四章環(huán)與域課件

第五節(jié)模n剩余類環(huán)第六節(jié)理想第七節(jié)商環(huán)與環(huán)同態(tài)基本定理第八節(jié)素理想和極大理想第四章環(huán)與域第五節(jié)模n剩余類環(huán)第四章環(huán)與域第一節(jié)環(huán)的定義★環(huán)的基本概念★環(huán)的基本性質(zhì)★子環(huán)的定義及其判定★矩陣環(huán)和循環(huán)環(huán)第一節(jié)環(huán)的定義★環(huán)的基本概念定義1

設(shè)非空集合叫做加法并用加號(hào)+表示,另一個(gè)叫做乘法并用乘號(hào)具有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,

一個(gè)表示.如果1)作成一個(gè)加群;2)作成一個(gè)半群;3)乘法對(duì)加法滿足左右分配律:一環(huán)的基本概念定義1設(shè)非空集合叫做加法并用加號(hào)+表示,另一個(gè)叫做乘法并用

則稱可以記這個(gè)環(huán)為.

是一個(gè)環(huán),在不產(chǎn)生混淆的前提下,

定義2

如果環(huán)的乘法滿足交換律,即對(duì)中任意元素都有,則稱為交換環(huán)(可為非交換環(huán)(非可換環(huán)).

換環(huán)).否則稱則稱可以記這個(gè)環(huán)為.是一個(gè)環(huán),在不產(chǎn)生混淆的前提下,例①中設(shè)為整數(shù)集,“+”和“·”為中通常的整數(shù)加法和乘法.易知習(xí)慣上稱它為整數(shù)環(huán),記為.

是一個(gè)環(huán).同理還有有理數(shù)環(huán),實(shí)數(shù)環(huán),復(fù)數(shù)環(huán).上述的四個(gè)環(huán)都是由數(shù)組成.故稱為數(shù)環(huán).②偶數(shù)集,對(duì)于整數(shù)通常的加法和乘法也是一個(gè)環(huán).

例①中設(shè)為整數(shù)集,“+”和“·”為中通常的整數(shù)加法和乘法例1設(shè)是一個(gè)加群，再對(duì)中任意元素規(guī)定,則顯然作成一個(gè)環(huán).這種環(huán)稱為零乘環(huán).例2設(shè)為整數(shù)集.則對(duì)以下二運(yùn)算作成環(huán):證容易驗(yàn)算對(duì)作成一個(gè)加群,1是零元,是元素的負(fù)元.

此外,對(duì)乘法顯然滿足交換律,且易驗(yàn)證也滿足結(jié)合律.下面僅證乘法對(duì)加法也滿足分配律:例1設(shè)是一個(gè)加群，再對(duì)中任意元素規(guī)定,則顯然作成一個(gè)環(huán).這因?yàn)楣?因此,對(duì),作成環(huán),且是一個(gè)交換環(huán).

因?yàn)楣?因此,對(duì),作成環(huán),且是一個(gè)交換環(huán).定義3

如果環(huán)中有元素,它對(duì)中每個(gè)元素都有,則稱為環(huán)的一個(gè)左單位元;如果環(huán)中有元素,它對(duì)中每個(gè)元素都有,則稱為環(huán)的一個(gè)右單位元.環(huán)中既是左單位元又是右單位元的元素,叫做的單位元.實(shí)際上,由于環(huán)對(duì)其乘法顯然作成一個(gè)半群,故的左,右單位元或單位元也是該半群的左,右單位元或單位元.定義3如果環(huán)中有元素,它對(duì)中每個(gè)元素都有,則稱為環(huán)的一個(gè)左例3證明:集合的冪集對(duì)運(yùn)算作成一個(gè)有單位元的交換環(huán).這個(gè)環(huán)稱為的冪集環(huán).證顯然,上述加法是的代數(shù)運(yùn)算且滿足交換律;又顯然空集是的零元,而的負(fù)元為身.因此,欲證

自足結(jié)合律.作成加群只剩下證該代數(shù)運(yùn)算滿先證:(＊)例3證明:集合的冪集對(duì)運(yùn)算作成一個(gè)有單位元的交換環(huán).這個(gè)環(huán)任取,則;或1)若,則或若為前者,即,則得,從而若為后者,即,則得,從而也可得上式.因此任取,則;或1)若,則或若為前者,即,則得,從而若為后者2)若,則類似推理也可得(＊).因故因此,對(duì)上述加法作成此,(＊)式總成立.同理可得一個(gè)加群.

又顯然乘法滿足結(jié)合律和交換律.至于乘法對(duì)加法的分配律,可類似于加法滿足結(jié)合律的證法知也成立.又,且顯然是此的單位元.因?qū)σ陨隙\(yùn)算作成一個(gè)有單位元的交換環(huán).2)若,則類似推理也可得(＊).因故因此,對(duì)上述加法作成此,二環(huán)的基本性質(zhì)設(shè)R是一個(gè)環(huán),那么有如下性質(zhì):性質(zhì)1:且;

;

性質(zhì)2:性質(zhì)3:性質(zhì)4:性質(zhì)5:;

;

;

二環(huán)的基本性質(zhì)設(shè)R是一個(gè)環(huán),那么有如下性質(zhì):性質(zhì)1:性質(zhì)6:;

性質(zhì)7:性質(zhì)8:

;

.

性質(zhì)6:;性質(zhì)7:性質(zhì)8:;.三子環(huán)的定義及其判定定義4

設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集.如果對(duì)的加法與乘法也作成一個(gè)環(huán),則稱是的一個(gè)子.

環(huán),記為例4設(shè)為任意集合.則(包括空集)作成冪集環(huán)的一個(gè)子環(huán).

的全體有限子集三子環(huán)的定義及其判定定義4設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集.如果定理1

環(huán)的非空子集作成子環(huán)的充要條件是:.

設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán),應(yīng)注意,當(dāng)有單位元時(shí),不一定有;當(dāng)有單位元時(shí),不一定有;即使二者都有單位元,此二單位元也未必相同.定理1環(huán)的非空子集作成子環(huán)的充要條件是:.設(shè)是環(huán)的一個(gè)子例5設(shè)為任意環(huán),稱為環(huán)上的一個(gè)矩陣.當(dāng)時(shí),稱為環(huán)上的一個(gè)n階方陣.

四矩陣環(huán)和循環(huán)環(huán)例5設(shè)為任意環(huán),稱為環(huán)上的一個(gè)矩陣.當(dāng)時(shí),稱為環(huán)上的結(jié)論:環(huán)上的全體階方陣關(guān)于方陣的加法表示,并稱為環(huán)上的階全陣環(huán).

與乘法作成一個(gè)環(huán).這個(gè)環(huán)用定理2

設(shè)是一個(gè)有單位元的交換環(huán).則上n階全陣環(huán)的方陣在中可逆的充要條的行列式在中可逆.

件是:結(jié)論:環(huán)上的全體階方陣關(guān)于方陣的加法表示,并稱為環(huán)上的階全陣一個(gè)環(huán)關(guān)于其加法作成一個(gè)加群,用表示,稱其為環(huán)的加群.如果加群是一個(gè)循環(huán)群,則稱環(huán)是一個(gè)循環(huán)環(huán).

例如:整數(shù)環(huán)是一個(gè)無限循環(huán)環(huán).顯然循環(huán)環(huán)必是交換環(huán),且循環(huán)環(huán)的子環(huán)也是循環(huán)環(huán),但是循環(huán)環(huán)不一定有單位元.定理3

階環(huán)必為循環(huán)環(huán)(是兩個(gè)互異

素?cái)?shù)).

一個(gè)環(huán)關(guān)于其加法作成一個(gè)加群,用表示,稱其為環(huán)的加群.如果加第二節(jié)環(huán)的零因子和特征★零因子的定義及其性質(zhì)★環(huán)的特征及其性質(zhì)第二節(jié)環(huán)的零因子和特征★零因子的定義及其性質(zhì)定義1

設(shè)是環(huán)的一個(gè)元素,如果在中存在元素,使,則稱是的一個(gè)左零因子.

同理可定義右零因子.左或右零因子統(tǒng)稱為零因子.

一零因子的定義及其性質(zhì)不是左零因子也不是右零因子的元素,叫正則元.定義1設(shè)是環(huán)的一個(gè)元素,如果在中存在元素,使,則稱是的一注1)中左零因子和右零因子這兩個(gè)概念是有右零因子.

彼此依賴,彼此依托—“共存亡”:有左零因子2)若是的左零因子,一般未必同時(shí)是的右零因子.

由上可知,欲說明是左零因子,則只需證明存在,使.欲說明不是左零因子,只需證明任一個(gè),都有(或一旦).

注1)中左零因子和右零因子這兩個(gè)概念是有右零因子.彼此例1設(shè)為由一切形如的方陣作成的環(huán),則是的一個(gè)左零因子,因?yàn)橛械皇堑挠伊阋蜃?因?yàn)?若,只有例1設(shè)為由一切形如的方陣作成的環(huán),則是的一個(gè)左零因子,因?yàn)槔?數(shù)域上二階全陣環(huán)中,上二階全陣環(huán)中,既是左零因子又是右零因子,因?yàn)橛袛?shù)環(huán)以及數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán),都無零因子.例2數(shù)域上二階全陣環(huán)中,上二階全陣環(huán)中,既是左零因子又是右定理1

在環(huán)中,當(dāng)不是左零因子時(shí),則不是右零因子時(shí),則.

