duì)稱變換將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于直線y=x的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（d）應(yīng)為：x*=y，y*=x，寫成矩陣形式為：

其中：為變換矩陣。25(4)關(guān)于y=x的對(duì)稱變換25(5)關(guān)于y=－x的對(duì)稱變換將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于直線y=－x的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（e）應(yīng)為：x*=－y，y*=－x，寫成矩陣形式為：

其中：為變換矩陣。26(5)關(guān)于y=－x的對(duì)稱變換265、錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換是使圖形沿錯(cuò)切方向的坐標(biāo)發(fā)生變化，而另一方向的坐標(biāo)值不變，從而達(dá)到使原圖形發(fā)生特定變化的目的。錯(cuò)切變換分沿x軸和沿y軸錯(cuò)切兩種形式。(1)沿x軸方向的錯(cuò)切將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行沿x軸方向的錯(cuò)切變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），變換過程如圖（a）所示，從圖中可以看出，沿x軸方向錯(cuò)切變化后，y坐標(biāo)不變，x將產(chǎn)生一個(gè)增量△x=cy，而且c當(dāng)取正值時(shí)，沿x軸的正方向進(jìn)行錯(cuò)切，反之c取負(fù)值。P和P*的關(guān)系為：x*=x+cy，y*=y。寫成矩陣形式為：275、錯(cuò)切變換27

其中：為變換矩陣。

（a）沿x軸方向的錯(cuò)切（b）沿y軸方向的錯(cuò)切

2828（2）沿y軸方向的錯(cuò)切

將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行沿y軸方向的錯(cuò)切變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），變換過程如圖（b）所示，從圖中可以看出，沿y軸方向錯(cuò)切變化后，x坐標(biāo)不變，y將產(chǎn)生一個(gè)增量△y=bx，而且當(dāng)b取正值時(shí)，沿y軸的正方向進(jìn)行錯(cuò)切，反之b取負(fù)值。P和P*的關(guān)系為：x*=x，y*=bx+y。寫成矩陣形式為：

其中：為變換矩陣。

2929二、組合變換

在圖形的幾何變換中，圖形的實(shí)際變換往往不是單獨(dú)采用前述的各種基本變換就可以完成，通常需要將各種基本變換組合使用，以完成最終的圖形變換。這種由多種基本變換組合而成的變換稱為組合變換，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。假設(shè)已知點(diǎn)P依次經(jīng)過T1、T2和T3三個(gè)幾何變換，得到的結(jié)果為:P*=（（PT1）T2）T3運(yùn)用矩陣乘法的結(jié)合律，上式可化為:P*=P（T1T2T3）于是得到組合變換的變換矩陣為:T=T1T2T3

由于矩陣不存在交換律，因此矩陣相乘的順序是不能隨意互換的。30二、組合變換由于矩陣不存在交換律，因此矩陣組合變換順序?qū)D形的影響

復(fù)雜變換是通過基本變換的組合而成的，由于矩陣的乘法不適用于交換律，即：

[A][B]≠[B][A]

因此，組合的順序一般是不能顛倒的，順序不同，則變換的結(jié)果亦不同，如圖所示。31組合變換順序?qū)D形的影響復(fù)雜變換是通過基本變換的組合

實(shí)例:繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換平面圖形繞任意點(diǎn)P（xp，yp）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，需要通過如下幾個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn)：(1)將旋轉(zhuǎn)中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣為(2)將圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，變換矩陣為32實(shí)例:繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換32（3）將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來位置，變換矩陣為（4）最后得出繞任意點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)矩陣為即當(dāng)xp

=0，yp=0時(shí)，即為對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。33即當(dāng)xp=0，yp=0時(shí)，即為對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣

例3：將下圖所示圖形繞自身對(duì)稱軸上的一點(diǎn)P（15,12）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，放大2倍（x、y方向的放大倍數(shù)相同）1、試寫出各變換的變換矩陣；2、求出復(fù)合變換矩陣；3、求出各點(diǎn)變換后的坐標(biāo)；34例3：將下圖所示圖形繞自身對(duì)稱軸上的一點(diǎn)P（15解：（1）、各變換矩陣為：先將P點(diǎn)平移至原點(diǎn)的矩陣：繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：35解：（1）、各變換矩陣為：繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)沿x、y軸放大2倍平移回原位置：

