信號(hào)與線性系統(tǒng)分析-第二章課件

2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一.微分方程的經(jīng)典解法n階常系數(shù)線性微分方程微分方程的全解由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成

y(t)=yh(t)+yp(t)

齊次解齊次解由齊次微分方程求得

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=012.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一.微分方程的經(jīng)典解法微分方程的

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=0齊次解是形如Cet函數(shù)的線性組合。將Cet代入上式并整理后可得n+an?1n?1+…+a0=0上式稱為微分方程的特征方程，其n個(gè)根稱為微分方程的特征根。yh(t)的函數(shù)形式完全由n個(gè)特征根i(i=1,2,…n)決定。i可為單根或重根。i可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，微分方程為實(shí)常系數(shù)時(shí)，總是以共軛復(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)。2y(n)(t)+an?1若齊次方程的n個(gè)特征根均為實(shí)單根，則其齊次解

et[Ccos(t)+Dsin(t)]

或Aetcos(t+)單共軛復(fù)根1,2=j

(Cr?1tr?1+Cr?2tr?2+…+C0)etr重實(shí)根

Cet單實(shí)根齊次解yh(t)特征根r重共軛復(fù)根3若齊次方程的n個(gè)特征根均為實(shí)單根，則其齊次解

特解特解的函數(shù)形式與f(t)的形式有關(guān)，以及f(t)與特征根的形式是否相同有關(guān)。

Pcos(t)+Qsin(t)

或Aetcos(t+)cost或sint

Pet(i)

或et[Prtr+Pr?1tr?1+…+P0]et

Pmtm+Pm?1tm?1+…+P0(i0)

或tr[Pmtm+Pm?1tm?1+…+P0]tm特解yp(t)f(t)4特解Pcos(t)+Qsin(t)

f(t)為常數(shù)1時(shí)，則特解為b0/a0。考察函數(shù)f(t)在t0時(shí)作用，則全解的定義域[0，)。全解由齊次解和特解組成，待定常數(shù)由初始條件y(0)、y(1)(0)、…、y(n?1)(0)確定。例：微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：當(dāng)f(t)=2e?t，t0；y(0)=2，y'(0)=?1時(shí)的全解。解：特征方程為 2+5+6=(+2)(+3)=0特征根為?2、?3，微分方程的齊次解

yh(t)=C1e?2t+C2e?3t當(dāng)f(t)=2e?t(t0)時(shí)，特解為yp(t)=Pe?t5f(t)為常數(shù)1時(shí)，則特解為b0/a0。5將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程得

Pe?t+5(?Pe?t)+6Pe?t=2e?t所以P=1，則特解為 yp(t)=Pe?t=e?t微分方程的全解

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e?2t+C2e?3t+e?t其一階導(dǎo)數(shù)為

y'(t)=?2C1e?2t?3C2e?3t?e?t令t=0，并代入初始值y(0)=2、y'(0)=?1得

y(0)=C1+C2+1=2 y'(0)=?2C1?3C2?1=?1解得C1=3、C2=?2，由此得

y(t)=3e?2t?2e?3t+e?tt06將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分線性常系數(shù)微分方程求解過(guò)程：n階線性常系數(shù)微分方程求特征根得齊次解yh(t)得微分方程解得特解yp(t)確定yp(t)的形式求待定系數(shù)P、Q得全解式，根據(jù)初始值求待定系數(shù)C、D7線性常系數(shù)微分方程求解過(guò)程：n階線性常系數(shù)微分方程求特征根得例：微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：當(dāng)f(t)=e?2t，t0；y(0)=1，y'(0)=0時(shí)的全解。解：微分方程的齊次解

yh(t)=C1e?2t+C2e?3t當(dāng)f(t)=e?2t(t0)

，其特解為

yp(t)=P1te?2t+P0e?2t將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，得P1=1。則特解為 yp(t)=te?2t+P0e?2t微分方程的全解

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e?2t+C2e?3t+te?2t+P0e?2t =(C1+P0)e?2t+C2e?3t+te?2t =C'1e?2t+C2e?3t+te?2t8例：微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(其一階導(dǎo)數(shù)為

y'(t)=?2C'1e?2t?3C2e?3t+e?2t?2te?2t令t=0，并代入初始值y(0)=1、y'(0)=0得

y(0)=C'1+C2=1 y'(0)=?2C'1?3C2+1=0解得C'1=2、C2=?1，由此得

y(t)=2e?2t?e?3t+te?2tt0例：微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：當(dāng)f(t)=10cost，t0；y(0)=2，y'(0)=0時(shí)的全解。解：微分方程的齊次解yh(t)=C1e?2t+C2e?3t當(dāng)f(t)=10cost(t0)，其特解形式為

yp(t)=Pcost+Qsint9其一階導(dǎo)數(shù)為9將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，求得特解

yp(t)=cost+sint最后可得全解為

y(t)=2e?2t?e?3t+cost+sintt0若f(t)=ejt=cost+jsint，微分方程解為yp(t)，則根據(jù)線性性質(zhì)，當(dāng)f(t)=cost時(shí)，解為Re[yp(t)]。上例中，可令f(t)=10ejt，得解為

yp(t)=(1?j)ejt=cost+sint+j(sint?cost)