;當(dāng)證由,得.由于且不是左零因子,故同理可證另一結(jié)論.定理1在環(huán)中,當(dāng)不是左零因子時(shí),則不是右零因子時(shí),則.推論當(dāng)環(huán)無左(或右)零因子時(shí),則消去律中有一個(gè)消去律成立,則中無左成立;反之,若及右零因子,且另一個(gè)消去律也成立.

定義2

無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán).對(duì)環(huán)中任意元素有,左消去律成立;,右消去律成立.推論當(dāng)環(huán)無左(或右)零因子時(shí),則消去律中有一個(gè)消去律成立,定義3

若(任意)環(huán)的元素(對(duì)加法)有最大階,則稱的特征(或特征數(shù)).用表示環(huán)的特征.

二環(huán)的特征及其性質(zhì)若環(huán)的元素(對(duì)加法)無最大階,則稱為無限(或零).的特征有限環(huán)的特征必有限.一階環(huán)的特征為1.在數(shù)環(huán)中,除去外,其特征均無限.為環(huán)定義3若(任意)環(huán)的元素(對(duì)加法)有最大階,則稱的特征(或定理2

設(shè)是一個(gè)環(huán).令是空集時(shí)的特征無限;當(dāng)非空時(shí),中最小的正整數(shù)就是環(huán)的特征.

,則當(dāng)證若為空集,則說明中元素的階沒有是中一個(gè)最大階元,且

最大的.因若不然,設(shè)階為.由于對(duì)加法是交換群,則由第二章§2中任何元素的階都是的因數(shù),從而定理5知,定理2設(shè)是一個(gè)環(huán).令是空集時(shí)的特征無限;當(dāng)非空時(shí),中最小的中任何元素都有

對(duì)于是.這與是空集矛盾.

若非空,且是中的最小正整數(shù),則中每個(gè)元素的階都有限且是的因數(shù),故最大階元.由上知,這個(gè)最大階就是,因此有中任何元素都有對(duì)于是.這與是空集矛盾.若非空,且是中的最定理3

設(shè)是一個(gè)無零因子環(huán),且.則中所有非零元素(對(duì)加法)的階均相同;的特征有限,則必為素?cái)?shù).

1)2)若證1)若已對(duì);若中每個(gè)非零元素的階都無限,定理中有某個(gè)元素的階為,則在中,有任取但,零因子,故又無定理3設(shè)是一個(gè)無零因子環(huán),且.則中所有非零元素(對(duì)加法)的設(shè),則故從而.因此,即中每個(gè)非零元素的階都是2)設(shè),且則在中任取中每個(gè)非零元素的階都是故

,由于

但是這與是無零因子環(huán)矛盾,故必是素?cái)?shù).

設(shè),則故從而.因此,即中每個(gè)非零元素的階都是2)設(shè),且則在中定理4

若環(huán)有單位元,則單位元在加群中的階就是的特征.

證若單位元1在中的階無限,則的特征當(dāng)然無限;若1的階是正整數(shù),則在中任取有.即是中非零元素的最大階,亦即定理4若環(huán)有單位元,則單位元在加群中的階就是的特征.證定理5

若環(huán)是交換環(huán),特征是素?cái)?shù),則對(duì)中任意元素有.

證因?yàn)閷⒄归_后除去項(xiàng)外,其余各項(xiàng)的系數(shù)都是的倍數(shù),而是的特征,其余項(xiàng)都是零,結(jié)論得證.定理5若環(huán)是交換環(huán),特征是素?cái)?shù),則對(duì)中任意元素有.證因定義4

設(shè)是一個(gè)階大于1且特征是素?cái)?shù)的環(huán),如果對(duì)中任意元素都有,則稱是一個(gè)環(huán).定理6

環(huán)是交換環(huán).

定義5

設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集.如果中元素中任何元素,即對(duì)都有,則稱是的一個(gè)左零化子,并簡(jiǎn)記為.

右零化子可類似定義.左或右零化子統(tǒng)稱為零化子.使定義4設(shè)是一個(gè)階大于1且特征是素?cái)?shù)的環(huán),如果對(duì)中任意元素都第三節(jié)除環(huán)和域★除環(huán)與域的概念與性質(zhì)★子除環(huán)與子域的判定第三節(jié)除環(huán)和域★除環(huán)與域的概念與性質(zhì)定義1

設(shè)是一個(gè)環(huán),如果,又有單位元且每個(gè)非零元素都有逆元,則稱是一除環(huán)與域的概念與性質(zhì)一個(gè)除環(huán).

可換的除環(huán)稱為域.定理1

除環(huán)和域都沒有零因子.注:除環(huán)和域的特征只能是素?cái)?shù)或無限.定義1設(shè)是一個(gè)環(huán),如果,又有單位元且每個(gè)非零元素都有逆元例1令,并稱中的元素為四元數(shù).另規(guī)定系數(shù)為零的項(xiàng)可以略去不寫,且

于是由第二章§1例4知,對(duì)所規(guī)定的乘法作成一的乘法現(xiàn)在再規(guī)定：

個(gè)群,即四元數(shù)群.根據(jù)1)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等;2)例1令,并稱中的元素為四元數(shù).另規(guī)定系數(shù)為零的項(xiàng)可以略去不3)法帶入相應(yīng)元素,即兩個(gè)四元數(shù)相乘可按通常分配律先展開,再合并各項(xiàng)中的實(shí)系數(shù),最后根據(jù)四元數(shù)群的乘因此,任意兩個(gè)四元數(shù)的和與積仍是一個(gè)四元數(shù).3)法帶入相應(yīng)元素,即兩個(gè)四元數(shù)相乘可按通常分配律先展開,對(duì)以上規(guī)定的加法和乘法,可以驗(yàn)算作成一個(gè)環(huán),1是它的單位元.又因?yàn)楣十?dāng)時(shí)有逆元,且因此,作成一個(gè)除環(huán),通常稱為四元數(shù)除環(huán).對(duì)以上規(guī)定的加法和乘法,可以驗(yàn)算作成一個(gè)環(huán),1是它的單位元.必有單位元,且每個(gè)非零又非零因子的元素都是定理2

有限環(huán)若有非零元素不是零因子,則可逆元.證設(shè)是有限環(huán)的任意非零因子元素,則中必有相等的.不妨設(shè)于是有.但且不是零因子,故從而對(duì)任意,有必有單位元,且每個(gè)非零又非零因子的元素都是定理2有限環(huán)若有于是同理有.即是環(huán)可知,是的可逆元.

的單位元.再由推論階大于1的有限環(huán)則必為除環(huán).若無零因子,于是同理有.即是環(huán)可知,是的可逆元.的單位元.再由推論階定理3

設(shè)是環(huán)且,則是除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)中任意元素,方程在中有解.

證必要性顯然,下證充分性.在中任取,,由條件可設(shè)

于是從而,即無零因子.

又因?yàn)榉匠淘谥杏薪?設(shè)為.則有

但又無零因子,故

從而定理3設(shè)是環(huán)且,則是除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)中任意元素,方程在中有解是環(huán)的全體非零元素的右單位元.再由于方程在中有解且此解顯然不是零元素,即每個(gè)的乘法作成一個(gè)群,而這個(gè)群的單位元就是的單位元,從而是除環(huán).非零元素都有右逆元.因此,的全體非零元素對(duì)是環(huán)的全體非零元素的右單位元.再由于方程在中有解且此解顯然不二子除環(huán)與子域的判定定義2

設(shè)是域(除環(huán))的一個(gè)子集,且.如果對(duì)的兩個(gè)運(yùn)算也作成一個(gè)域(除是的一個(gè)子域(子除環(huán)).

環(huán)),則稱定理4

設(shè)是域的一個(gè)子集,且則作成的一個(gè)子域當(dāng)且僅當(dāng)

.簡(jiǎn)言之,即對(duì)“減法與除法”封閉.二子除環(huán)與子域的判定定義2設(shè)是域(除環(huán))的一個(gè)子集,且定義3

設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),則的可逆的單位;的全體可逆元(單位)作成的的乘群或單位群,并用或表示.

元也稱為群,稱為例2證明:作成一個(gè)有單位.

元的整環(huán)(這個(gè)環(huán)稱為Gauss整環(huán)),并且其單位群是定義3設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),則的可逆的單位;的全體可逆元(證作成有單位元的整環(huán)顯然.又易知均為其單位.下證:沒有別的單位.設(shè)是的任一單位,則有使從而于是或則只能是及因此,和是環(huán)的全部單位.故證作成有單位元的整環(huán)顯然.又易知均為其單位.下證:沒有別的單第四節(jié)環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)第四節(jié)環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)如果是滿射(單射、雙射),則稱滿射(環(huán)同態(tài)單射,環(huán)同構(gòu)).特別是環(huán)同態(tài)滿射與同態(tài),記為～.

為環(huán)同態(tài)時(shí),則稱定義設(shè)與是兩個(gè)環(huán).如果有一個(gè)到滿足,,則稱是環(huán)到的一個(gè)同態(tài)映射.

映射的如果是滿射(單射、雙射),則稱滿射(環(huán)同態(tài)單射,環(huán)同構(gòu)).定理1

設(shè)與是各有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的集合,.則當(dāng)是環(huán)時(shí),也是一個(gè)環(huán).

