自旋與全同粒子課件

第七章自旋與全同粒子

我們已經(jīng)知道，從薛定諤方程出發(fā)可以解釋許多微觀現(xiàn)象，例如計(jì)算諧振子和氫原子的能級(jí)從而得出它們的譜線頻率，計(jì)算原子對(duì)光的吸收和發(fā)射系數(shù)等。計(jì)算結(jié)果在相當(dāng)精確的范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)符合。但是這個(gè)理論還有較大的局限性。首先，薛定諤方程沒有把自旋包含進(jìn)去，因而用前面的理論還不能解釋牽涉到自旋的微觀現(xiàn)象，如塞曼效應(yīng)等。此外，對(duì)于多粒子體系（原子、分子、原子核、固體等等），前面的理論也不能處理。

第七章自旋與全同粒子我們已經(jīng)知道，1§7.1電子的自旋

一、提出電子自旋的依據(jù)1、1912年反常塞曼效應(yīng)，特別是氫原子的偶數(shù)重磁場(chǎng)譜線分裂，無(wú)法用軌道磁矩與外磁場(chǎng)相互作用來(lái)解釋，因?yàn)檫@只能分裂譜線為（2n+1）重，即奇數(shù)重。2、原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。比如，對(duì)應(yīng)于氫原子2p→1s的躍遷存在兩條彼此很靠近的兩條譜線，堿金屬原子光譜也存在雙線結(jié)構(gòu)等3、斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（1922年）基態(tài)銀原子束通過不均勻磁場(chǎng)后，分離成朝相反方向的兩束。如圖：§7.1電子的自旋一、提出電子自旋的依據(jù)1、19122自旋與全同粒子課件3結(jié)論：除具有軌道角動(dòng)量外，電子還應(yīng)具有自旋角動(dòng)量。自旋是一種相對(duì)論量子效應(yīng)，無(wú)經(jīng)典對(duì)應(yīng)。

針對(duì)以上難以解釋的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，1925年烏侖貝克和高德施密特提出假設(shè)：(1)每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量s，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：(2)每個(gè)電子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角動(dòng)量s的關(guān)系是二、電子自旋的假設(shè)結(jié)論：除具有軌道角動(dòng)量外，電子還應(yīng)具有自旋角動(dòng)量。4Ms在空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：由（7.1-2）式，電子自旋磁矩和自旋角動(dòng)量之比是這個(gè)比值稱為電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率。我們知道：即軌道運(yùn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)磁比率是，因而自旋回轉(zhuǎn)磁比率等于軌道運(yùn)動(dòng)回轉(zhuǎn)磁比率的兩倍。Ms在空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：由（7.1-2）式5§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)

電子具有自旋角動(dòng)量這一特性純粹是量子特性，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來(lái)解釋。電子的自旋是相對(duì)論效應(yīng)，嚴(yán)格處理應(yīng)當(dāng)用Dirac方程，我們這里，在非相對(duì)論量子力學(xué)中是作唯象處理。一、自旋算符1.自旋角動(dòng)量滿足的對(duì)易關(guān)系電子作為角動(dòng)量應(yīng)滿足上面的作為角動(dòng)量定義的對(duì)易關(guān)系。§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)電子具有自6引入則有:2.

上面兩條完全確定了電子自旋算符。引入2.上面兩條完全確定了電子自旋算符。7二、泡利算符將（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到所滿足的對(duì)易關(guān)系：（1）定義：

(2)性質(zhì)(A)對(duì)易關(guān)系二、泡利算符將（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到8(B)（單位算符）

(B)9(C)反對(duì)易關(guān)系證明:由用左乘上式兩邊用右乘上式兩邊在把兩式相加同樣可以證明另外兩式.(C)反對(duì)易關(guān)系證明:由103、矩陣表示上面我們引入了自旋算符，并討論了它的代數(shù)，在適當(dāng)表象中，可以將它們表示成矩陣。習(xí)慣上選取SZ

表象（即σZ

表象）。今后不再聲明。（1）泡利矩陣算符在自身表象中的矩陣是對(duì)角矩陣，對(duì)角元素即算符的本征值。3、矩陣表示（1）泡利矩陣11令由即可得出令由即可得出12于是，為厄米矩陣：則于是，為厄米矩陣：則13而亦即習(xí)慣上取α=0,于是得到：而亦即習(xí)慣上取α=0,于是得到：14再由對(duì)易關(guān)系式

再由對(duì)易關(guān)系式15得到的泡利矩陣是泡利矩陣自旋算符（7.2-20）（7.2-21）得到的泡利矩陣是泡利矩陣自旋算符（7.2-20）（7.2-216將上式與軌道角動(dòng)量平方算符的本征值比較，可知s與角量子數(shù)相當(dāng)，我們稱s為自旋量子數(shù)。但這里s只能取一個(gè)數(shù)值，即s=1/2.(2)電子自旋角量子數(shù)S=1/2S2算符的本征值是把它記作:將上式與軌道角動(dòng)量平方算符的本征值17三、電子自旋態(tài)的表示方法

1.