求微分方程也就是確定解的形式與全部待定系數(shù)。解的形式根據(jù)表2?1和表2?2確定，待定系數(shù)由初始條件求出。10將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分用算子方法求微分方程11用算子方法求微分方程11二.關(guān)于0?與0+的初始值用微分方程表達(dá)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)，則f(t)為系統(tǒng)輸入，y(t)為系統(tǒng)輸出。將時(shí)間軸分成兩段，以t=0為界，左段的右端點(diǎn)記為0?，右段的左端點(diǎn)記為0+。解微分方程時(shí)，確定解的待定系數(shù)需要一組初始條件y(j)(0+)(j=0,1,2,…,n?1)。y(j)(0?)(j=0,1,2,…,n?1)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無(wú)關(guān)，稱這些值為初始狀態(tài)。0?與0+的引入是由于系統(tǒng)輸出不連續(xù)，引起y(j)(0+)和y(j)(0?)產(chǎn)生差異。表現(xiàn)為系統(tǒng)中出現(xiàn)(t)函數(shù)。12二.關(guān)于0?與0+的初始值用微分方程表達(dá)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)，則f(例：微分方程為y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(t)+2f(t)，已知y(0?)=1，y'(0?)=?1；f(t)=(t)。求y(0+)和y'(0+)。解：將輸入f(t)代入微分方程得

y''(t)+2y'(t)+y(t)="(t)+2(t)(1)由上式可設(shè)

y(t)=a(t)+r0(t)(2)y'(t)=a'(t)+b(t)+r1(t)(3)y"(t)=a"(t)+b'(t)+c(t)+r2(t)(4)將式(2)、(3)、(4)代入式(1)，由方程左右系數(shù)相等可得到a=1，b=?2，c=5。即y(t)=(t)+r0(t)13例：微分方程為y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(

y'(t)='(t)?2(t)+r1(t)y"(t)="(t)?2'(t)+5(t)+r2(t)對(duì)y'(t)等式兩邊從0?到0+積分得 y(0+)=y(0?)?2=?1同理，對(duì)y"(t)等式兩邊從0?到0+積分得 y'(0+)=y'(0?)+5=4對(duì)比y(0?)=1，y'(0?)=?1。14y'(t)=三.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)yzi(t)：激勵(lì)f(t)=0，僅由初始條件{y(j)(0+)}(j=0,1,2,…,n?1)所引起的響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)：初始狀態(tài)y(j)(0?)=0，僅由輸入信號(hào)f(t)所引起的響應(yīng)。LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)為 y(t)=yzi(t)+yzs(t) yzi(t)為齊次方程的解，yzs(t)為非齊次方程的解。 當(dāng)特征根為單根時(shí)，用經(jīng)典解法求解分別有則全響應(yīng)為15三.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)yzi(t)：激勵(lì)f初始狀態(tài)和初始條件之間關(guān)系:全響應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)為

y(j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)(j=0,1,2,…,n?1)分別令t=0?和t=0+代入上式得

y(j)(0?)=yzi(j)(0?)+yzs(j)(0?) y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)對(duì)于因果系統(tǒng)：yzs(j)(0?)=0對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)：yzi(j)(0+)=yzi(j)(0?)因此 y(j)(0?)=yzi(j)(0?)=yzi(j)(0+) y(j)(0+)=y(j)(0?)+yzs(j)(0+)當(dāng)輸入是在t=t0時(shí)刻接入，則把式中0換為t0。16初始狀態(tài)和初始條件之間關(guān)系:16系統(tǒng)的全響應(yīng)為強(qiáng)迫響應(yīng)：由激勵(lì)信號(hào)確定的響應(yīng)形式當(dāng)輸入信號(hào)含有階躍函數(shù)或有始的周期函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)可分解為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。自由響應(yīng)：由系統(tǒng)本身的特性確定的響應(yīng)形式17系統(tǒng)的全響應(yīng)為強(qiáng)迫響應(yīng)：由激勵(lì)信號(hào)確定的響應(yīng)形式當(dāng)輸入信號(hào)含例：微分方程為y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)；初始狀態(tài)y(0?)=2，y'(0?)=1；輸入函數(shù)f(t)=(t)。求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解：(1)

零輸入響應(yīng)yzi(t)零輸入響應(yīng)滿足齊次方程

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0輸入為0，則有yzi(0+)=y(0?)=2，y'zi(0+)=y'(0?)=1。特征根為?1，?2，則零輸入響應(yīng)為

yzi(t)=Czi1e?t+Czi2e?2t代入初始值解得Czi1=5，Czi2=?3，所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 yzi(t)=5e?t?3e?2t

18例：微分方程為y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f(2)

零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t) yzs(0?)=yzs'(0?)=0t=0處，yzs"(t)含有(t)，yzs'(t)有躍變，yzs(t)應(yīng)連續(xù)。對(duì)方程兩邊從0?到0+積分得

yzs'(0+)?yzs'(0?)+3[yzs(0+)?yzs(0?)]=2所以 yzs(0+)=0，yzs'(0+)=2在t>0的區(qū)間，方程應(yīng)為

yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs(t)=6顯然有 yzs(t)=Czs1e?t+Czs2e?2t+3t019(2)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)19代入初始值可求得Czs1=?4，Czs2=1，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

yzs(t)=(?4e?t+e?2t+3)(t)可應(yīng)用LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分特性求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)：微分方程y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)先求方程yzs1''(t)+3yzs1'(t)+2yzs1(t)=f(t)初值yzs1(0?)=yzs1'(0?)=0得yzs1(t)=?e?t+0.5e?2t+0.5，則

yzs(t)=2yzs1'(t)+6yzs1(t)=(?4e?t+e?2t+3)(t)20代入初始值可求得Czs1=?4，Czs2=1，系統(tǒng)的零狀態(tài)響(3)