36沿x、y軸放大2倍平移回原位置：36（2）、組合變換矩陣：（3）、變換后的坐標(biāo)為：

37（2）、組合變換矩陣：（3）、變換后的坐標(biāo)為：作業(yè)：1、將下圖所示圖形繞自身中心點(diǎn)P（20,20）先縮小1/2（x、y方向的縮小倍數(shù)相同）再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270度，（1）試寫出各變換的變換矩陣；（2）求出組合變換矩陣；（3）求出各點(diǎn)變換后的坐標(biāo)。38作業(yè)：382、如圖所示平行四邊形ABCD，已知圖上一點(diǎn)G（10，6），該平行四邊形先繞G點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)90度，最后沿Y方向正向移動(dòng)3個(gè)單位距離。（1）試寫出各變換的變換矩陣；（2）求出組合變換矩陣；（3）求出A、B、C、D各點(diǎn)變換后的坐標(biāo)。392、如圖所示平行四邊形ABCD，已知圖上一點(diǎn)G（10，6），1、解：（1）、各變換矩陣為：①、先將P點(diǎn)平移至原點(diǎn)的矩陣：②、沿x、y軸縮小1/2倍：

③、繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)401、解：（1）、各變換矩陣為：②、沿x、y軸縮小1/2倍：④、平移回原位置：

（2）、復(fù)合變換矩陣：（3）、變換后的坐標(biāo)為：

41④、平移回原位置：（2）、復(fù)合變換矩陣：（3）、2、解：（1）1）先將G點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣為2）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的變換距陣為3）沿Y正向平移3個(gè)單位的變換矩陣為422、解：（1）424）將G點(diǎn)移回原處的變換矩陣為（2）組合變換矩陣為（3）

A(13,4)B(13,15)C(6,14)D(6,4)434）將G點(diǎn)移回原處的變換矩陣為（3）43第2章計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)44第2章計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)14522.2圖形變換

在計(jì)算機(jī)圖形處理中，經(jīng)常需要對(duì)已經(jīng)生成的圖形進(jìn)行幾何變換處理。例如，改變圖形的大小、移動(dòng)圖形或根據(jù)需要將圖形旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，輸出零件的三面視圖，顯示立體圖，或要求一物體繞一軸線作連續(xù)的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)，使觀察者能看到物體的各個(gè)側(cè)面。這就要求圖形的處理軟件能夠?qū)崿F(xiàn)旋轉(zhuǎn)、平移、縮放等幾何變換。我們知道，點(diǎn)是構(gòu)成一個(gè)幾何形體的最基本的元素。一幅二維圖形可以看成是一個(gè)點(diǎn)集。那么，我們就可以把對(duì)圖形的幾何變換歸結(jié)對(duì)點(diǎn)的變換。462.2圖形變換32.2.1圖形變換方法一、點(diǎn)的向量表示

在二維空間中點(diǎn)的表示方法，我們通常是用它的坐標(biāo)來表示，寫作P（x，y）。為了以后變換的方便，我們可以把它寫作矩陣的形式，即用一行兩列的矩陣或一個(gè)兩行一列的矩陣表示。在三維空間里則用表示空間一點(diǎn)。那么，對(duì)于一個(gè)二維空間的圖形或三維空間的立體，可以用一個(gè)點(diǎn)的集合（簡(jiǎn)稱點(diǎn)集）來表示，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)行向量，則點(diǎn)集為n×2或m×3階的矩陣：或

472.2.1圖形變換方法或4

例如：已知三角形ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）則三角形ABC可以記作矩陣：

然后把它以數(shù)組的形式存貯在計(jì)算機(jī)內(nèi)。48

二、齊次坐標(biāo)