考慮了電子的自旋，電子的波函數(shù)應(yīng)寫為：由于只能取兩個(gè)數(shù)值。所以（7.2-11）式實(shí)際上上可以寫為兩個(gè)分量2.我們可以把這兩個(gè)分量排成一個(gè)二行一列的矩陣：三、電子自旋態(tài)的表示方法1.考慮了電子18若已知電子的自旋，則電子自旋，則3.物理意義（玻恩統(tǒng)計(jì)解釋）若已知電子的自旋，3.物理意義（玻恩統(tǒng)計(jì)解釋）19于是，4.波函數(shù)歸一化表示為：

5、力學(xué)量的平均值包括自旋在內(nèi)的一般的算符應(yīng)為其中僅對(duì)x,y,z空間波函數(shù)作用的普通算符，不包括對(duì)自旋的運(yùn)算，對(duì)自旋的運(yùn)算是用矩陣描述了。于是，4.波函數(shù)歸一化表示為：5、力學(xué)量的平均值其中20算符在態(tài)中，對(duì)自旋和軌道求平均的結(jié)果是算符在態(tài)中，只對(duì)自旋求平均的平均值是算符在態(tài)中，對(duì)自旋和軌道求平均的結(jié)果是算21在有些情況下，不含自旋或?yàn)榭臻g部分和自旋部分之和，的本征函數(shù)可分離變量求解。6、自旋與軌道運(yùn)動(dòng)無(wú)耦合情況一般電子的自旋與軌道運(yùn)動(dòng)互相有影響，若自旋與軌道的相互影響可以忽略時(shí)或者在有些情況下，不含自旋或?yàn)榭臻g部分和自旋部分之和，622§7.3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)

1896年塞曼（P.Zeeman）發(fā)現(xiàn)：置于強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子（光源）發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，間隔相同。為此獲1902年諾貝爾物理獎(jiǎng)。因?yàn)椴槐匾胱孕?，所以洛侖茲很快作出了?jīng)典電磁學(xué)解釋。稱為正常塞曼效應(yīng)。無(wú)外磁場(chǎng)

加強(qiáng)磁場(chǎng)正常塞曼效應(yīng)

§7.3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)1823一、強(qiáng)磁場(chǎng)中的正常塞曼效應(yīng)類氫（或堿金屬）原子：一、強(qiáng)磁場(chǎng)中的正常塞曼效應(yīng)類氫（或堿金屬）原子：24無(wú)磁場(chǎng)時(shí)能量本征方程為：

也是的本征函數(shù)。在強(qiáng)磁場(chǎng)中，因?yàn)橥獯艌?chǎng)很強(qiáng)，可以略去自旋軌道耦合。波函數(shù)中自旋和空間部分可以分離變量。哈密頓量H的本征態(tài)可選為守恒量完全集（H,L2,Lz,Sz)的共同本征態(tài)。有磁場(chǎng)時(shí)能量本征值為：無(wú)磁場(chǎng)時(shí)能量本征方程為：25當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

討論：（1）躍遷規(guī)則：當(dāng)時(shí)，當(dāng)26（2）每條光譜線都分裂為三條，間隔相同Larmor頻率：

（3）不引入自旋也可解釋正常塞曼效應(yīng)。雖然能級(jí)，但對(duì)譜線分裂無(wú)影響。（2）每條光譜線都分裂為三條，間隔相同Larmor頻率：（27鈉黃線的正常塞曼分裂加強(qiáng)磁場(chǎng)589.3nm3p3s未加磁場(chǎng)ms=–1/2ms=+1/210-101-1鈉黃線的正常塞曼分裂加強(qiáng)磁場(chǎng)589.3nm3p3s未加磁場(chǎng)m28

