2022版新人教版選修1第1章1.111課時空間向量及其線性運算

第1課時

空間向量及其線性運算第一章

1.1.1空間向量及其線性運算1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程.3.掌握空間向量的線性運算.學習目標國慶期間，某游客從上海世博園(O)游覽結(jié)束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠(B)游玩，如圖1，游客的實際位移是什么？可以用什么數(shù)學概念來表示這個過程？如果游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，如圖2，那么他實際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢？導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、空間向量的有關(guān)概念二、空間向量的加減運算三、空間向量的數(shù)乘運算內(nèi)容索引一、空間向量的有關(guān)概念1.在空間，把具有

和

的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的

或

.空間向量用有向線段表示，有向線段的

表示空間向量的模，a的起點是A，終點是B，則a也可記作

，其模記為

或

.知識梳理方向大小長度模長度|a|2.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為0的向量叫做

，記為0單位向量

的向量叫做單位向量相反向量與向量a長度

而方向

的向量，叫做a的相反向量，記為____零向量模為1相等相反－a共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線__________

，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量

，即對于任意向量a，都有0

a相等向量方向

且模

的向量稱為相等向量.在空間，_____且

的有向線段表示同一向量或相等向量互相平行或重合平行∥相同相等同向等長注意點：(1)平面向量是一種特殊的空間向量.(2)兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同.(3)向量不能比較大小.(4)共線向量不一定具備傳遞性，比如0.例1

(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是A.單位向量都相等B.若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同√解析A中，單位向量長度相等，方向不確定；B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；C中，向量不能比較大小.(2)(多選)下列命題為真命題的是A.若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝bB.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有C.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝pD.空間中，a∥b，b∥c，則a∥c√√解析A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命題，平行向量不一定具有傳遞性，當b＝0時，a與c不一定平行.反思感悟空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.跟蹤訓練1

如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，二、空間向量的加減運算問題

空間中的任意兩個向量是否共面？為什么？提示共面，任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，因此空間中向量的加減運算與平面中一致.加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述

平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述

知識梳理減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述

加法運算交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意點：(1)求向量和時，可以首尾相接，也可共起點；求向量差時，可以共起點.(2)三角形法則、平行四邊形法則在空間向量中也適用.例2

(1)(多選)如圖，在正方體ABCD

－A1B1C1D1中，下列各式運算結(jié)果為

的是√√0解析方法一(轉(zhuǎn)化為加法運算)方法二(轉(zhuǎn)化為減法運算)反思感悟空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果.跟蹤訓練2

如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標出化簡結(jié)果.三、空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向______λa的長度是a的長度的

倍λ<0λa與向量a的方向______λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結(jié)合律λ(μa)＝_____分配律(λ＋μ)a＝

，λ(a＋b)＝_______知識梳理相同相反|λ|(λμ)aλa＋μaλa＋λb注意點：(1)當λ＝0或a＝0時，λa＝0.(2)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度.(3)向量λa與向量a一定是共線向量.例3

如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：解∵P是C1D1的中點，解∵N是BC的中點，解∵M是AA1的中點，延伸探究

1.例3的條件不變，試用a，b，c表示向量解因為P，N分別是D1C1，BC的中點，反思感悟

利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量.(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì).跟蹤訓練3

已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值.∴x＝2，y＝－2.1.知識清單：(1)向量的相關(guān)概念.(2)向量的線性運算(加法、減法和數(shù)乘).(3)向量的線性運算的運算律.2.方法歸納：類比、三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū)：應(yīng)抓住向量的“大小”和“方向”兩個要素，并注意它是一個“量”，而不是一個數(shù).課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)下列命題中，真命題是A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等√1234√√解析容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量.√1234A.平行四邊形 B.空間四邊形C.等腰梯形 D.矩形√1234∴四邊形ABCD為平行四邊形.412341234解析根據(jù)空間向量的加法運算以及正方體的性質(zhì)逐一進行判斷：課時對點練1.下列說法中正確的是A.空間中共線的向量必在同一條直線上B.

的充要條件是A與C重合，B與D重合C.數(shù)乘運算中，λ既決定大小，又決定方向D.在四邊形ABCD中，一定有√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析對于A，向量共線是指表示向量的有向線段所在直線平行或重合，所以A錯誤；12345678910111213141516對于C，λ既決定大小又決定方向，所以C正確；綜上可知，正確的為B.2.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是A.a＝b B.a＋b為實數(shù)0C.a與b方向相同 D.|a|＝3√解析向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反，故選D.123456789101112131415163.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，

則下列向量相等的是√12345678910111213141516A.a＋b－c B.a－b＋cC.b－a－c D.b－a＋c√12345678910111213141516√123456789101112131415166.(多選)已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，則下列四式中正確的有12345678910111213141516√√√C顯然正確；1234567891011121314151612345678910111213141516又∵M是AA1的中點，123456789101112131415169.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中點.化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量.1234567891011121314151612345678910111213141516解因為M是BB1的中點，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516綜合運用12.如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AC與BD的交點為O，點M在BC′上，且BM＝2MC′，則

等于√12345678910111213141516解析因為BM＝2MC′，12345678910111213141516在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，12345678910111213141516解析在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點，1234567891011121314151614.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點.1234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究123456789101