且定理2

設(shè)與是兩個(gè)環(huán),且.則元的象是的零元,的元素的負(fù)元的象是象的負(fù)元;當(dāng)是交換環(huán)時(shí),也是交換環(huán);當(dāng)單位元時(shí),也有,并且單位元的象是單位元.的零的有定理1設(shè)與是各有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的集合,.則當(dāng)是環(huán)時(shí),也是一個(gè)例1設(shè)是整數(shù)環(huán),為4階循環(huán)環(huán),即其中在加群中的階為4(從而其特征為4),且.則易知映射是環(huán)到環(huán)的一個(gè)同態(tài)滿射.在這里,整數(shù)環(huán)沒有零因子,但是循環(huán)環(huán)卻有零因子,因?yàn)樵谥?即是環(huán)的零因子.例1設(shè)是整數(shù)環(huán),為4階循環(huán)環(huán),即其中在加群中的階為4(從而例2設(shè)是整數(shù)環(huán),又可以驗(yàn)算是環(huán)到的一個(gè)同態(tài)滿射.又因?yàn)樽鞒梢粋€(gè)環(huán),且易知對(duì)運(yùn)算即環(huán)有零因子,但它的同態(tài)象卻沒有零因子.例2設(shè)是整數(shù)環(huán),又可以驗(yàn)算是環(huán)到的一個(gè)同態(tài)滿射.又因?yàn)樽鞒啥ɡ?

設(shè)與是兩個(gè)環(huán),且.則環(huán)(除環(huán)、域)當(dāng)且僅當(dāng)是整環(huán)(除環(huán)、域).

是整例3設(shè)是域上的階全陣環(huán).任取如果矩陣的加法不變,但乘法改為證明:1)上全體階方陣對(duì)此二運(yùn)算作成環(huán),此環(huán)記為2)當(dāng)且僅當(dāng)為滿秩方陣.定理3設(shè)與是兩個(gè)環(huán),且.則環(huán)(除環(huán)、域)當(dāng)且僅當(dāng)是整環(huán)(除證易驗(yàn)算作成環(huán);又當(dāng)為滿秩方陣時(shí),易知是環(huán)到的一個(gè)同構(gòu)映射,故反之,設(shè)而為降秩方陣且設(shè)則由高等代數(shù)知,存在秩為的階方陣使于是對(duì)任意都有從而環(huán)沒有單位元.這與相矛盾.因此,必為滿秩方陣.證易驗(yàn)算作成環(huán);又當(dāng)為滿秩方陣時(shí),易知是環(huán)到的一個(gè)同構(gòu)映射

定理4(挖補(bǔ)定理)設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán),且與環(huán)同構(gòu),即.又若,即同在里的余集無公共元素,則存在環(huán)使.

證令,且在同構(gòu)之下,的象是;又在中余集的元素用表示.于是定理4(挖補(bǔ)定理)設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán),且與環(huán)同構(gòu),即.又若現(xiàn)在作一個(gè)新的集合并規(guī)定到的一個(gè)映射:則顯然這是到的一個(gè)雙射.再在集合中規(guī)定二運(yùn)算:其中為中任意元素,且為現(xiàn)在作一個(gè)新的集合并規(guī)定到的一個(gè)映射:則顯然這是到的一個(gè)雙射在之下的逆象.易知此二運(yùn)算是的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且是與的一個(gè)同構(gòu)映射.因此,也是環(huán)且.特別,保持原同構(gòu)以及環(huán)的原來的運(yùn)算,因此.從而例4設(shè)是例2中所給出的環(huán),又令則顯然在之下.又,因此由定理4知且在之下的逆象.易知此二運(yùn)算是的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且是與的一個(gè)同第五節(jié)模n剩余類環(huán)第五節(jié)模n剩余類環(huán)復(fù)習(xí)回顧:在第二章里,我們?cè)懻撃５氖Ｓ囝惣尤?下面給出同余類的加法和乘法,使作成一個(gè)環(huán).,規(guī)定可以驗(yàn)證關(guān)于上述兩個(gè)運(yùn)算作成一個(gè)環(huán).稱其為以為模的剩余類環(huán),或簡(jiǎn)稱模剩余類環(huán).復(fù)習(xí)回顧:在第二章里,我們?cè)懻撃５氖Ｓ囝惣尤?下面給出同余中非零元如果與互素,則為可逆互素,則為零因子.

定理1元;如果不與證設(shè),且,則存在整數(shù)使于是即是的逆元.又當(dāng)時(shí),令是且即此時(shí)子.的一個(gè)零因中非零元如果與互素,則為可逆互素,則為零因子.定理1元;如定理2

如果是素?cái)?shù),則環(huán)是一個(gè)域,如果是合數(shù),則環(huán)有零因子,從而不是域.

證因?yàn)榈乃蟹橇阍囟纪ニ?于是由定理1知,每個(gè)非零元素都有逆元,故是一個(gè)域.當(dāng)是合數(shù)時(shí),設(shè)則且故有零因子,從而不是域.定理2如果是素?cái)?shù),則環(huán)是一個(gè)域,如果是合數(shù),則環(huán)有零因子例1是域.又由于故

的逆元是自身,而與

互為逆元.例2是環(huán)不是域.又由于故

是的可逆元,但的零因子.是例1是域.又由于故的逆元是自身,而與互為逆元.例2定理3

設(shè)是兩個(gè)正整數(shù),則證令,并設(shè)且為其一同態(tài)滿射,則在之下單位元的象是單位元,即

,從而對(duì)任意整數(shù)有

特別有.由于有,故反之設(shè),則易知上面的對(duì)應(yīng)是剩余類環(huán)到的一個(gè)滿射,而且是一個(gè)滿同態(tài),故定理3設(shè)是兩個(gè)正整數(shù),則證令,并設(shè)且為其一同態(tài)滿射,則在定理4

除去零乘環(huán)外,在同構(gòu)意義下,循環(huán)環(huán)有而且只有整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán).證整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán)都循環(huán)環(huán).是循環(huán)環(huán),這是顯然的.下證在同構(gòu)意義下只有這些設(shè)為任意循環(huán)環(huán)且不是零乘環(huán).則.如果在加群無限,則易知

中的階(為任意整數(shù))

定理4除去零乘環(huán)外,在同構(gòu)意義下,循環(huán)環(huán)有而且只有整數(shù)環(huán)是循環(huán)環(huán)到整數(shù)環(huán)的子環(huán)的一個(gè)同構(gòu)映射,因此.

在加群中的階有限,而且是以上的對(duì)應(yīng)法則是階循環(huán)環(huán)到模剩余類環(huán)的子環(huán)如果此時(shí)則.且易知的一個(gè)同構(gòu)映射.因此.這就是說,階循環(huán)環(huán)可同構(gòu)嵌入到模剩余類環(huán)中.即在同構(gòu)意義下是的子環(huán).

是循環(huán)環(huán)到整數(shù)環(huán)的子環(huán)的一個(gè)同構(gòu)映射,因此.在加群中的階有例3的子環(huán)與的子環(huán)都是3階循環(huán)環(huán),但它們不同構(gòu).

的加群都是3階循環(huán)群,當(dāng)然同構(gòu).之下必有

但作為環(huán)它們不同構(gòu):因若不然,設(shè)有同構(gòu)證,則與在或從而均有,矛盾.

例3的子環(huán)與的子環(huán)都是3階循環(huán)環(huán),但它們不同構(gòu).的加群都第六節(jié)理想★理想的概念及其性質(zhì)★主理想第六節(jié)理想★理想的概念及其性質(zhì)一理想的概念及其性質(zhì)定義1

設(shè)是環(huán)的一個(gè)子加群,即對(duì)的一個(gè)左理想;,則稱是的一個(gè)既是環(huán)的左理想又是右理想,則稱的一個(gè)雙邊理想,或簡(jiǎn)稱為理想,并用符號(hào)表示.否則記為是任意元素,差仍屬于.如果又有,則稱如果中右理想;如果是.一理想的概念及其性質(zhì)定義1設(shè)是環(huán)的一個(gè)子加群,即對(duì)的一例1令為域上的2階全陣環(huán),并設(shè)

則易知是環(huán)的一個(gè)左理想(但不是雙邊理想),是的一個(gè)右理想(也不是雙邊理想).

而另外易知又是環(huán)的一個(gè)雙邊理想,但它卻不是全陣環(huán)的左理想也不是右理想.

例1令為域上的2階全陣環(huán),并設(shè)則易知是環(huán)的一個(gè)左理想(但例2令是多項(xiàng)式環(huán)為零的全體多項(xiàng)式作成的集合,則易知是個(gè)理想.

是一個(gè)域,中常數(shù)項(xiàng)的一例3令為任一域,又令

例2令是多項(xiàng)式環(huán)為零的全體多項(xiàng)式作成的集合,則易知是個(gè)理想則易知,但是.因此,同正規(guī)子群情況\類似,理想的理想不一定是原環(huán)的理想,亦即理想也不具有傳遞性.

對(duì)任意環(huán),如果,則至少有兩個(gè)理想:,稱之為的平凡理想.其它的理想如果還有的話就稱為真理想.

則易知,但是.因此,同正規(guī)子群情況\類似,理想的理想不一定是是循環(huán)環(huán)的是的一個(gè)子加群(子環(huán)).