1897年普雷斯頓（T.Preston）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)磁場(chǎng)較弱時(shí)，譜線分裂的數(shù)目可以不是三條，間隔也不盡相同。在量子力學(xué)和電子自旋概念建立之前，一直不能解釋。稱為反常塞曼效應(yīng)（復(fù)雜塞曼效應(yīng)）。它可以用電子自旋與軌道相互作用來(lái)得到解釋.二、弱磁場(chǎng)中的反常塞曼效應(yīng)1897年普雷斯頓（T.Preston）發(fā)29§7.4兩個(gè)角動(dòng)量的耦合一、角動(dòng)量理論的普遍結(jié)果(這里只給出結(jié)果)1.角動(dòng)量的定義：簡(jiǎn)記為:滿足上述對(duì)易關(guān)系的矢量算符，稱為角動(dòng)量算符。引入則有2、的本征值§7.4兩個(gè)角動(dòng)量的耦合一、角動(dòng)量理論的普遍結(jié)果30（j取定后，m有2j+1個(gè)取值）例：軌道角動(dòng)量例：電子的自旋角動(dòng)量（j取定后，m有2j+1個(gè)取值）例：軌道角動(dòng)量例：電子的自旋31以表示體系的兩個(gè)角動(dòng)量算符，它們滿足角動(dòng)量的定義的一般對(duì)易關(guān)系：

和是相互獨(dú)立的，因而的分量和的分量都是可對(duì)易的：二、兩個(gè)角動(dòng)量之和以表示與之和：以表示體系的兩個(gè)角動(dòng)量算符，它們滿32稱為體系的總角動(dòng)量，它滿足角動(dòng)量的一般對(duì)易關(guān)系：此外，還有一些其他的對(duì)易關(guān)系也很容易證明：或者這些對(duì)易關(guān)系必需證明,也很容易證明稱為體系的總角動(dòng)量，它滿足角動(dòng)量的一般對(duì)易關(guān)系：此外，還有一33二、無(wú)耦合表象與耦合表象以表示和的共同本征矢：以表示和的共同本征矢：因?yàn)橄嗷?duì)易，所以它們的共同本征矢：二、無(wú)耦合表象與耦合表象以表示34組成正交歸一的完全系。以這些本征矢作為基矢的表象稱為無(wú)耦合表象，在這個(gè)表象中，都是對(duì)角矩陣。另一方面算符也是相互對(duì)易的，所以它們有共同本征矢,j和m表示和的對(duì)應(yīng)本征值依次為和:組成正交歸一完全系，以它們?yōu)榛傅谋硐蠓Q為耦合表象。

概括起來(lái)講如下：組成正交歸一的完全系。以這些本征矢作為基矢的表象稱為無(wú)另一方351、無(wú)耦合表象基底：

維數(shù)：封閉關(guān)系：

只對(duì)作用，

只對(duì)作用。1、無(wú)耦合表象基底：維數(shù)：封閉362、耦合表象基底：

不能區(qū)分角動(dòng)量1和2了！

封閉關(guān)系：

2、耦合表象基底：封閉關(guān)系：373、無(wú)偶合表象基底與偶合表象基底的變換

對(duì)于確定的j1和j2,在維子空間，上式中稱為矢量耦合系數(shù)或克來(lái)布?！叩牵–lebsch—Gordon）系數(shù)表象變換矩陣元，不改變維數(shù)：3、無(wú)偶合表象基底與偶合表象基底的變換對(duì)于確定的j1和j238三.C-G系數(shù)的性質(zhì)證明：1.證明由展開式:用算符分別作用于上面展開式的兩邊，得到再利用上面展開式代入上式左邊得到三.C-G系數(shù)的性質(zhì)證明：用算符39經(jīng)過移項(xiàng)，于是有由于作為基矢是線性無(wú)關(guān)的，因此僅當(dāng)時(shí)才有或者在C－G系數(shù)中必有所以上面的展開式可以寫成于是有：于是有：402.再證明2.再證明413.最后證明因此，的取值系列為：等差數(shù)列求和耦合表象基與無(wú)耦合表象基矢數(shù)目相等3.最后證明因此，的取值系列為：等差數(shù)列求和耦合表象基42對(duì)于確定的和，總角量子數(shù)的取值系列為