全響應(yīng)y(t)全響應(yīng)為y(t)=yzi(t)+yzs(t)也可直接求

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2(t)+6(t) y(0?)=2，y'(0?)=1對(duì)方程兩邊從0?到0+積分得

y'(0+)?y'(0?)+3[y(0+)?y(0?)]=2所以 y(0+)=2，y'(0+)=3方程的解為y(t)=C1e?t+C2e?2t+3t0代入初始值可求得C1=1，C2=?2，系統(tǒng)的全響應(yīng)為

y(t)=(e?t?2e?2t+3)(t)21(3)全響應(yīng)y(t)212.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

h(t)=T[{0}，(t)]

設(shè)n階微分方程為

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=f(t)

則當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

h(n)(t)+an?1h(n?1)(t)+…+a0h(t)=(t) h(j)(0?)=0，j=0，1，2，…，n?1

對(duì)方程從0?到0+積分，可得(t)h(t){y(0)}={0}LTI系統(tǒng)一.沖激響應(yīng)

222.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=

h(j)(0+)?h(j)(0?)=0，(j=0,1,2,…,n?2) h(n?1)(0+)?h(n?1)(0?)=1即 h(j)(0+)=0，(j=0,1,2,…,n?2) h(n?1)(0+)=1系統(tǒng)沖激響應(yīng)可看作在上述初始條件下方程

h(n)(t)+an?1h(n?1)(t)+…+a0h(t)=0(t>0)的零輸入響應(yīng)。將沖激輸入轉(zhuǎn)換成初始條件。如果微分方程的特征根均為單根，則其沖激響應(yīng)23 h(j)(0+)?h(j)(0?)=0，(j=例：微分方程為 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)

求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)也就是求如下微分方程的解

h"(t)+5h'(t)+6h(t)=0 h(0+)=0，h'(0+)=1齊次方程的解為h(t)=(C1e?2t+C2e?3t)(t)，代入初始條件得

h(t)=(e?2t?e?3t)(t)

一般地，微分方程為

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=bmf(m)(t)+…+b0f(t)設(shè) y1(n)(t)+an?1y1(n?1)(t)+…+a0y1(t)=f(t)令上式的沖激響應(yīng)為h1(t)，根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性24例：微分方程為 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

h(t)=bmh1(m)(t)+bm?1h1(m?1)(t)+…+b0h1(t)例：微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f"(t)+2f'(t)+3f(t)先求方程h1"(t)+5h1'(t)+6h1(t)=(t)h1(t)已求得為h1(t)=(e?2t?e?3t)(t)則系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=h1"(t)+2h1'(t)+3h1(t)=(t)+(3e?2t?6e?3t)(t)式中h1'(t)=(?2e?2t+3e?3t)(t)+(e?2t?e?3t)(t) =(?2e?2t+3e?3t)(t)對(duì)h1'(t)求導(dǎo)可得h1"(t)。25得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)25二.階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

g(t)=T[{0}，(t)]

設(shè)n階微分方程為

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=f(t)

則當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

g(n)(t)+an?1g(n?1)(t)+…+a0g(t)=(t) g(j)(0?)=0，j=0，1，2，…，n?1由于等號(hào)右端只含(t)，故除g(n)(t)外，g(t)及其直到n?1階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)，即有初始條件(t)g(t){y(0)}={0}LTI系統(tǒng)26二.階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的階躍響應(yīng)g(t)=T[{0}，

g(j)(0+)=g(j)(0?)=0，j=0，1，2，…，n?1若微分方程的特征根均為單根，則階躍響應(yīng)式中1/a0為特解。Ci由初始值確定。單位階躍函數(shù)與單位沖激函數(shù)的關(guān)系為根據(jù)LTI系統(tǒng)的微積分特性，階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系為27 g(j)(0+)=g(j)(0?)=0，j=例：求圖示系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解：可直接寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=?f'(t)+2f(t)先求方程g1"(t)+3g1'(t)+2g1(t)=(t) g1(0+)=g1'(0+)=0解得 g1(t)=(?e?t+0.5e?2t+0.5)(t)由此得g(t)=?g1'(t)+2g1(t)=(?3e?t+2e?2t+1)(t)_∫f(t)y(t)32_++_∫228例：求圖示系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解：可直接寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程為_(kāi)=0yzi(j)(0?)yzi(j)(0+)yzs(j)(0?)yzs(j)(0+)y(j)(0?)y(j)(0+)0t(j=0,1,2,…,n?1)初值問(wèn)題yzi(j)(t)yzs(j)(t)y(j)(t)29=0yzi(j)(0?)yzi(j)(0+2.3卷積積分一.卷積積分