一個(gè)理想,當(dāng)且僅當(dāng)定理1定義2

只有平凡理想的非零環(huán)稱為單環(huán).證理想當(dāng)然是子加群.反之,設(shè)是循環(huán)環(huán)的一個(gè)子加群,則對(duì)任意,令

其中為整數(shù).則

又因循環(huán)環(huán)是可換環(huán),故是循環(huán)環(huán)的是的一個(gè)子加群(子環(huán)).一個(gè)理想,當(dāng)且僅當(dāng)定理1定理2

除環(huán)和域只有平凡理想,即它們是單環(huán).證設(shè)是除環(huán)的任意一個(gè)理想.如果,在中任取,則,于是從而對(duì)中任意元素,有故.即只有平凡理想,因此是單環(huán).

定理2除環(huán)和域只有平凡理想,即它們是單環(huán).證設(shè)是除環(huán)的定理3

設(shè)是一個(gè)階大于1的環(huán),并且除平凡理有單位元時(shí),為除無單位元時(shí),是素階零乘環(huán).

想外無其它左或右理想.則當(dāng)環(huán);當(dāng)證設(shè)除和外無其他左理想.在元素,則顯然

中任取是的一個(gè)左理想.有單位元時(shí),,從而.于是當(dāng).這表明方程在除環(huán).

中有解,因此是定理3設(shè)是一個(gè)階大于1的環(huán),并且除平凡理有單位元時(shí),為除無無單位元時(shí),則由§3定理3知:總存在元素.于是,而且是環(huán)的一個(gè)左理想,也是一個(gè)循環(huán)零乘環(huán).故再由假設(shè)可知,只能是一個(gè)素階零乘環(huán).

當(dāng)使當(dāng)除和外無其他右理想時(shí),同理可證.

無單位元時(shí),則由§3定理3知:總存在元素.于是,而且是環(huán)的一推論1

階大于1的可換單環(huán)必為域或素階零乘環(huán).定理4

設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),,則存在惟一的使證令為由中一切階方陣的所有元素作成的集合.

下證:

用表示元素是1而其余元素全階方陣.則易知

是0的(1)推論1階大于1的可換單環(huán)必為域或素階零乘環(huán).定理4設(shè)是一而且上每個(gè)階方陣都可由這個(gè)方陣線性,則在中存在方陣使從而根據(jù)(1)和(2)以及可得

表示.任取(2)因此

再任取,則由于而,故

而且上每個(gè)階方陣都可由這個(gè)方陣線性,則在中存在方陣使從而根據(jù)從而.因此,并且反之,任取,并令

再任意取定,則在中有方陣于是,由于,故.

從而由(3).于是可知設(shè)另有使.則對(duì)任意有.于是,從而理有.因此同(3)從而.因此,并且反之,任取,并令再任意取定,則在中有方陣于推論2

設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),且.則是單環(huán)全陣環(huán)是單環(huán).證若是單環(huán),則由定理4直接可知,是單是單環(huán)且,則由矩陣乘法易知:環(huán).反之,設(shè)從而只有或.于是由定或.即是單環(huán).

惟一性可知理4中的推論2設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),且.則是單環(huán)全陣環(huán)是單環(huán).證定理5

設(shè)是一個(gè)階大于1的整環(huán).如果只有有限個(gè)理想,則必為域.證在中任取元素,由§3定理3知,在中有解即可.但由于整環(huán)只有有限個(gè)理想,故必有正整數(shù)與滿足只需證明方程易知從而由(4)知,在中有使

元素或即方程在中有解

(4)定理5設(shè)是一個(gè)階大于1的整環(huán).如果只有有限個(gè)理想,則必為域二主理想設(shè)是一個(gè)環(huán),任取.易證是中包含的理想中最的由生成的主理想.

,令,則小的一個(gè),稱為結(jié)論:①當(dāng)環(huán)可交換時(shí)(或者生成元在的中心內(nèi)時(shí)),

;②當(dāng)環(huán)中有單位元時(shí),二主理想設(shè)是一個(gè)環(huán),任取.易證是中包含的理想中最的由生成的;③當(dāng)有單位元且可交換(或有單位元在中心時(shí)).

,

定義3

設(shè)為環(huán)的的和.

并稱其為子集個(gè)子集,令;③當(dāng)有單位元且可交換(或有單位元在中心時(shí)).,定義3定理6

若是環(huán)的也是環(huán)的一個(gè)(子環(huán))理想.個(gè)(子環(huán))理想,則證對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時(shí)定理顯然成立.當(dāng)時(shí),作成的子加群.又設(shè)且

顯然則由于是的理想,故

定理6若是環(huán)的也是環(huán)的一個(gè)(子環(huán))理想.個(gè)(子環(huán))理想,則都屬于從而,即時(shí)定理成立.假定對(duì)定理成立,則由于故易知定理對(duì)也成立.都屬于從而,即時(shí)定理成立.假定對(duì)定理成立,則由于故易知定理對(duì)例4設(shè)是整數(shù)環(huán),則證顯然,因此,.又由于故.因此,.

例4設(shè)是整數(shù)環(huán),則證顯然,因此,.又由于故.因此,.例5整數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的理想不是主理想.證因若不然,設(shè),則由于是有單位元的交換群,故可令

這只有.但因?yàn)轱@然是由常數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)的所有整系數(shù)多項(xiàng)式作成的理想,故矛盾.例5整數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的理想不是主理想.證因若不然,設(shè),定義4

設(shè)是環(huán),又.則令有限和并稱其為理想與的乘積.易證:定義4設(shè)是環(huán),又.則令有限和并稱其為理想與的乘積.易證:第七節(jié)商環(huán)與環(huán)同態(tài)基本定理★商環(huán)的基本概念★環(huán)同態(tài)基本定理第七節(jié)商環(huán)與環(huán)同態(tài)基本定理★商環(huán)的基本概念一商環(huán)的基本概念在前一講中已知,當(dāng)是環(huán)的理想時(shí),僅加法,得到加法商群.

而言知今將說明商加群中可以合理地引入一個(gè)做成一環(huán),這個(gè)乘法定義為

乘法并使或.一商環(huán)的基本概念在前一講中已知,當(dāng)是環(huán)的理想時(shí),僅加法,定理1

設(shè)是環(huán)的理想,則對(duì)陪集的加法關(guān)于的商環(huán),且.

與乘法作成一個(gè)環(huán),稱為證令則易知這是到的一個(gè)關(guān)于加法與乘法的同態(tài)滿射,故,由于是環(huán),因此,也是環(huán).定理1設(shè)是環(huán)的理想,則對(duì)陪集的加法關(guān)于的商環(huán),且.與乘法二環(huán)同態(tài)基本定理定理2

設(shè)與是兩個(gè)環(huán),且1)這個(gè)同態(tài)核,即零元的全體逆象,是的一個(gè)理想;.則2)證設(shè)是環(huán)到環(huán)的一個(gè)同態(tài)滿射.1)由第三章知,核首先是環(huán)的一個(gè)子加群;其次,設(shè),則二環(huán)同態(tài)基本定理定理2設(shè)與是兩個(gè)環(huán),且1)這個(gè)同態(tài)核,于是在之下有故,即是的理想.2)令則由群同態(tài)基本定理知,作為加群,是到的一個(gè)同構(gòu)映射.又由于,而,因此是環(huán)到環(huán)的一個(gè)同構(gòu)映射,從而于是在之下有故,即是的理想.2)令則由群同態(tài)基本定理知,作例1設(shè)是整數(shù)環(huán),是任意正整數(shù).證明:證商環(huán)而

由于商環(huán)中元素(即陪集)的加法與乘法同中元素(即同余類)的加法與乘法一致,

故顯然

是環(huán)與的同構(gòu)映射,因此,

例1設(shè)是整數(shù)環(huán),是任意正整數(shù).證明:證商環(huán)而由于商環(huán)中例2設(shè)是Gauss整環(huán),是由全體整系數(shù)多項(xiàng)式作成的環(huán).證明:證這里是虛單位,即的一個(gè)根.易知

是環(huán)到的一個(gè)滿同態(tài),且由環(huán)同態(tài)基本定理知,

故例2設(shè)是Gauss整環(huán),是由全體整系數(shù)多項(xiàng)式作成的環(huán).證明定理3

在環(huán)到環(huán)的同態(tài)映射下,則的子環(huán)(理想)的象是的一個(gè)子環(huán)(理想);的子環(huán)(理想)的逆象是的一個(gè)子環(huán)(理想).

1)2)定理4(環(huán)的第二同構(gòu)定理)設(shè)是環(huán)且,則

1);2).定理3在環(huán)到環(huán)的同態(tài)映射下,則的子環(huán)(理想)的象是的一個(gè)子以下證明2).是到的自然同態(tài),則易知在之下有且這個(gè)同態(tài)的核為.于是由定理2知證1)是顯然的.令以下證明2).是到的自然同態(tài),則易知在之下有且這個(gè)同態(tài)的核為定理5(環(huán)的第三同構(gòu)定理)設(shè)是環(huán)且,則

且

證令分別為到以及到同態(tài),則易知是到的自然滿同態(tài),且有的一個(gè).又易知,故由定理且2知定理5(環(huán)的第三同構(gòu)定理)設(shè)是環(huán)且,則且證令分別為到第八節(jié)素理想和極大理想第八節(jié)素理想和極大理想定義1

設(shè)是一個(gè)交換環(huán),.如果則稱為的一個(gè)素理想.

是的一個(gè)理想,那么例1設(shè)是一個(gè)素?cái)?shù),則有所以是的素理想.