齊次坐標(biāo)是將一個(gè)n維空間的點(diǎn)用n十1維，即附加一個(gè)坐標(biāo)來表示。如二維點(diǎn)[xy]的齊次坐標(biāo)通常用三維坐標(biāo)[HxHyH]表示，三維點(diǎn)[xyz]的齊次坐標(biāo)通常用四維坐標(biāo)[HxHyHzH]表示，……。在齊次坐標(biāo)系中，最后一維坐標(biāo)H稱為比例因子。由于比例因子H的取值是任意的，所以任一點(diǎn)可用許多組齊次坐標(biāo)表示，如二維點(diǎn)[32]可表示為[321]、[642]、[963]等。另外，可用H＝0的向量表示無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)。例如用[1000]、[0100]、[0010]分別表示x，y，z軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。對(duì)齊次坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)變換稱為齊次變換，相應(yīng)的變換矩陣稱為齊次變換矩陣49二、齊次坐標(biāo)6反過來，還可以通過矩陣變換將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)變換為與之對(duì)應(yīng)的有限遠(yuǎn)點(diǎn)。當(dāng)H=1時(shí)，則稱為規(guī)范齊次坐標(biāo)。從齊次坐標(biāo)返回到n維空間去時(shí)，只需將坐標(biāo)中每個(gè)分量除以H就可以了。以后介紹的變換矩陣實(shí)際上都是奇次坐標(biāo)變換。用齊次坐標(biāo)方式進(jìn)行變換運(yùn)算不但可以產(chǎn)生正常坐標(biāo)變換的同樣效果，而且可以簡(jiǎn)化正常坐標(biāo)變換過程。在圖形變換中引入齊次坐標(biāo)表示，還能使各種基本變換，如旋轉(zhuǎn)、平移和比例交換等具有統(tǒng)一的變換矩陣格式，并且可以將它們結(jié)合在一起進(jìn)行組合變換，同時(shí)也便于計(jì)算。50反過來，還可以通過矩陣變換將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)變換為與之三、變換矩陣由于圖形可以用點(diǎn)集表示，因此要對(duì)圖形進(jìn)行變換，只要變換點(diǎn)就可以了。對(duì)點(diǎn)的變換可以通過相應(yīng)的矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，即：

舊點(diǎn)（集）×變換矩陣新點(diǎn)（集）

若將二維空間的點(diǎn)由某個(gè)位置P(x，y)變換到一個(gè)新的位置P*(x*，y*)，變換的原理是把齊次坐標(biāo)點(diǎn)（x，y，1）通過變換矩陣變換成新的齊次坐標(biāo)點(diǎn)（x*，y*，1）。即：51三、變換矩陣8Ｔ為基本變換矩陣：

從變換功能上可把T分為四個(gè)子矩陣，其中對(duì)圖形進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換；[lm]對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；[pq]T對(duì)圖形進(jìn)行投影變換，不做投影變換時(shí)取p=0，

q=0；[s]對(duì)圖形進(jìn)行全比例變換。通常取s=1。52Ｔ為基本變換矩陣：9三維圖形的變換矩陣是二維圖形變換矩陣的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，在三維空間中，用四維齊次坐標(biāo)表示三維點(diǎn)，即[xyz1]。三維變換矩陣則采用4×4階矩陣表示，即：53三維圖形的變換矩陣是二維圖形變換矩陣的簡(jiǎn)單擴(kuò)展齊次變換矩陣：平移縮放旋轉(zhuǎn)錯(cuò)切透視變換整體縮放54齊次變換矩陣：平移縮放透視變換整體縮放112.2.2二維圖形的幾何變換

一、基本幾何變換1、平移變換2、比例變換3、旋轉(zhuǎn)變換4、對(duì)稱變換5、錯(cuò)切變換

二、組合變換

552.2.2二維圖形的幾何變換12圖中l(wèi)、m分別為x、y方向的平移量。從圖中可以得出變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)值應(yīng)滿足以下關(guān)系：一、基本幾何變換1、平移變換

平移變換是將圖形在坐標(biāo)平面內(nèi)移動(dòng)，只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。平移變換如圖所示：56一、基本幾何變換13將它寫成矩陣的形式為：那么即為所求平移變換矩陣。57將它寫成矩陣的形式為：14例1：已知三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，0)，B(20，0)，C(0，20)，平移參數(shù)分別為l＝20，m＝10；試對(duì)此三角形進(jìn)行平移變換。解：因?yàn)槠揭谱儞Q矩陣為所以變換后點(diǎn)的坐標(biāo)為

58例1：已知三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，0)，B(20，0)，C(

2、比例變換比例變換指將原有圖形在x、y兩個(gè)方向上進(jìn)行放大或縮小的變換，通過它可以改變圖形的大小和方向。將平面上一點(diǎn)P（x，y）在x、y兩個(gè)方向上分別進(jìn)行放大a倍和d倍的比例變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系為：寫成矩陣的形式為592、比例變換16其中，T=稱為比例變換矩陣，a、d分別

為沿x、y方向上的比例因子，且a、d>0。a、d的取值不同，變換效果也不同，如下所述：（1）如果a=d=1，變換為恒等變換，即變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。（2）如果a=d≠1，變換為等比例變換。其中，如果a=d>1，變換為等比例放大；如果a=d<1，變換則為等比例縮小。如圖（a）、（b）所示。（3）如果a≠d，變換后的圖形會(huì)產(chǎn)生畸變。如圖（c）所示。