面積為1的函數(shù)序列pn(t)，當(dāng)趨于極限時(shí)成為單位沖激函數(shù)pn(t)0t1/nn/2幅值f(k)將任意激勵(lì)信號(hào)f(t)用脈沖序列代替，每段寬度為=2/n，其k段的幅值用f(k)表示。f(t)0tkf(t)可近似表示為302.3卷積積分一.卷積積分pn(t)0t1/nn/2幅設(shè)LTI系統(tǒng)在pn(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為hn(t)，則在激勵(lì)f(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為在0的極限情況下，求和成為積分上式的積分形式稱為卷積積分。信號(hào)與系統(tǒng)分析的基本方法：

f(t)→f()d(t?)→f()dh(t?)→yzs(t)31設(shè)LTI系統(tǒng)在pn(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為hn(t)，則在一般地，如有兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)，卷積積分定義為簡(jiǎn)記為 f(t)=f1(t)*f2(t)

卷積的存在性：若兩個(gè)函數(shù)均為有始可積函數(shù)，即若t<t1，f1(t)=0，t<t2，f2(t)=0，則兩者的卷積存在。例1：求(t)*(t)的卷積積分。解：例2：求(t)*e?t(t)的卷積積分。解：32一般地，如有兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)，卷積積分定義為簡(jiǎn)例3：求e?t(t)*e?t(t)的卷積積分。解：常用信號(hào)的卷積積分見(jiàn)附錄一。任意信號(hào)f(t)=f(t)*(t)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=h(t)*f(t)h(t)yzs(t)f(t)33例3：求e?t(t)*e?t(t)的卷積積分。常二.卷積的圖示給定信號(hào)： f1(t)=(t)?(t?3)，f2(t)=e?t(t)，求y(t)=f1(t)*f2(t)。f2(?)0f1()03f2(t)t01f1(t)t03134二.卷積的圖示f2(?)0f1()03f2(t)tf1()00<t<33f2(t?)t3f(3)tf2(t?)f(t)t0tf2(t?)f1()0t<03f1()0t>335f1()00<t<33f2(t?)t3f(3)tf2(2.4卷積積分的性質(zhì)一.卷積的代數(shù)運(yùn)算

交換律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)分配律 f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)yzs(t)f(t)h1(t)h2(t)++結(jié)合律 [f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]h1(t)h2(t)yzs(t)f(t)yzs(t)=f(t)*[h1(t)+h2(t)]=f(t)*h(t)yzs(t)=f(t)*h1(t)*h2(t)=f(t)*h(t)362.4卷積積分的性質(zhì)一.卷積的代數(shù)運(yùn)算yzs(t)f(二.函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積

根據(jù)卷積的定義推廣得f(t)*(t?t1)=(t?t1)*f(t)=f(t?t1)

(t?t1)*(t?t2)=(t?t2)*(t?t1)=(t?t1?t2) f(t?t1)*(t?t2)=f(t?t2)*(t?t1)=f(t?t1?t2)

波形的平移：f(t)t0(t?t0)t0t0f(t)*(t?t0)t0t037二.函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積根據(jù)卷積的定義推廣得f(若 f(t)=f1(t)*f2(t)則 f1(t?t1)*f2(t?t2)=f1(t?t2)*f2(t?t1)=f(t?t1?t2)證：

f1(t?t1)*f2(t?t2)=[f1(t)*(t?t1)]*[f2(t)*(t?t2)] =[f1(t)*(t?t2)]*[f2(t)*(t?t1)] =f1(t?t2)*f2(t?t1) f1(t?t1)*f2(t?t2)=[f1(t)*(t?t1)]*[f2(t)*(t?t2)] =f1(t)*f2(t)*(t?t1)*(t?t2) =f(t)*(t?t1?t2)=f(t?t1?t2)38若 f(t)=f1(t)*f2(t)38例(1)：求(t+3)*(t?5)。因?yàn)?/p>

(t)*(t)=

t(t)所以 (t+3)*(t?5)=(t+3?5)(t+3?5) =(t?2)(t?2)例(2)：求e?2t(t+3)*(t?5)。因?yàn)?9例(1)：求(t+3)*(t?5)。39定義梳狀函數(shù)為f0(t)t0f(t)t0……T(t)……t0T2T-T-2T梳狀函數(shù)與f0(t)的卷積為f0(t)*T(T)是以T為周期的周期函數(shù)。40定義梳狀函數(shù)為f0(t)t0f(t)t0……T(t)……三.卷積的微分與積分

利用卷積的交換律可得另一等式。卷積的微分若 f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)則有卷積的微分性質(zhì)

f(1)(t)=f1(1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)

證：微積分的表示41三.卷積的微分與積分利用卷積的交換律可得另一等式。卷積卷積的積分若 f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)則有卷積的積分性質(zhì)

f(?1)(t)=f1(?1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(?1)(t)

證：同理可得另一等式。42卷積的積分同理可得另一等式。42

LTI系統(tǒng)的微分和積分特性正是卷積的微分和積分特性

yzs(t)=h(t)*f(t) yzs(1)(t)=h(t)*f(1)(t) yzs(?1)(t)=h(t)*f(?1)(t)卷積的微積分所以因?yàn)?3LTI系統(tǒng)的微分和積分特性正是卷積的微分和積分特性所以因?yàn)閼?yīng)用卷積的積分性質(zhì)，則有同理可得44應(yīng)用卷積的積分性質(zhì)，則有同理可得44則有卷積的微積分卷積的微積分成立的條件：a)被求導(dǎo)的函數(shù)f1(t)（或f2(t)）在t=?處為零值；b)或被積分的函數(shù)f2(t)（或f1(t)）在(?，)區(qū)間上的積分值為零。當(dāng)f1(t)和f2(t)都為有始信號(hào)時(shí)，總是滿足條件。當(dāng)f1(t)和f2(t)滿足45則有卷積的微積分卷積的微積分成立的條件：當(dāng)f1(t)和f2(例：求卷積[1+(t)]*e?t(t)。解：直接應(yīng)用定義求應(yīng)用卷積的微積分求46例：求卷積[1+(t)]*e?t(t)。應(yīng)用卷積的微積分根據(jù)卷積的微分和積分運(yùn)算，可得杜阿密爾積分其實(shí)質(zhì)是將信號(hào)分解成一系列階躍函數(shù)之和：f(t)0tkf(k)卷積的微分和積分推廣可得