定義1設(shè)是一個(gè)交換環(huán),.如果則稱為的一個(gè)素理想.是的一個(gè)例2設(shè)是偶數(shù)環(huán),是奇素?cái)?shù),又則不是的素理想,而是的素理想.證因?yàn)?但,故偶數(shù)環(huán)的素理想.又設(shè)不是,其中是偶數(shù).設(shè),其中為整數(shù).則由于是奇素?cái)?shù),故可知.從而或.由此可知必有或,即是的素理想.例2設(shè)是偶數(shù)環(huán),是奇素?cái)?shù),又則不是的素理想,而是的素理想.

定理1

設(shè)是交換環(huán)的一個(gè)理想,則是的素理想的充分必要條件是:商環(huán)無零因子,即為整環(huán).

證設(shè)是的素理想,則在商環(huán)二元素中任取,且令.于是有,即.但因是素理想,故有或.亦即有或.因此,商環(huán)無零因子.又因?yàn)榭蓳Q,故也可換,從而為整環(huán).反之,設(shè)無零因子,且令.則,即.于是或,亦即或.因此是的一個(gè)素理想.定理1設(shè)是交換環(huán)的一個(gè)理想,則是的素理想的充分必要條件是定義2

設(shè)是的一個(gè)理想且,如果除了和以外,再也沒有能包含的其他理想,那么稱是的一個(gè)極大理想.

例3顯然零理想是的素理想,但不是極大理想.

在模8剩余類環(huán)中,令則不是的素理想,也不是的極大理想.既是的素理想也是的極大理想.定義2設(shè)是的一個(gè)理想且,如果除了和以外,再也沒有能包含的其欲判斷理想是極大理想的一般有二步:

(即但)一般當(dāng)證,

1)驗(yàn)證2)設(shè)且,則

定理2

整數(shù)環(huán)的理想是的極大理想,當(dāng)且是由素?cái)?shù)生成的理想.

僅當(dāng)證設(shè)是素?cái)?shù),又是的一個(gè)理想,且令,則.只有欲判斷理想是極大理想的一般有二步:(即但)一般當(dāng)證,即只有或,從而是的極大理想.反之,設(shè)是的極大理想,由于的理想都是主理想,故可設(shè),且不妨設(shè)是正整數(shù).如果是合數(shù),令則的理想,但卻有這與是的極大理想矛盾.故必為素?cái)?shù).即只有或,從而是的極大理想.反之,設(shè)是的極大理想,由于的理想定理3

設(shè)是環(huán)的一個(gè)理想,則是極大理想是單環(huán).

證用表示到的自然同態(tài).設(shè)是的一個(gè)極大理想,而為的任一非零理想,則由上節(jié)知,在之下的逆象是的一個(gè)理想.由于,而的逆象為,故.又因,故,即.但是的極大理想,故即只有平凡理想.定理3設(shè)是環(huán)的一個(gè)理想,則是極大理想是單環(huán).證用表反之,設(shè).但由于是單環(huán),是單環(huán),故,又因,故,則,從而有是的一個(gè)理想,且則任取于是使.因此,即是的極大理想.反之,設(shè).但由于是單環(huán),是單環(huán),故,又因,故,則,從而有是的定理4

設(shè)環(huán)是一個(gè)單環(huán),則當(dāng)有單位元且是一個(gè)域.

可換時(shí),證在中任取,則.但是單環(huán),只有平凡理想,故.于是單位元.但對(duì)有單位元可換環(huán)來說,中元素都可表為于是,其中.即中每個(gè)非零元都有逆元,從而是一個(gè)域.定理4設(shè)環(huán)是一個(gè)單環(huán),則當(dāng)有單位元且是一個(gè)域.可換時(shí),證推論1

設(shè)是一個(gè)有單位元的交換環(huán),是的一個(gè)理想.則是域的充分必要條件是:是的一個(gè)極大理想.

環(huán)證設(shè)是域,而域是單環(huán),于是由定理3知,是的一個(gè)極大理想.是的一個(gè)極大理想,由定理3,反之,設(shè)是單環(huán).又因環(huán)有單位元且可換,從而也有單位元且可換,故由定理4,是一個(gè)域.推論1設(shè)是一個(gè)有單位元的交換環(huán),是的一個(gè)理想.則是域的充分推論2

有單位元交換環(huán)的極大理想必為素理想.例6由素?cái)?shù)生成的理想是整數(shù)環(huán)而的極大理想,有單位元且可換,故由定理2知,即域.是一推論2有單位元交換環(huán)的極大理想必為素理想.例6由素?cái)?shù)生謝謝騎封篙尊慈榷灶琴村店矣墾桂乖新壓胚奠倘擅寞僥蝕麗鑒晰溶廷籮侶郎蟲林森-消化系統(tǒng)疾病的癥狀體征與檢查林森-消化系統(tǒng)疾病的癥狀體征與檢查謝謝騎封篙尊慈榷灶琴村店矣墾桂乖新壓胚奠倘擅寞僥蝕麗鑒晰溶廷108騎封篙尊慈榷灶琴村店矣墾桂乖新壓胚奠倘擅寞僥蝕麗鑒晰溶廷籮侶郎蟲林森-消化系統(tǒng)疾病的癥狀體征與檢查林森-消化系統(tǒng)疾病的癥狀體征與檢查騎封篙尊慈榷灶琴村店矣墾桂乖新壓胚奠倘擅寞僥蝕麗鑒晰溶廷籮侶109第五節(jié)模n剩余類環(huán)第六節(jié)理想第七節(jié)商環(huán)與環(huán)同態(tài)基本定理第八節(jié)素理想和極大理想第四章環(huán)與域第五節(jié)模n剩余類環(huán)第四章環(huán)與域第一節(jié)環(huán)的定義★環(huán)的基本概念★環(huán)的基本性質(zhì)★子環(huán)的定義及其判定★矩陣環(huán)和循環(huán)環(huán)第一節(jié)環(huán)的定義★環(huán)的基本概念定義1

設(shè)非空集合叫做加法并用加號(hào)+表示,另一個(gè)叫做乘法并用乘號(hào)具有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,

一個(gè)表示.如果1)作成一個(gè)加群;2)作成一個(gè)半群;3)乘法對(duì)加法滿足左右分配律:一環(huán)的基本概念定義1設(shè)非空集合叫做加法并用加號(hào)+表示,另一個(gè)叫做乘法并用

則稱可以記這個(gè)環(huán)為.

是一個(gè)環(huán),在不產(chǎn)生混淆的前提下,

定義2

如果環(huán)的乘法滿足交換律,即對(duì)中任意元素都有,則稱為交換環(huán)(可為非交換環(huán)(非可換環(huán)).

換環(huán)).否則稱則稱可以記這個(gè)環(huán)為.是一個(gè)環(huán),在不產(chǎn)生混淆的前提下,例①中設(shè)為整數(shù)集,“+”和“·”為中通常的整數(shù)加法和乘法.易知習(xí)慣上稱它為整數(shù)環(huán),記為.

是一個(gè)環(huán).同理還有有理數(shù)環(huán),實(shí)數(shù)環(huán),復(fù)數(shù)環(huán).上述的四個(gè)環(huán)都是由數(shù)組成.故稱為數(shù)環(huán).②偶數(shù)集,對(duì)于整數(shù)通常的加法和乘法也是一個(gè)環(huán).

例①中設(shè)為整數(shù)集,“+”和“·”為中通常的整數(shù)加法和乘法例1設(shè)是一個(gè)加群，再對(duì)中任意元素規(guī)定,則顯然作成一個(gè)環(huán).這種環(huán)稱為零乘環(huán).例2設(shè)為整數(shù)集.則對(duì)以下二運(yùn)算作成環(huán):證容易驗(yàn)算對(duì)作成一個(gè)加群,1是零元,是元素的負(fù)元.

此外,對(duì)乘法顯然滿足交換律,且易驗(yàn)證也滿足結(jié)合律.下面僅證乘法對(duì)加法也滿足分配律:例1設(shè)是一個(gè)加群，再對(duì)中任意元素規(guī)定,則顯然作成一個(gè)環(huán).這因?yàn)楣?因此,對(duì),作成環(huán),且是一個(gè)交換環(huán).

因?yàn)楣?因此,對(duì),作成環(huán),且是一個(gè)交換環(huán).定義3

如果環(huán)中有元素,它對(duì)中每個(gè)元素都有,則稱為環(huán)的一個(gè)左單位元;如果環(huán)中有元素,它對(duì)中每個(gè)元素都有,則稱為環(huán)的一個(gè)右單位元.環(huán)中既是左單位元又是右單位元的元素,叫做的單位元.實(shí)際上,由于環(huán)對(duì)其乘法顯然作成一個(gè)半群,故的左,右單位元或單位元也是該半群的左,右單位元或單位元.定義3如果環(huán)中有元素,它對(duì)中每個(gè)元素都有,則稱為環(huán)的一個(gè)左例3證明:集合的冪集對(duì)運(yùn)算作成一個(gè)有單位元的交換環(huán).這個(gè)環(huán)稱為的冪集環(huán).證顯然,上述加法是的代數(shù)運(yùn)算且滿足交換律;又顯然空集是的零元,而的負(fù)元為身.因此,欲證

自足結(jié)合律.作成加群只剩下證該代數(shù)運(yùn)算滿先證:(＊)例3證明:集合的冪集對(duì)運(yùn)算作成一個(gè)有單位元的交換環(huán).這個(gè)環(huán)任取,則;或1)若,則或若為前者,即,則得,從而若為后者,即,則得,從而也可得上式.因此任取,則;或1)若,則或若為前者,即,則得,從而若為后者2)若,則類似推理也可得(＊).因故因此,對(duì)上述加法作成此,(＊)式總成立.同理可得一個(gè)加群.