例如，電子的軌道和自旋的總角動(dòng)量

當(dāng)當(dāng)稱為角量子數(shù)條件。對(duì)于確定的和，總角量子數(shù)的取43四.C—G系數(shù)的計(jì)算C－G系數(shù)計(jì)算較復(fù)雜，一般要利用群論方法。不過，事實(shí)上已制成表，可供查閱。我們的書中已經(jīng)給出了一個(gè)小的表（P211）表格的內(nèi)容是：兩個(gè)角動(dòng)量，其中一個(gè)是電子的自旋即：由上面討論可知，

四.C—G系數(shù)的計(jì)算44§7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)用精度高的光譜儀，可觀察到光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)和反常塞曼效應(yīng)可由軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的耦合作用來(lái)解釋。我們以氫原子或類氫離子為例來(lái)說明光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。一、類氫離子的H其中此項(xiàng)可以由Dirac方程導(dǎo)出,現(xiàn)在可以認(rèn)為是唯象引入§7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)用精度高的光譜儀，可45下面我們來(lái)研究能級(jí)，當(dāng)然用微擾論方法來(lái)求解。二、H0的本征函數(shù)類氫離子的本征值本征函數(shù)是已知的。由于電子具有自旋運(yùn)動(dòng)，要完全描述電子運(yùn)動(dòng)要引入自旋力學(xué)量量子數(shù)。1、以為力學(xué)量完全集力學(xué)量完全集中本應(yīng)包含，但，是常數(shù)算符，任意函數(shù)都是它的本征函數(shù)，因此力學(xué)量完全集中就不必再列入它了。下面我們來(lái)研究能級(jí)，當(dāng)然用微擾論方法來(lái)求解。二、H0的本征函46其共同本征函數(shù)（無(wú)耦合表象）為其共同本征函數(shù)（無(wú)耦合表象）為472、以為力學(xué)量完全集（耦合表象）同理略去算符其中總角動(dòng)量算符：其共同本征函數(shù)記作它們可以用無(wú)耦合表象基矢表示出來(lái)（利用C－G系數(shù)）2、以為力48三、微擾論方法求H的本征值和本征函數(shù)H0的本征值是2n2度簡(jiǎn)并（考慮到自旋）簡(jiǎn)并微擾方法中，無(wú)微擾H0的本征函數(shù)現(xiàn)在可以有兩種選法：或是無(wú)耦合表象的，或是耦合表象的。下面來(lái)討論選用耦合表象更為方便。1、表象的選?。?）ml和ms不是好量子數(shù)（不是守恒力學(xué)量對(duì)應(yīng)的量子數(shù)）三、微擾論方法求H的本征值和本征函數(shù)49自旋與全同粒子課件50(3)耦合表象的基矢是本征函數(shù)綜上所述，在用微擾論方法求解能級(jí)時(shí)選用耦合表象將比較方便。2.微擾論求能級(jí)和波函數(shù)(簡(jiǎn)并微擾論)(3)耦合表象的基矢51自旋與全同粒子課件52得到一級(jí)近似方程有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，得久期方程:此對(duì)角矩陣的行列式為零，于是得到解為得到一級(jí)近似方程53一級(jí)近似下能級(jí)為一級(jí)近似下能級(jí)為54四.堿金屬上面討論的結(jié)果很容易推廣到堿金屬原子作如下對(duì)應(yīng)變換即得到四.堿金屬55自旋與全同粒子課件56鈉原子3P項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)和復(fù)雜塞曼效應(yīng)鈉原子3P項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)和復(fù)雜塞曼效應(yīng)57§7.6全同粒子體系的特性一、多粒子體系的描寫假設(shè)我們有個(gè)粒子組成的體系，那么體系的波函數(shù)應(yīng)該和所有粒子的坐標(biāo)以及時(shí)間有關(guān)：

其中“坐標(biāo)”包括粒子的空間坐標(biāo)和自旋量子數(shù)。體系的Hamiltonian是：

U(q)是粒子在外場(chǎng)中的勢(shì),W是兩個(gè)粒子間的相互作用能.§7.6全同粒子體系的特性一、多粒子體系的描寫58二、全同粒子的不可區(qū)分性1、全同粒子；質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在性質(zhì)完全相同的粒子。

2、全同粒子體系：電子系、質(zhì)子系、中子系、光子系、電子氣、中子星等等。顯然，對(duì)于全同粒子體系，哈密頓中的都相同，也都有相同的組成，但是在量子力學(xué)中，全同粒子體系與非全同粒子體系有更多的區(qū)別。