f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(i?j)(t)47根據(jù)卷積的微分和積分運(yùn)算，可得杜阿密爾積分其實(shí)質(zhì)是將信號(hào)分解LTI系統(tǒng)在激勵(lì)f(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為在0的極限情況下，可得48LTI系統(tǒng)在激勵(lì)f(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為在0的例2.4?4

：求圖示函數(shù)的卷積。0123tf1(t)21012tf2(t)-11012tf2(1)(t)-20123tf1(?1)(t)40123tf1(t)*f2(t)44549例2.4?4：求圖示函數(shù)的卷積。0123tf1(t)210例：求t(t?1)*"(t?2)。解：t(t?1)*"(t?2)=[(t?1)+(t?1)(t?1)]*"(t?2)

(t)*"(t)='(t)*'(t)=(t)*'(t)='(t) t(t)*"(t)=(t)*(t)*"(t)='(t)*'(t)*(t)=(t)t(t?1)*"(t?2)=(t?1)*"(t?2)+[(t?1)(t?1)]*"(t?2) ='(t?3)+(t?3)50例：求t(t?1)*"(t?2)。50例：LTI連續(xù)系統(tǒng)如圖所示，已知ha(t)=0.5e?4t(t)，gb(t)=(1?e?t)(t)，gc(t)=2e?3t(t)，f(t)=(t)?(t?2)，求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。y(t)f(t)ha(t)gb(t)++gc(t)解： hb(t)=g'b(t)=e?t(t)+(1?e?t)(t)=e?t(t) hc(t)=g'c(t)=?6e?3t(t)+2e?3t(t)=2(t)?6e?3t(t)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為51例：LTI連續(xù)系統(tǒng)如圖所示，已知ha(t)=0.5e?4t

h(t)=(t)*[ha(t)+hb(t)]*hc(t) =[0.5e?4t(t)+e?t(t)]*[2(t)?6e?3t(t)]系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為輸入為f(t)=(t)?(t?2)時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)

yzs(t)=g(t)?g(t?2)=(e?t?e?4t)(t)?[e?(t?2)?e?4(t?2)](t?2)52 h(t)=(t)*[ha(t)+hb(t)]*hc(t也可直接列出階躍輸入時(shí)系統(tǒng)運(yùn)算關(guān)系式

g(t)=[(t)*ha(t)+'(t)*gb(t)]'*gc(t)=ha(t)*gc(t)+gb'(t)*gc(t)=0.5e?4t(t)*2e?3t(t)+e?t(t)*2e?3t(t)=(e?3t?e?4t)(t)+(e?t?e?3t)(t)=(e?t?e?4t)(t)y(t)f(t)ha(t)gb(t)++gc(t)53也可直接列出階躍輸入時(shí)系統(tǒng)運(yùn)算關(guān)系式y(tǒng)(t)f(t)ha(t四.相關(guān)函數(shù)

為兩信號(hào)間的時(shí)間差。R12()與R21()一般不相等，但有R12()=R21(?)自相關(guān)函數(shù)定義為能量有限實(shí)信號(hào)f1(t)與f2(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為相關(guān)函數(shù)描述兩信號(hào)f1(t)與f2(t?)的相似程度。=0時(shí)稱為相關(guān)系數(shù)描述兩信號(hào)f1(t)與f2(t)的相似程度。54四.相關(guān)函數(shù)為兩信號(hào)間的時(shí)間差。R12()與R21(兩者之間的關(guān)系為

R12()=f1(t)*f2(?t)若f1(t)、f2(t)都為實(shí)偶函數(shù)，則兩者相同。例：求信號(hào)f(t)=(t)?(t?2)的自相關(guān)函數(shù)。解：按自相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)函數(shù)表示成與卷積函數(shù)比較55兩者之間的關(guān)系為相關(guān)函數(shù)表示成與卷積函數(shù)比較55上式可表示成由此可得R()=0(<?2,>2)2+02tf(t)-202tf(t)-2<?2>22+0<<2?2<<056上式可表示成由此可得R()=0由此可得R12()=0(<?2,>2)例:f1(t)=(t)?(t?2),f2(t)=t[(t)?(t?2)],求互相關(guān)函數(shù)。解：由互相關(guān)函數(shù)定義由R21()=R12(?)可得