又顯然乘法滿足結(jié)合律和交換律.至于乘法對(duì)加法的分配律,可類似于加法滿足結(jié)合律的證法知也成立.又,且顯然是此的單位元.因?qū)σ陨隙\(yùn)算作成一個(gè)有單位元的交換環(huán).2)若,則類似推理也可得(＊).因故因此,對(duì)上述加法作成此,二環(huán)的基本性質(zhì)設(shè)R是一個(gè)環(huán),那么有如下性質(zhì):性質(zhì)1:且;

;

性質(zhì)2:性質(zhì)3:性質(zhì)4:性質(zhì)5:;

;

;

二環(huán)的基本性質(zhì)設(shè)R是一個(gè)環(huán),那么有如下性質(zhì):性質(zhì)1:性質(zhì)6:;

性質(zhì)7:性質(zhì)8:

;

.

性質(zhì)6:;性質(zhì)7:性質(zhì)8:;.三子環(huán)的定義及其判定定義4

設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集.如果對(duì)的加法與乘法也作成一個(gè)環(huán),則稱是的一個(gè)子.

環(huán),記為例4設(shè)為任意集合.則(包括空集)作成冪集環(huán)的一個(gè)子環(huán).

的全體有限子集三子環(huán)的定義及其判定定義4設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集.如果定理1

環(huán)的非空子集作成子環(huán)的充要條件是:.

設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán),應(yīng)注意,當(dāng)有單位元時(shí),不一定有;當(dāng)有單位元時(shí),不一定有;即使二者都有單位元,此二單位元也未必相同.定理1環(huán)的非空子集作成子環(huán)的充要條件是:.設(shè)是環(huán)的一個(gè)子例5設(shè)為任意環(huán),稱為環(huán)上的一個(gè)矩陣.當(dāng)時(shí),稱為環(huán)上的一個(gè)n階方陣.

四矩陣環(huán)和循環(huán)環(huán)例5設(shè)為任意環(huán),稱為環(huán)上的一個(gè)矩陣.當(dāng)時(shí),稱為環(huán)上的結(jié)論:環(huán)上的全體階方陣關(guān)于方陣的加法表示,并稱為環(huán)上的階全陣環(huán).

與乘法作成一個(gè)環(huán).這個(gè)環(huán)用定理2

設(shè)是一個(gè)有單位元的交換環(huán).則上n階全陣環(huán)的方陣在中可逆的充要條的行列式在中可逆.

件是:結(jié)論:環(huán)上的全體階方陣關(guān)于方陣的加法表示,并稱為環(huán)上的階全陣一個(gè)環(huán)關(guān)于其加法作成一個(gè)加群,用表示,稱其為環(huán)的加群.如果加群是一個(gè)循環(huán)群,則稱環(huán)是一個(gè)循環(huán)環(huán).

例如:整數(shù)環(huán)是一個(gè)無限循環(huán)環(huán).顯然循環(huán)環(huán)必是交換環(huán),且循環(huán)環(huán)的子環(huán)也是循環(huán)環(huán),但是循環(huán)環(huán)不一定有單位元.定理3

階環(huán)必為循環(huán)環(huán)(是兩個(gè)互異

素?cái)?shù)).

一個(gè)環(huán)關(guān)于其加法作成一個(gè)加群,用表示,稱其為環(huán)的加群.如果加第二節(jié)環(huán)的零因子和特征★零因子的定義及其性質(zhì)★環(huán)的特征及其性質(zhì)第二節(jié)環(huán)的零因子和特征★零因子的定義及其性質(zhì)定義1

設(shè)是環(huán)的一個(gè)元素,如果在中存在元素,使,則稱是的一個(gè)左零因子.

同理可定義右零因子.左或右零因子統(tǒng)稱為零因子.

一零因子的定義及其性質(zhì)不是左零因子也不是右零因子的元素,叫正則元.定義1設(shè)是環(huán)的一個(gè)元素,如果在中存在元素,使,則稱是的一注1)中左零因子和右零因子這兩個(gè)概念是有右零因子.

彼此依賴,彼此依托—“共存亡”:有左零因子2)若是的左零因子,一般未必同時(shí)是的右零因子.

由上可知,欲說明是左零因子,則只需證明存在,使.欲說明不是左零因子,只需證明任一個(gè),都有(或一旦).

注1)中左零因子和右零因子這兩個(gè)概念是有右零因子.彼此例1設(shè)為由一切形如的方陣作成的環(huán),則是的一個(gè)左零因子,因?yàn)橛械皇堑挠伊阋蜃?因?yàn)?若,只有例1設(shè)為由一切形如的方陣作成的環(huán),則是的一個(gè)左零因子,因?yàn)槔?數(shù)域上二階全陣環(huán)中,上二階全陣環(huán)中,既是左零因子又是右零因子,因?yàn)橛袛?shù)環(huán)以及數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán),都無零因子.例2數(shù)域上二階全陣環(huán)中,上二階全陣環(huán)中,既是左零因子又是右定理1

在環(huán)中,當(dāng)不是左零因子時(shí),則不是右零因子時(shí),則.

;當(dāng)證由,得.由于且不是左零因子,故同理可證另一結(jié)論.定理1在環(huán)中,當(dāng)不是左零因子時(shí),則不是右零因子時(shí),則.推論當(dāng)環(huán)無左(或右)零因子時(shí),則消去律中有一個(gè)消去律成立,則中無左成立;反之,若及右零因子,且另一個(gè)消去律也成立.

定義2

無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán).對(duì)環(huán)中任意元素有,左消去律成立;,右消去律成立.推論當(dāng)環(huán)無左(或右)零因子時(shí),則消去律中有一個(gè)消去律成立,定義3

若(任意)環(huán)的元素(對(duì)加法)有最大階,則稱的特征(或特征數(shù)).用表示環(huán)的特征.

二環(huán)的特征及其性質(zhì)若環(huán)的元素(對(duì)加法)無最大階,則稱為無限(或零).的特征有限環(huán)的特征必有限.一階環(huán)的特征為1.在數(shù)環(huán)中,除去外,其特征均無限.為環(huán)定義3若(任意)環(huán)的元素(對(duì)加法)有最大階,則稱的特征(或定理2

設(shè)是一個(gè)環(huán).令是空集時(shí)的特征無限;當(dāng)非空時(shí),中最小的正整數(shù)就是環(huán)的特征.

,則當(dāng)證若為空集,則說明中元素的階沒有是中一個(gè)最大階元,且

最大的.因若不然,設(shè)階為.由于對(duì)加法是交換群,則由第二章§2中任何元素的階都是的因數(shù),從而定理5知,定理2設(shè)是一個(gè)環(huán).令是空集時(shí)的特征無限;當(dāng)非空時(shí),中最小的中任何元素都有

對(duì)于是.這與是空集矛盾.

若非空,且是中的最小正整數(shù),則中每個(gè)元素的階都有限且是的因數(shù),故最大階元.由上知,這個(gè)最大階就是,因此有中任何元素都有對(duì)于是.這與是空集矛盾.若非空,且是中的最定理3

設(shè)是一個(gè)無零因子環(huán),且.則中所有非零元素(對(duì)加法)的階均相同;的特征有限,則必為素?cái)?shù).

1)2)若證1)若已對(duì);若中每個(gè)非零元素的階都無限,定理中有某個(gè)元素的階為,則在中,有任取但,零因子,故又無定理3設(shè)是一個(gè)無零因子環(huán),且.則中所有非零元素(對(duì)加法)的設(shè),則故從而.因此,即中每個(gè)非零元素的階都是2)設(shè),且則在中任取中每個(gè)非零元素的階都是故

,由于

但是這與是無零因子環(huán)矛盾,故必是素?cái)?shù).

設(shè),則故從而.因此,即中每個(gè)非零元素的階都是2)設(shè),且則在中定理4

若環(huán)有單位元,則單位元在加群中的階就是的特征.

證若單位元1在中的階無限,則的特征當(dāng)然無限;若1的階是正整數(shù),則在中任取有.即是中非零元素的最大階,亦即定理4若環(huán)有單位元,則單位元在加群中的階就是的特征.證定理5

若環(huán)是交換環(huán),特征是素?cái)?shù),則對(duì)中任意元素有.

證因?yàn)閷⒄归_后除去項(xiàng)外,其余各項(xiàng)的系數(shù)都是的倍數(shù),而是的特征,其余項(xiàng)都是零,結(jié)論得證.定理5若環(huán)是交換環(huán),特征是素?cái)?shù),則對(duì)中任意元素有.證因定義4

設(shè)是一個(gè)階大于1且特征是素?cái)?shù)的環(huán),如果對(duì)中任意元素都有,則稱是一個(gè)環(huán).定理6

環(huán)是交換環(huán).

定義5

設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集.如果中元素中任何元素,即對(duì)都有,則稱是的一個(gè)左零化子,并簡(jiǎn)記為.

右零化子可類似定義.左或右零化子統(tǒng)稱為零化子.使定義4設(shè)是一個(gè)階大于1且特征是素?cái)?shù)的環(huán),如果對(duì)中任意元素都第三節(jié)除環(huán)和域★除環(huán)與域的概念與性質(zhì)★子除環(huán)與子域的判定第三節(jié)除環(huán)和域★除環(huán)與域的概念與性質(zhì)定義1

設(shè)是一個(gè)環(huán),如果,又有單位元且每個(gè)非零元素都有逆元,則稱是一除環(huán)與域的概念與性質(zhì)一個(gè)除環(huán).