在經(jīng)典力學(xué)中，即使兩個(gè)粒子是全同的，它們也仍然是可區(qū)別的，因?yàn)樗鼈兏髯杂凶约旱能壍?。但是在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描寫，當(dāng)兩個(gè)粒子的波函數(shù)在空間中發(fā)生重疊的時(shí)候，我們無(wú)法區(qū)分哪個(gè)是“第一個(gè)”粒子，哪個(gè)是“第二個(gè)”粒子。所以，在量子理論中有“全同粒子不可區(qū)別性原理”：3.全同性原理:當(dāng)一個(gè)全同粒子體系中兩個(gè)粒子交換不改變體系的狀態(tài)。二、全同粒子的不可區(qū)分性1、全同粒子；質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在59三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性和粒子的統(tǒng)計(jì)性

對(duì)全同粒子體系的波函數(shù)引入交換算符，它的作用是把波函數(shù)中的第i個(gè)粒子和第j個(gè)粒子的坐標(biāo)交換位置：

那么全同性原理告訴我們：這樣交換以后的狀態(tài)與原來(lái)的狀態(tài)是不可區(qū)別的，所以，按照量子力學(xué)的基本原理

而所以解得，也就是說，三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性和粒子的統(tǒng)計(jì)性對(duì)全同粒子體60若，則稱為交換對(duì)稱波函數(shù)，

若，則稱為交換反對(duì)稱波函數(shù)。

交換對(duì)稱性或反對(duì)稱性是全同粒子體系波函數(shù)的特殊的固有的性質(zhì)，因此也是(微觀)粒子的特殊的、固有的性質(zhì)。它決定了粒子所服從的統(tǒng)計(jì)。也就是說，描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。這一點(diǎn)可以從全同粒子體系的哈密頓算符是粒子交換下不變的這點(diǎn)出發(fā),很易得到證明.全同粒子體系的哈密頓算符是粒子交換不變的若，則稱為交61設(shè)t時(shí)刻波函數(shù)是對(duì)稱的：到t+dt時(shí)刻,所以，若在t

時(shí)刻是對(duì)稱的，則仍保持為對(duì)稱。同樣可以證明全同粒子體系的反對(duì)稱波函數(shù)的反對(duì)稱性不隨時(shí)間改變.因?yàn)樵O(shè)t時(shí)刻波函數(shù)是對(duì)稱的：所以，若62玻色子:

自旋為整數(shù)的粒子稱為玻色子，描述全同玻色子體系的波函數(shù)是交換對(duì)稱的，全同玻色子體系服從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)。例如光子（自旋為1）、介子(自旋為0）。費(fèi)米子:

自旋為半整數(shù)的粒子稱為費(fèi)米子，描述全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)是交換反對(duì)稱的，全同費(fèi)米子體系服從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)。例如電子、質(zhì)子、中子（自旋都是1/2）。玻色子:費(fèi)米子:63§7.7全同粒子體系的波

函數(shù)泡利原理一、兩個(gè)全同粒子體系下面主要討論無(wú)相互作用的全同粒子體系的波函數(shù)。當(dāng)然外場(chǎng)是存在的。研究此問題的重要性在于，此種情況的結(jié)果可以作為考慮粒子間相互作用問題的零級(jí)近似。用微擾方法來(lái)求相互作用問題。1、體系H的本征函數(shù)H0稱為單粒子哈密頓φj稱為單粒子波函數(shù)§7.7全同粒子體系的波