R21()=0.52+2+2(?2<<0)R21()=2?0.52(0<<2)57由此可得R12()=0題2.15解：先求系統(tǒng)y'(t)+2y(t)=f(t)的沖激響應(yīng)h1(t)。解微分方程得h1(t)=Ce?2t(t)令t=0+代入得h1(t)=e?2t(t)由此得系統(tǒng)沖激響應(yīng)

h(t)=h1"(t)=[e?2t(t)]"='(t)?2(t)+4e?2t(t)階躍響應(yīng)為58題2.15解：先求系統(tǒng)y'(t)+2y(t)=f(t)的題2.16f1(t)t?2012f2(t)t?20(1)2(1)f1(t)*f2(t)t?4014f1(t)*f2(t)*f2(t)t?601659題2.16f1(t)t?2012f2(t)t?20(1)2題2.22解：輸入為f(t)時(shí)，響應(yīng)為輸入為(t)時(shí)，沖激響應(yīng)則為60題2.22解：輸入為f(t)時(shí)，響應(yīng)為輸入為(t)時(shí)，沖題2.29解：y(t)=f(t)*[(t)+ha(t)+ha(t)*ha(t)]*hb(t)h(t)=[(t)+(t?1)+(t?1)*(t?1)]*[(t)?(t?3)]=[(t)?(t?3)]+[(t?1)?(t?4)]+[(t?2)?(t?5)]=(t)+(t?1)+(t?2)?(t?3)?(t?4)?(t?5)y(t)f(t)ha(t)ha(t)++hb(t)ha(t)+61題2.29解：y(t)=f(t)*[(t)+ha(t)+h習(xí)題

2.2(2),(4);2.4(2),(3);2.122.17(4),(7),(10);2.19(2),(3);2.23

2.27;2.28;2.3062習(xí)題622.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一.微分方程的經(jīng)典解法n階常系數(shù)線性微分方程微分方程的全解由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成

y(t)=yh(t)+yp(t)

齊次解齊次解由齊次微分方程求得

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=0632.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一.微分方程的經(jīng)典解法微分方程的

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=0齊次解是形如Cet函數(shù)的線性組合。將Cet代入上式并整理后可得n+an?1n?1+…+a0=0上式稱為微分方程的特征方程，其n個(gè)根稱為微分方程的特征根。yh(t)的函數(shù)形式完全由n個(gè)特征根i(i=1,2,…n)決定。i可為單根或重根。i可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，微分方程為實(shí)常系數(shù)時(shí)，總是以共軛復(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)。64y(n)(t)+an?1若齊次方程的n個(gè)特征根均為實(shí)單根，則其齊次解

et[Ccos(t)+Dsin(t)]

或Aetcos(t+)單共軛復(fù)根1,2=j

(Cr?1tr?1+Cr?2tr?2+…+C0)etr重實(shí)根

Cet單實(shí)根齊次解yh(t)特征根r重共軛復(fù)根65若齊次方程的n個(gè)特征根均為實(shí)單根，則其齊次解

特解特解的函數(shù)形式與f(t)的形式有關(guān)，以及f(t)與特征根的形式是否相同有關(guān)。

Pcos(t)+Qsin(t)

或Aetcos(t+)cost或sint

Pet(i)

或et[Prtr+Pr?1tr?1+…+P0]et

Pmtm+Pm?1tm?1+…+P0(i0)

或tr[Pmtm+Pm?1tm?1+…+P0]tm特解yp(t)f(t)66特解Pcos(t)+Qsin(t)

f(t)為常數(shù)1時(shí)，則特解為b0/a0?？疾旌瘮?shù)f(t)在t0時(shí)作用，則全解的定義域[0，)。全解由齊次解和特解組成，待定常數(shù)由初始條件y(0)、y(1)(0)、…、y(n?1)(0)確定。例：微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：當(dāng)f(t)=2e?t，t0；y(0)=2，y'(0)=?1時(shí)的全解。解：特征方程為 2+5+6=(+2)(+3)=0特征根為?2、?3，微分方程的齊次解

yh(t)=C1e?2t+C2e?3t當(dāng)f(t)=2e?t(t0)時(shí)，特解為yp(t)=Pe?t67f(t)為常數(shù)1時(shí)，則特解為b0/a0。5將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程得

Pe?t+5(?Pe?t)+6Pe?t=2e?t所以P=1，則特解為 yp(t)=Pe?t=e?t微分方程的全解

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e?2t+C2e?3t+e?t其一階導(dǎo)數(shù)為

y'(t)=?2C1e?2t?3C2e?3t?e?t令t=0，并代入初始值y(0)=2、y'(0)=?1得

y(0)=C1+C2+1=2 y'(0)=?2C1?3C2?1=?1解得C1=3、C2=?2，由此得

y(t)=3e?2t?2e?3t+e?tt068將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分線性常系數(shù)微分方程求解過(guò)程：n階線性常系數(shù)微分方程求特征根得齊次解yh(t)得微分方程解得特解yp(t)確定yp(t)的形式求待定系數(shù)P、Q得全解式，根據(jù)初始值求待定系數(shù)C、D69線性常系數(shù)微分方程求解過(guò)程：n階線性常系數(shù)微分方程求特征根得例：微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：當(dāng)f(t)=e?2t，t0；y(0)=1，y'(0)=0時(shí)的全解。解：微分方程的齊次解

yh(t)=C1e?2t+C2e?3t當(dāng)f(t)=e?2t(t0)

，其特解為

yp(t)=P1te?2t+P0e?2t將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，得P1=1。則特解為 yp(t)=te?2t+P0e?2t微分方程的全解