可換的除環(huán)稱為域.定理1

除環(huán)和域都沒有零因子.注:除環(huán)和域的特征只能是素?cái)?shù)或無限.定義1設(shè)是一個(gè)環(huán),如果,又有單位元且每個(gè)非零元素都有逆元例1令,并稱中的元素為四元數(shù).另規(guī)定系數(shù)為零的項(xiàng)可以略去不寫,且

于是由第二章§1例4知,對(duì)所規(guī)定的乘法作成一的乘法現(xiàn)在再規(guī)定：

個(gè)群,即四元數(shù)群.根據(jù)1)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等;2)例1令,并稱中的元素為四元數(shù).另規(guī)定系數(shù)為零的項(xiàng)可以略去不3)法帶入相應(yīng)元素,即兩個(gè)四元數(shù)相乘可按通常分配律先展開,再合并各項(xiàng)中的實(shí)系數(shù),最后根據(jù)四元數(shù)群的乘因此,任意兩個(gè)四元數(shù)的和與積仍是一個(gè)四元數(shù).3)法帶入相應(yīng)元素,即兩個(gè)四元數(shù)相乘可按通常分配律先展開,對(duì)以上規(guī)定的加法和乘法,可以驗(yàn)算作成一個(gè)環(huán),1是它的單位元.又因?yàn)楣十?dāng)時(shí)有逆元,且因此,作成一個(gè)除環(huán),通常稱為四元數(shù)除環(huán).對(duì)以上規(guī)定的加法和乘法,可以驗(yàn)算作成一個(gè)環(huán),1是它的單位元.必有單位元,且每個(gè)非零又非零因子的元素都是定理2

有限環(huán)若有非零元素不是零因子,則可逆元.證設(shè)是有限環(huán)的任意非零因子元素,則中必有相等的.不妨設(shè)于是有.但且不是零因子,故從而對(duì)任意,有必有單位元,且每個(gè)非零又非零因子的元素都是定理2有限環(huán)若有于是同理有.即是環(huán)可知,是的可逆元.

的單位元.再由推論階大于1的有限環(huán)則必為除環(huán).若無零因子,于是同理有.即是環(huán)可知,是的可逆元.的單位元.再由推論階定理3

設(shè)是環(huán)且,則是除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)中任意元素,方程在中有解.

證必要性顯然,下證充分性.在中任取,,由條件可設(shè)

于是從而,即無零因子.

又因?yàn)榉匠淘谥杏薪?設(shè)為.則有

但又無零因子,故

從而定理3設(shè)是環(huán)且,則是除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)中任意元素,方程在中有解是環(huán)的全體非零元素的右單位元.再由于方程在中有解且此解顯然不是零元素,即每個(gè)的乘法作成一個(gè)群,而這個(gè)群的單位元就是的單位元,從而是除環(huán).非零元素都有右逆元.因此,的全體非零元素對(duì)是環(huán)的全體非零元素的右單位元.再由于方程在中有解且此解顯然不二子除環(huán)與子域的判定定義2

設(shè)是域(除環(huán))的一個(gè)子集,且.如果對(duì)的兩個(gè)運(yùn)算也作成一個(gè)域(除是的一個(gè)子域(子除環(huán)).

環(huán)),則稱定理4

設(shè)是域的一個(gè)子集,且則作成的一個(gè)子域當(dāng)且僅當(dāng)

.簡(jiǎn)言之,即對(duì)“減法與除法”封閉.二子除環(huán)與子域的判定定義2設(shè)是域(除環(huán))的一個(gè)子集,且定義3

設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),則的可逆的單位;的全體可逆元(單位)作成的的乘群或單位群,并用或表示.

元也稱為群,稱為例2證明:作成一個(gè)有單位.

元的整環(huán)(這個(gè)環(huán)稱為Gauss整環(huán)),并且其單位群是定義3設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),則的可逆的單位;的全體可逆元(證作成有單位元的整環(huán)顯然.又易知均為其單位.下證:沒有別的單位.設(shè)是的任一單位,則有使從而于是或則只能是及因此,和是環(huán)的全部單位.故證作成有單位元的整環(huán)顯然.又易知均為其單位.下證:沒有別的單第四節(jié)環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)第四節(jié)環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)如果是滿射(單射、雙射),則稱滿射(環(huán)同態(tài)單射,環(huán)同構(gòu)).特別是環(huán)同態(tài)滿射與同態(tài),記為～.

為環(huán)同態(tài)時(shí),則稱定義設(shè)與是兩個(gè)環(huán).如果有一個(gè)到滿足,,則稱是環(huán)到的一個(gè)同態(tài)映射.

映射的如果是滿射(單射、雙射),則稱滿射(環(huán)同態(tài)單射,環(huán)同構(gòu)).定理1

設(shè)與是各有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的集合,.則當(dāng)是環(huán)時(shí),也是一個(gè)環(huán).

且定理2

設(shè)與是兩個(gè)環(huán),且.則元的象是的零元,的元素的負(fù)元的象是象的負(fù)元;當(dāng)是交換環(huán)時(shí),也是交換環(huán);當(dāng)單位元時(shí),也有,并且單位元的象是單位元.的零的有定理1設(shè)與是各有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的集合,.則當(dāng)是環(huán)時(shí),也是一個(gè)例1設(shè)是整數(shù)環(huán),為4階循環(huán)環(huán),即其中在加群中的階為4(從而其特征為4),且.則易知映射是環(huán)到環(huán)的一個(gè)同態(tài)滿射.在這里,整數(shù)環(huán)沒有零因子,但是循環(huán)環(huán)卻有零因子,因?yàn)樵谥?即是環(huán)的零因子.例1設(shè)是整數(shù)環(huán),為4階循環(huán)環(huán),即其中在加群中的階為4(從而例2設(shè)是整數(shù)環(huán),又可以驗(yàn)算是環(huán)到的一個(gè)同態(tài)滿射.又因?yàn)樽鞒梢粋€(gè)環(huán),且易知對(duì)運(yùn)算即環(huán)有零因子,但它的同態(tài)象卻沒有零因子.例2設(shè)是整數(shù)環(huán),又可以驗(yàn)算是環(huán)到的一個(gè)同態(tài)滿射.又因?yàn)樽鞒啥ɡ?

設(shè)與是兩個(gè)環(huán),且.則環(huán)(除環(huán)、域)當(dāng)且僅當(dāng)是整環(huán)(除環(huán)、域).

是整例3設(shè)是域上的階全陣環(huán).任取如果矩陣的加法不變,但乘法改為證明:1)上全體階方陣對(duì)此二運(yùn)算作成環(huán),此環(huán)記為2)當(dāng)且僅當(dāng)為滿秩方陣.定理3設(shè)與是兩個(gè)環(huán),且.則環(huán)(除環(huán)、域)當(dāng)且僅當(dāng)是整環(huán)(除證易驗(yàn)算作成環(huán);又當(dāng)為滿秩方陣時(shí),易知是環(huán)到的一個(gè)同構(gòu)映射,故反之,設(shè)而為降秩方陣且設(shè)則由高等代數(shù)知,存在秩為的階方陣使于是對(duì)任意都有從而環(huán)沒有單位元.這與相矛盾.因此,必為滿秩方陣.證易驗(yàn)算作成環(huán);又當(dāng)為滿秩方陣時(shí),易知是環(huán)到的一個(gè)同構(gòu)映射

定理4(挖補(bǔ)定理)設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán),且與環(huán)同構(gòu),即.又若,即同在里的余集無公共元素,則存在環(huán)使.

證令,且在同構(gòu)之下,的象是;又在中余集的元素用表示.于是定理4(挖補(bǔ)定理)設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán),且與環(huán)同構(gòu),即.又若現(xiàn)在作一個(gè)新的集合并規(guī)定到的一個(gè)映射:則顯然這是到的一個(gè)雙射.再在集合中規(guī)定二運(yùn)算:其中為中任意元素,且為現(xiàn)在作一個(gè)新的集合并規(guī)定到的一個(gè)映射:則顯然這是到的一個(gè)雙射在之下的逆象.易知此二運(yùn)算是的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且是與的一個(gè)同構(gòu)映射.因此,也是環(huán)且.特別,保持原同構(gòu)以及環(huán)的原來的運(yùn)算,因此.從而例4設(shè)是例2中所給出的環(huán),又令則顯然在之下.又,因此由定理4知且在之下的逆象.易知此二運(yùn)算是的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且是與的一個(gè)同第五節(jié)模n剩余類環(huán)第五節(jié)模n剩余類環(huán)復(fù)習(xí)回顧:在第二章里,我們?cè)懻撃５氖Ｓ囝惣尤?下面給出同余類的加法和乘法,使作成一個(gè)環(huán).,規(guī)定可以驗(yàn)證關(guān)于上述兩個(gè)運(yùn)算作成一個(gè)環(huán).稱其為以為模的剩余類環(huán),或簡(jiǎn)稱模剩余類環(huán).復(fù)習(xí)回顧:在第二章里,我們?cè)懻撃５氖Ｓ囝惣尤?下面給出同余中非零元如果與互素,則為可逆互素,則為零因子.