64可以證明下面兩個(gè)函數(shù)是H的屬于能級(jí)E的本征函數(shù)證明：同樣可以證明第二式.2、交換簡(jiǎn)并(7.7-2)式表示的兩個(gè)不同的波函數(shù)屬于同一個(gè)能級(jí),這兩個(gè)波函數(shù)的不同僅僅是兩個(gè)粒子作了交換.這種簡(jiǎn)并稱為交換簡(jiǎn)并.可以證明下面兩個(gè)函數(shù)是H的屬于能級(jí)E的本征函數(shù)證明：同樣可以65對(duì)稱波函數(shù)：由于交換簡(jiǎn)并的存在，可以將上面兩個(gè)波函數(shù)重新線性組合成新的對(duì)稱的波函數(shù)，而且它們?nèi)詫儆谕粋€(gè)能級(jí)。應(yīng)當(dāng)注意：由全同性原理可知，這兩個(gè)波函數(shù)盡管是不同的波函數(shù)，但描述了同一個(gè)量子態(tài)。3、對(duì)稱化波函數(shù)，泡利原理根據(jù)全同性原理，描述全同粒子體系的波函數(shù)必須是對(duì)稱化的。由于交換簡(jiǎn)并的存在，我們可以用線性組合來(lái)構(gòu)造對(duì)稱化的波函數(shù)：對(duì)稱波函數(shù)用于描述全同玻色子體系.對(duì)稱波函數(shù)：由于交換簡(jiǎn)并的存在，可以將上面兩個(gè)波函數(shù)重新線性66反對(duì)稱波函數(shù)：若時(shí)，因此，兩個(gè)全同F(xiàn)ermi子不能處于同一個(gè)單粒子態(tài)。(此即泡利原理)1、體系的H和波函數(shù)反對(duì)稱波函數(shù)用于描述全同費(fèi)米子體系H0稱為單粒子哈密頓φj稱為單粒子波函數(shù)二、N個(gè)粒子體系反對(duì)稱波函數(shù)：若時(shí)，67H的本征值和本征函數(shù)可以用單粒子哈密頓算符的本征值和本征函數(shù)表示：其中注：交換簡(jiǎn)并顯然存在：粒子交換只不過是中填入不同的排列，它們?nèi)允荋的屬于E的本征函數(shù)。此結(jié)果的證明與兩個(gè)粒子的情況一樣2、對(duì)稱化波函數(shù)與泡利原理描述全同粒子體系的波函數(shù)必須是對(duì)稱化的波函數(shù)。交換簡(jiǎn)并的存在使我們有可能把波函數(shù)進(jìn)行線性組合。H的本征值和本征函數(shù)可以用單粒子哈密頓算符的本征值和本征函數(shù)68（1）費(fèi)米子體系的反對(duì)稱波函數(shù)1)由行列式性質(zhì)可知，展開式共有N！項(xiàng)，每一項(xiàng)均為中填入的各種不同排列，一半項(xiàng)系數(shù)為正，一半系數(shù)為負(fù)。因?yàn)槊恳豁?xiàng)均是H的屬于E的本征函數(shù).ⅱ）反對(duì)稱性任意兩粒子交換相當(dāng)于行列式中兩列交換，行列式值改變一個(gè)負(fù)號(hào)。（1）費(fèi)米子體系的反對(duì)稱波函數(shù)1)69iii）歸一化展開式的N！項(xiàng)每項(xiàng)都是歸一化的，而且互相正交的（因?yàn)椴煌瑔瘟Ｗ討B(tài)正交）因此歸一化系數(shù)為。iv)泡利不相容原理

如果N個(gè)單粒子態(tài)中有兩個(gè)單粒子態(tài)相同，則（7.7-8）行列式中有兩行相同，因而行列式等于零。這表示不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)密子處于同一狀態(tài)。這個(gè)結(jié)果稱為泡利不相容原理(2)玻色子系的對(duì)稱波函數(shù)iii）歸一化iv)泡利不相容原理如果N個(gè)70（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函數(shù)中的某一種排列，表示對(duì)所有可能的排列求和.i)同費(fèi)米子的情況（共N！項(xiàng)之和，每項(xiàng)都是H的屬于E的本征函數(shù)）ⅱ）對(duì)稱性共N！項(xiàng)之和，每項(xiàng)是中填入的各種不同的排列，各種排列都在求和之中，所以兩粒子交換只不過是求和中的兩項(xiàng)交換。iii)C是歸一化常數(shù)。（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函數(shù)中的某一種排列，71三、不考慮自旋軌道耦合的情況可分離變量

對(duì)于兩個(gè)費(fèi)米子體系的情況，只有如下兩種形式：其中三、不考慮自旋軌道耦合的情況可分離變量對(duì)于兩個(gè)費(fèi)米子體系的72§7.8兩個(gè)電子的自旋函數(shù)