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e?2t+C2e?3t+te?2t+P0e?2t =(C1+P0)e?2t+C2e?3t+te?2t =C'1e?2t+C2e?3t+te?2t70例：微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(其一階導(dǎo)數(shù)為

y'(t)=?2C'1e?2t?3C2e?3t+e?2t?2te?2t令t=0，并代入初始值y(0)=1、y'(0)=0得

y(0)=C'1+C2=1 y'(0)=?2C'1?3C2+1=0解得C'1=2、C2=?1，由此得

y(t)=2e?2t?e?3t+te?2tt0例：微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：當(dāng)f(t)=10cost，t0；y(0)=2，y'(0)=0時(shí)的全解。解：微分方程的齊次解yh(t)=C1e?2t+C2e?3t當(dāng)f(t)=10cost(t0)，其特解形式為

yp(t)=Pcost+Qsint71其一階導(dǎo)數(shù)為9將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，求得特解

yp(t)=cost+sint最后可得全解為

y(t)=2e?2t?e?3t+cost+sintt0若f(t)=ejt=cost+jsint，微分方程解為yp(t)，則根據(jù)線性性質(zhì)，當(dāng)f(t)=cost時(shí)，解為Re[yp(t)]。上例中，可令f(t)=10ejt，得解為

yp(t)=(1?j)ejt=cost+sint+j(sint?cost)

求微分方程也就是確定解的形式與全部待定系數(shù)。解的形式根據(jù)表2?1和表2?2確定，待定系數(shù)由初始條件求出。72將yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分用算子方法求微分方程73用算子方法求微分方程11二.關(guān)于0?與0+的初始值用微分方程表達(dá)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)，則f(t)為系統(tǒng)輸入，y(t)為系統(tǒng)輸出。將時(shí)間軸分成兩段，以t=0為界，左段的右端點(diǎn)記為0?，右段的左端點(diǎn)記為0+。解微分方程時(shí)，確定解的待定系數(shù)需要一組初始條件y(j)(0+)(j=0,1,2,…,n?1)。y(j)(0?)(j=0,1,2,…,n?1)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無(wú)關(guān)，稱這些值為初始狀態(tài)。0?與0+的引入是由于系統(tǒng)輸出不連續(xù)，引起y(j)(0+)和y(j)(0?)產(chǎn)生差異。表現(xiàn)為系統(tǒng)中出現(xiàn)(t)函數(shù)。74二.關(guān)于0?與0+的初始值用微分方程表達(dá)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)，則f(例：微分方程為y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(t)+2f(t)，已知y(0?)=1，y'(0?)=?1；f(t)=(t)。求y(0+)和y'(0+)。解：將輸入f(t)代入微分方程得

y''(t)+2y'(t)+y(t)="(t)+2(t)(1)由上式可設(shè)

y(t)=a(t)+r0(t)(2)y'(t)=a'(t)+b(t)+r1(t)(3)y"(t)=a"(t)+b'(t)+c(t)+r2(t)(4)將式(2)、(3)、(4)代入式(1)，由方程左右系數(shù)相等可得到a=1，b=?2，c=5。即y(t)=(t)+r0(t)75例：微分方程為y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(

y'(t)='(t)?2(t)+r1(t)y"(t)="(t)?2'(t)+5(t)+r2(t)對(duì)y'(t)等式兩邊從0?到0+積分得 y(0+)=y(0?)?2=?1同理，對(duì)y"(t)等式兩邊從0?到0+積分得 y'(0+)=y'(0?)+5=4對(duì)比y(0?)=1，y'(0?)=?1。76y'(t)=三.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)yzi(t)：激勵(lì)f(t)=0，僅由初始條件{y(j)(0+)}(j=0,1,2,…,n?1)所引起的響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)：初始狀態(tài)y(j)(0?)=0，僅由輸入信號(hào)f(t)所引起的響應(yīng)。LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)為 y(t)=yzi(t)+yzs(t) yzi(t)為齊次方程的解，yzs(t)為非齊次方程的解。 當(dāng)特征根為單根時(shí)，用經(jīng)典解法求解分別有則全響應(yīng)為77三.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)yzi(t)：激勵(lì)f初始狀態(tài)和初始條件之間關(guān)系:全響應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)為

y(j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)(j=0,1,2,…,n?1)分別令t=0?和t=0+代入上式得

y(j)(0?)=yzi(j)(0?)+yzs(j)(0?) y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)對(duì)于因果系統(tǒng)：yzs(j)(0?)=0對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)：yzi(j)(0+)=yzi(j)(0?)因此 y(j)(0?)=yzi(j)(0?)=yzi(j)(0+) y(j)(0+)=y(j)(0?)+yzs(j)(0+)當(dāng)輸入是在t=t0時(shí)刻接入，則把式中0換為t0。78初始狀態(tài)和初始條件之間關(guān)系:16系統(tǒng)的全響應(yīng)為強(qiáng)迫響應(yīng)：由激勵(lì)信號(hào)確定的響應(yīng)形式當(dāng)輸入信號(hào)含有階躍函數(shù)或有始的周期函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)可分解為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。自由響應(yīng)：由系統(tǒng)本身的特性確定的響應(yīng)形式79系統(tǒng)的全響應(yīng)為強(qiáng)迫響應(yīng)：由激勵(lì)信號(hào)確定的響應(yīng)形式當(dāng)輸入信號(hào)含例：微分方程為y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)；初始狀態(tài)y(0?)=2，y'(0?)=1；輸入函數(shù)f(t)=(t)。求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解：(1)