定理1元;如果不與證設(shè),且,則存在整數(shù)使于是即是的逆元.又當(dāng)時(shí),令是且即此時(shí)子.的一個(gè)零因中非零元如果與互素,則為可逆互素,則為零因子.定理1元;如定理2

如果是素?cái)?shù),則環(huán)是一個(gè)域,如果是合數(shù),則環(huán)有零因子,從而不是域.

證因?yàn)榈乃蟹橇阍囟纪ニ?于是由定理1知,每個(gè)非零元素都有逆元,故是一個(gè)域.當(dāng)是合數(shù)時(shí),設(shè)則且故有零因子,從而不是域.定理2如果是素?cái)?shù),則環(huán)是一個(gè)域,如果是合數(shù),則環(huán)有零因子例1是域.又由于故

的逆元是自身,而與

互為逆元.例2是環(huán)不是域.又由于故

是的可逆元,但的零因子.是例1是域.又由于故的逆元是自身,而與互為逆元.例2定理3

設(shè)是兩個(gè)正整數(shù),則證令,并設(shè)且為其一同態(tài)滿射,則在之下單位元的象是單位元,即

,從而對(duì)任意整數(shù)有

特別有.由于有,故反之設(shè),則易知上面的對(duì)應(yīng)是剩余類環(huán)到的一個(gè)滿射,而且是一個(gè)滿同態(tài),故定理3設(shè)是兩個(gè)正整數(shù),則證令,并設(shè)且為其一同態(tài)滿射,則在定理4

除去零乘環(huán)外,在同構(gòu)意義下,循環(huán)環(huán)有而且只有整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán).證整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán)都循環(huán)環(huán).是循環(huán)環(huán),這是顯然的.下證在同構(gòu)意義下只有這些設(shè)為任意循環(huán)環(huán)且不是零乘環(huán).則.如果在加群無限,則易知

中的階(為任意整數(shù))

定理4除去零乘環(huán)外,在同構(gòu)意義下,循環(huán)環(huán)有而且只有整數(shù)環(huán)是循環(huán)環(huán)到整數(shù)環(huán)的子環(huán)的一個(gè)同構(gòu)映射,因此.

在加群中的階有限,而且是以上的對(duì)應(yīng)法則是階循環(huán)環(huán)到模剩余類環(huán)的子環(huán)如果此時(shí)則.且易知的一個(gè)同構(gòu)映射.因此.這就是說,階循環(huán)環(huán)可同構(gòu)嵌入到模剩余類環(huán)中.即在同構(gòu)意義下是的子環(huán).

是循環(huán)環(huán)到整數(shù)環(huán)的子環(huán)的一個(gè)同構(gòu)映射,因此.在加群中的階有例3的子環(huán)與的子環(huán)都是3階循環(huán)環(huán),但它們不同構(gòu).

的加群都是3階循環(huán)群,當(dāng)然同構(gòu).之下必有

但作為環(huán)它們不同構(gòu):因若不然,設(shè)有同構(gòu)證,則與在或從而均有,矛盾.

例3的子環(huán)與的子環(huán)都是3階循環(huán)環(huán),但它們不同構(gòu).的加群都第六節(jié)理想★理想的概念及其性質(zhì)★主理想第六節(jié)理想★理想的概念及其性質(zhì)一理想的概念及其性質(zhì)定義1

設(shè)是環(huán)的一個(gè)子加群,即對(duì)的一個(gè)左理想;,則稱是的一個(gè)既是環(huán)的左理想又是右理想,則稱的一個(gè)雙邊理想,或簡(jiǎn)稱為理想,并用符號(hào)表示.否則記為是任意元素,差仍屬于.如果又有,則稱如果中右理想;如果是.一理想的概念及其性質(zhì)定義1設(shè)是環(huán)的一個(gè)子加群,即對(duì)的一例1令為域上的2階全陣環(huán),并設(shè)

則易知是環(huán)的一個(gè)左理想(但不是雙邊理想),是的一個(gè)右理想(也不是雙邊理想).

而另外易知又是環(huán)的一個(gè)雙邊理想,但它卻不是全陣環(huán)的左理想也不是右理想.

例1令為域上的2階全陣環(huán),并設(shè)則易知是環(huán)的一個(gè)左理想(但例2令是多項(xiàng)式環(huán)為零的全體多項(xiàng)式作成的集合,則易知是個(gè)理想.

是一個(gè)域,中常數(shù)項(xiàng)的一例3令為任一域,又令

例2令是多項(xiàng)式環(huán)為零的全體多項(xiàng)式作成的集合,則易知是個(gè)理想則易知,但是.因此,同正規(guī)子群情況\類似,理想的理想不一定是原環(huán)的理想,亦即理想也不具有傳遞性.

對(duì)任意環(huán),如果,則至少有兩個(gè)理想:,稱之為的平凡理想.其它的理想如果還有的話就稱為真理想.

則易知,但是.因此,同正規(guī)子群情況\類似,理想的理想不一定是是循環(huán)環(huán)的是的一個(gè)子加群(子環(huán)).

一個(gè)理想,當(dāng)且僅當(dāng)定理1定義2

只有平凡理想的非零環(huán)稱為單環(huán).證理想當(dāng)然是子加群.反之,設(shè)是循環(huán)環(huán)的一個(gè)子加群,則對(duì)任意,令

其中為整數(shù).則

又因循環(huán)環(huán)是可換環(huán),故是循環(huán)環(huán)的是的一個(gè)子加群(子環(huán)).一個(gè)理想,當(dāng)且僅當(dāng)定理1定理2

除環(huán)和域只有平凡理想,即它們是單環(huán).證設(shè)是除環(huán)的任意一個(gè)理想.如果,在中任取,則,于是從而對(duì)中任意元素,有故.即只有平凡理想,因此是單環(huán).

定理2除環(huán)和域只有平凡理想,即它們是單環(huán).證設(shè)是除環(huán)的定理3

設(shè)是一個(gè)階大于1的環(huán),并且除平凡理有單位元時(shí),為除無單位元時(shí),是素階零乘環(huán).

想外無其它左或右理想.則當(dāng)環(huán);當(dāng)證設(shè)除和外無其他左理想.在元素,則顯然

中任取是的一個(gè)左理想.有單位元時(shí),,從而.于是當(dāng).這表明方程在除環(huán).

中有解,因此是定理3設(shè)是一個(gè)階大于1的環(huán),并且除平凡理有單位元時(shí),為除無無單位元時(shí),則由§3定理3知:總存在元素.于是,而且是環(huán)的一個(gè)左理想,也是一個(gè)循環(huán)零乘環(huán).故再由假設(shè)可知,只能是一個(gè)素階零乘環(huán).

當(dāng)使當(dāng)除和外無其他右理想時(shí),同理可證.

無單位元時(shí),則由§3定理3知:總存在元素.于是,而且是環(huán)的一推論1

階大于1的可換單環(huán)必為域或素階零乘環(huán).定理4

設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),,則存在惟一的使證令為由中一切階方陣的所有元素作成的集合.

下證:

用表示元素是1而其余元素全階方陣.則易知

是0的(1)推論1階大于1的可換單環(huán)必為域或素階零乘環(huán).定理4設(shè)是一而且上每個(gè)階方陣都可由這個(gè)方陣線性,則在中存在方陣使從而根據(jù)(1)和(2)以及可得

表示.任取(2)因此

再任取,則由于而,故

而且上每個(gè)階方陣都可由這個(gè)方陣線性,則在中存在方陣使從而根據(jù)從而.因此,并且反之,任取,并令

再任意取定,則在中有方陣于是,由于,故.

從而由(3).于是可知設(shè)另有使.則對(duì)任意有.于是,從而理有.因此同(3)從而.因此,并且反之,任取,并令再任意取定,則在中有方陣于推論2

設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),且.則是單環(huán)全陣環(huán)是單環(huán).證若是單環(huán),則由定理4直接可知,是單是單環(huán)且,則由矩陣乘法易知:環(huán).反之,設(shè)從而只有或.于是由定或.即是單環(huán).

惟一性可知理4中的推論2設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),且.則是單環(huán)全陣環(huán)是單環(huán).證定理5

設(shè)是一個(gè)階大于1的整環(huán).如果只有有限個(gè)理想,則必為域.證在中任取元素,由§3定理3知,在中有解即可.但由于整環(huán)只有有限個(gè)理想,故必有正整數(shù)與滿足只需證明方程易知從而由(4)知,在中有使

元素或即方程在中有解

(4)定理5設(shè)是一個(gè)階大于1的整環(huán).如果只有有限個(gè)理想,則必為域二主理想設(shè)是一個(gè)環(huán),任取.易證是中包含的理想中最的由生成的主理想.

,令,則小的一個(gè),稱為結(jié)論:①當(dāng)環(huán)可交換時(shí)(或者生成元在的中心內(nèi)時(shí)),

;②當(dāng)環(huán)中有單位元時(shí),二主理想設(shè)是一個(gè)環(huán),任取.易證是中包含的理想中最的由生成的;③當(dāng)有單位元且可交換(或有單位元在中心時(shí)).

,

定義3

設(shè)為環(huán)的的和.

并稱其為子集個(gè)子集,令;③當(dāng)有單位元且可交換(或有單位元在中心時(shí)).,定義3定理6

若是環(huán)的也是環(huán)的一個(gè)(子環(huán))理想.個(gè)(子環(huán))理想,則證對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時(shí)定理顯然成立.當(dāng)時(shí),作成的子