兩個(gè)電子系統(tǒng)是很重要的，氦原子，氫原子都是兩個(gè)電子的系統(tǒng)。另外它是多粒子系的最簡(jiǎn)單情況，因此理論上也很重要。一、兩電子的自旋波函數(shù)（不計(jì)自旋―自旋相互作用）1、自旋波函數(shù)兩個(gè)電子系統(tǒng)的自旋態(tài):這四個(gè)自旋波函數(shù)事實(shí)上是所謂的無(wú)耦合表象的波函數(shù)。第(1)，第(4)兩個(gè)波函數(shù)是交換對(duì)稱的波函數(shù)，第(2)，第(3)兩個(gè)波函數(shù)既非對(duì)稱又非反對(duì)稱，需要將其對(duì)稱化?！?.8兩個(gè)電子的自旋函數(shù)兩個(gè)電子系統(tǒng)73可以證明，上面四個(gè)波函數(shù)是正交歸一的見習(xí)題。可以證明，上面四個(gè)波函數(shù)是正交歸一的見習(xí)題。74二、自旋單態(tài)與三重態(tài)上面我們從全同粒子波函數(shù)的對(duì)稱性角度來(lái)考慮，構(gòu)造了四個(gè)對(duì)稱化的自旋波函數(shù)，下面我們從兩個(gè)角動(dòng)量的耦合角度來(lái)考察這個(gè)問題。1、兩電子體系總自旋角動(dòng)量算符二、自旋單態(tài)與三重態(tài)75自旋與全同粒子課件76利用上述運(yùn)算結(jié)果可以得到（證明在后）利用上述運(yùn)算結(jié)果可以得到（證明在后）77證明第二式（各粒子的自旋算符只對(duì)各自的自旋波函數(shù)作用）證明第二式（各粒子的自旋算符只對(duì)各自的自旋波函數(shù)作用）78再有同樣方法可以證明其余各式。再有同樣方法可以證明其余各式。793、單態(tài)和三重態(tài)回顧兩個(gè)角動(dòng)量耦合3、單態(tài)和三重態(tài)80自旋與全同粒子課件81自旋與全同粒子課件82一、哈密頓算符§7.9氦原子（微擾法）二.微擾法求解其中單粒子態(tài)是類氫離子的波函數(shù)一、哈密頓算符§7.9氦原子（微擾法）二.831.基態(tài)基態(tài)能量的一修正為基態(tài)一定是自旋單態(tài)1.基態(tài)基態(tài)能量的一修正為基態(tài)一定是自旋單態(tài)84一級(jí)近似下能級(jí)變分法結(jié)果實(shí)驗(yàn)得到值比較可見，變分法結(jié)果較好，原因是嘗試波函數(shù)尋找得好，而微擾法中微擾H’與H0相比不是足夠的小。一級(jí)近似下能級(jí)變分法結(jié)果比較可見，變分法結(jié)果較好，原因是嘗試852.激發(fā)態(tài)，先來(lái)說明可以令，因?yàn)橐话愕卣f，氦原子的激發(fā)態(tài)總是一個(gè)電子處于基態(tài)，另一個(gè)電子處于激發(fā)態(tài),即所謂的低激發(fā)態(tài)。因?yàn)橐箖蓚€(gè)電子都處于激發(fā)態(tài)的激發(fā)能遠(yuǎn)大于使一個(gè)電子電離的能量，所以，事實(shí)上幾乎是不可能的。2.激發(fā)態(tài)，先來(lái)說明可以令86綜上所述，屬于能級(jí)的零級(jí)近似波函數(shù)有四個(gè)（四度簡(jiǎn)并）它們是微擾矩陣元：綜上所述，屬于能級(jí)87由于微擾與自旋無(wú)關(guān)，以及的正交性所以微擾矩陣是對(duì)角矩陣。其中

K稱為庫(kù)侖能J稱為交換能由于微擾與自旋無(wú)關(guān)，以及88同樣計(jì)算可得到久期方程是馬上可以得到一級(jí)近似下的能級(jí)對(duì)應(yīng)零級(jí)波函數(shù)：（單態(tài)）對(duì)應(yīng)零級(jí)波函數(shù)：（三重態(tài))

同樣計(jì)算可得到久期方程是馬上可以得到一級(jí)近似下的能級(jí)89自旋單態(tài)（或獨(dú)態(tài)）的氦稱為仲氦自旋三重態(tài)的氦稱為正氦?；鶓B(tài)的氦是單態(tài)即基態(tài)的氦是仲氦。上面K稱為庫(kù)侖能

J稱為交換能這兩部分都是由于兩電子間的庫(kù)侖作用而產(chǎn)生的。但交換能的出現(xiàn)是由于描寫全同粒子的波函數(shù)必須是對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)緣故。是經(jīng)典力學(xué)所沒有的，是量子力學(xué)特有的。交換能成為解釋化學(xué)中同極鍵的鑰匙。自旋單態(tài)（或獨(dú)態(tài)）的氦稱為仲氦90量子力學(xué)的基本原理