零輸入響應(yīng)yzi(t)零輸入響應(yīng)滿足齊次方程

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0輸入為0，則有yzi(0+)=y(0?)=2，y'zi(0+)=y'(0?)=1。特征根為?1，?2，則零輸入響應(yīng)為

yzi(t)=Czi1e?t+Czi2e?2t代入初始值解得Czi1=5，Czi2=?3，所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 yzi(t)=5e?t?3e?2t

80例：微分方程為y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f(2)

零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t) yzs(0?)=yzs'(0?)=0t=0處，yzs"(t)含有(t)，yzs'(t)有躍變，yzs(t)應(yīng)連續(xù)。對(duì)方程兩邊從0?到0+積分得

yzs'(0+)?yzs'(0?)+3[yzs(0+)?yzs(0?)]=2所以 yzs(0+)=0，yzs'(0+)=2在t>0的區(qū)間，方程應(yīng)為

yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs(t)=6顯然有 yzs(t)=Czs1e?t+Czs2e?2t+3t081(2)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)19代入初始值可求得Czs1=?4，Czs2=1，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

yzs(t)=(?4e?t+e?2t+3)(t)可應(yīng)用LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分特性求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)：微分方程y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)先求方程yzs1''(t)+3yzs1'(t)+2yzs1(t)=f(t)初值yzs1(0?)=yzs1'(0?)=0得yzs1(t)=?e?t+0.5e?2t+0.5，則

yzs(t)=2yzs1'(t)+6yzs1(t)=(?4e?t+e?2t+3)(t)82代入初始值可求得Czs1=?4，Czs2=1，系統(tǒng)的零狀態(tài)響(3)

全響應(yīng)y(t)全響應(yīng)為y(t)=yzi(t)+yzs(t)也可直接求

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2(t)+6(t) y(0?)=2，y'(0?)=1對(duì)方程兩邊從0?到0+積分得

y'(0+)?y'(0?)+3[y(0+)?y(0?)]=2所以 y(0+)=2，y'(0+)=3方程的解為y(t)=C1e?t+C2e?2t+3t0代入初始值可求得C1=1，C2=?2，系統(tǒng)的全響應(yīng)為

y(t)=(e?t?2e?2t+3)(t)83(3)全響應(yīng)y(t)212.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

h(t)=T[{0}，(t)]

設(shè)n階微分方程為

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=f(t)

則當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

h(n)(t)+an?1h(n?1)(t)+…+a0h(t)=(t) h(j)(0?)=0，j=0，1，2，…，n?1

對(duì)方程從0?到0+積分，可得(t)h(t){y(0)}={0}LTI系統(tǒng)一.沖激響應(yīng)

842.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=

h(j)(0+)?h(j)(0?)=0，(j=0,1,2,…,n?2) h(n?1)(0+)?h(n?1)(0?)=1即 h(j)(0+)=0，(j=0,1,2,…,n?2) h(n?1)(0+)=1系統(tǒng)沖激響應(yīng)可看作在上述初始條件下方程

h(n)(t)+an?1h(n?1)(t)+…+a0h(t)=0(t>0)的零輸入響應(yīng)。將沖激輸入轉(zhuǎn)換成初始條件。如果微分方程的特征根均為單根，則其沖激響應(yīng)85 h(j)(0+)?h(j)(0?)=0，(j=例：微分方程為 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)

求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)也就是求如下微分方程的解

h"(t)+5h'(t)+6h(t)=0 h(0+)=0，h'(0+)=1齊次方程的解為h(t)=(C1e?2t+C2e?3t)(t)，代入初始條件得

h(t)=(e?2t?e?3t)(t)

一般地，微分方程為

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=bmf(m)(t)+…+b0f(t)設(shè) y1(n)(t)+an?1y1(n?1)(t)+…+a0y1(t)=f(t)令上式的沖激響應(yīng)為h1(t)，根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性86例：微分方程為 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

h(t)=bmh1(m)(t)+bm?1h1(m?1)(t)+…+b0h1(t)例：微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f"(t)+2f'(t)+3f(t)先求方程h1"(t)+5h1'(t)+6h1(t)=(t)h1(t)已求得為h1(t)=(e?2t?e?3t)(t)則系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=h1"(t)+2h1'(t)+3h1(t)=(t)+(3e?2t?6e?3t)(t)式中h1'(t)=(?2e?2t+3e?3t)(t)+(e?2t?e?3t)(t) =(?2e?2t+3e?3t)(t)對(duì)h1'(t)求導(dǎo)可得h1"(t)。87得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)25二.階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

g(t)=T[{0}，(t)]

設(shè)n階微分方程為

y(n)(t)+an?1y(n?1)(t)+…+a0y(t)=f(t)

則當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程

g(n)(t)+an?1g(n?1)(t)+…+a0g(t)=(t) g(j)(0?)=0，j=0，1，2，…，n?1由于等號(hào)右端只含(t)，故除g(n)(t)外，g(t)及其直到n?1階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)，即有初始條件(t)g(t){y(0)}={0}LTI系統(tǒng)88二.階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的階躍響應(yīng)g(t)=T[{0}，

g(j)(0+)=g(j)(0?)=0，j=0，1，2，…，n?1若微分方程的特征根均為單根，則階躍響應(yīng)式中1/a0為特解。Ci由初始值確定。單位階躍函數(shù)與單位沖激函數(shù)的關(guān)系為根據(jù)LTI系統(tǒng)的微積分特性，階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系為89 g(j)(0+)=g(j)(0?)=0，j=例：求圖示系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解