6017（a）a=d>1（b）a=d<1（c）ad

6118例2：a=2，d=1時(shí)，假設(shè)變換前A（1，1），B（2，1），C（1，2），那么，變換后為A*（2，1），B*（4，1），C*（2，2），△ABC與△A*B*C*不相似。62例2：a=2，d=1時(shí)，假設(shè)變換前A（1，1），B（2，1）3、旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換一般指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，規(guī)定為：繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化后不改變圖形自身的大小、形狀等，只改變圖形的方向。連續(xù)的旋轉(zhuǎn)變換相當(dāng)于將其旋轉(zhuǎn)角度疊加之后的旋轉(zhuǎn)變換。將平面上一點(diǎn)P（x，y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，變換后得到新點(diǎn)P1（x1，y1），P和P1的關(guān)系為：633、旋轉(zhuǎn)變換20

其中：為繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。

64214、對(duì)稱變換

對(duì)稱變換又稱為反射變換或鏡像變換。（1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（a）應(yīng)為：x*=－x，y*=－y，寫成矩陣形式為：

其中：為關(guān)于

原點(diǎn)的對(duì)稱變換矩陣。

654、對(duì)稱變換22（2）關(guān)于x軸的對(duì)稱變換

將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于x軸的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（b）應(yīng)為：x*=x，y*=－y，寫成矩陣形式為：其中：為關(guān)于

x軸的對(duì)稱變換矩陣。66（2）關(guān)于x軸的對(duì)稱變換23（3）關(guān)于y軸的對(duì)稱變換

將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于y軸的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（c）應(yīng)為：x*=－x，y*=y，寫成矩陣形式為：

其中：為變換矩陣。67（3）關(guān)于y軸的對(duì)稱變換24(4)關(guān)于y=x的對(duì)稱變換將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于直線y=x的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（d）應(yīng)為：x*=y，y*=x，寫成矩陣形式為：

其中：為變換矩陣。68(4)關(guān)于y=x的對(duì)稱變換25(5)關(guān)于y=－x的對(duì)稱變換將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于直線y=－x的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（e）應(yīng)為：x*=－y，y*=－x，寫成矩陣形式為：

其中：為變換矩陣。69(5)關(guān)于y=－x的對(duì)稱變換265、錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換是使圖形沿錯(cuò)切方向的坐標(biāo)發(fā)生變化，而另一方向的坐標(biāo)值不變，從而達(dá)到使原圖形發(fā)生特定變化的目的。錯(cuò)切變換分沿x軸和沿y軸錯(cuò)切兩種形式。(1)沿x軸方向的錯(cuò)切將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行沿x軸方向的錯(cuò)切變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），變換過程如圖（a）所示，從圖中可以看出，沿x軸方向錯(cuò)切變化后，y坐標(biāo)不變，x將產(chǎn)生一個(gè)增量△x=cy，而且c當(dāng)取正值時(shí)，沿x軸的正方向進(jìn)行錯(cuò)切，反之c取負(fù)值。P和P*的關(guān)系為：x*=x+cy，y*=y。寫成矩陣形式為：705、錯(cuò)切變換27

其中：為變換矩陣。

（a）沿x軸方向的錯(cuò)切（b）沿y軸方向的錯(cuò)切

7128（2）沿y軸方向的錯(cuò)切

將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行沿y軸方向的錯(cuò)切變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），變換過程如圖（b）所示，從圖中可以看出，沿y軸方向錯(cuò)切變化后，x坐標(biāo)不變，y將產(chǎn)生一個(gè)增量△y=bx，而且當(dāng)b取正值時(shí)，沿y軸的正方向進(jìn)行錯(cuò)切，反之b取負(fù)值。P和P*的關(guān)系為：x*=x，y*=bx+y。寫成矩陣形式為：

其中：為變換矩陣。

7229二、組合變換

在圖形的幾何變換中，圖形的實(shí)際變換往往不是單獨(dú)采用前述的各種基本變換就可以完成，通常需要將各種基本變換組合使用，以完成最終的圖形變換。這種由多種基本變換組合而成的變換稱為組合變換，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。假設(shè)已知點(diǎn)P依次經(jīng)過T1、T2和T3三個(gè)幾何變換，得到的結(jié)果為:P*=（（PT1）T2）T3運(yùn)用矩陣乘法的結(jié)合律，上式可化為:P*=P（T1T2T3）于是得到組合變換的變換矩陣為:T=T1T2T3

由于矩陣不存在交換律，因此矩陣相乘的順序是不能隨意互換的。73二、組合變換由于矩陣不存在交