量子力學(xué)的理論框架可以用以下五條基本原理來(lái)進(jìn)行概括.一.微觀粒子或微觀粒子體系的量子態(tài)由波函數(shù)(或一個(gè)矢量)描寫。這種描述是完全描述。二.量子力學(xué)中的力學(xué)量由線性厄密算符表示，而且該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。算符的構(gòu)成：ABC量子力學(xué)的基本原理量子力學(xué)的理論框架可以用以91當(dāng)粒子處于態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量得到的值只能是的本征值，測(cè)量得到的相應(yīng)的幾率是其中：還有相應(yīng)的連續(xù)譜的情況。當(dāng)粒子處于態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量92四.運(yùn)動(dòng)方程是薛定諤方程：或者

五.全同粒子構(gòu)成的體系的物理狀態(tài)不因粒子交換而改變。四.運(yùn)動(dòng)方程是薛定諤方程：93當(dāng)然上面這些基本假設(shè)不能看作數(shù)學(xué)中公理那么嚴(yán)格，但它確實(shí)給出了量子力學(xué)理論的重要框架。還有一些內(nèi)容沒有全部包括在內(nèi)。其它還有例如:態(tài)迭加原理：由薛定諤方程是線性的方程包括了測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：由算符的對(duì)易關(guān)系可以導(dǎo)出。玻恩統(tǒng)計(jì)解釋包括在上面第三條中了。當(dāng)然上面這些基本假設(shè)不能看作數(shù)學(xué)中公理那么嚴(yán)格，但它確實(shí)給出94自旋與全同粒子課件95第七章自旋與全同粒子

我們已經(jīng)知道，從薛定諤方程出發(fā)可以解釋許多微觀現(xiàn)象，例如計(jì)算諧振子和氫原子的能級(jí)從而得出它們的譜線頻率，計(jì)算原子對(duì)光的吸收和發(fā)射系數(shù)等。計(jì)算結(jié)果在相當(dāng)精確的范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)符合。但是這個(gè)理論還有較大的局限性。首先，薛定諤方程沒有把自旋包含進(jìn)去，因而用前面的理論還不能解釋牽涉到自旋的微觀現(xiàn)象，如塞曼效應(yīng)等。此外，對(duì)于多粒子體系（原子、分子、原子核、固體等等），前面的理論也不能處理。

第七章自旋與全同粒子我們已經(jīng)知道，96§7.1電子的自旋

一、提出電子自旋的依據(jù)1、1912年反常塞曼效應(yīng)，特別是氫原子的偶數(shù)重磁場(chǎng)譜線分裂，無(wú)法用軌道磁矩與外磁場(chǎng)相互作用來(lái)解釋，因?yàn)檫@只能分裂譜線為（2n+1）重，即奇數(shù)重。2、原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。比如，對(duì)應(yīng)于氫原子2p→1s的躍遷存在兩條彼此很靠近的兩條譜線，堿金屬原子光譜也存在雙線結(jié)構(gòu)等3、斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（1922年）基態(tài)銀原子束通過不均勻磁場(chǎng)后，分離成朝相反方向的兩束。如圖：§7.1電子的自旋一、提出電子自旋的依據(jù)1、191297自旋與全同粒子課件98結(jié)論：除具有軌道角動(dòng)量外，電子還應(yīng)具有自旋角動(dòng)量。自旋是一種相對(duì)論量子效應(yīng)，無(wú)經(jīng)典對(duì)應(yīng)。

針對(duì)以上難以解釋的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，1925年烏侖貝克和高德施密特提出假設(shè)：(1)每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量s，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：(2)每個(gè)電子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角動(dòng)量s的關(guān)系是二、電子自旋的假設(shè)結(jié)論：除具有軌道角動(dòng)量外，電子還應(yīng)具有自旋角動(dòng)量。99Ms在空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：由（7.1-2）式，電子自旋磁矩和自旋角動(dòng)量之比是這個(gè)比值稱為電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率。我們知道：即軌道運(yùn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)磁比率是，因而自旋回轉(zhuǎn)磁比率等于軌道運(yùn)動(dòng)回轉(zhuǎn)磁比率的兩倍。Ms在空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：由（7.1-2）式100§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)

電子具有自旋角動(dòng)量這一特性純粹是量子特性，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來(lái)解釋。電子的自旋是相對(duì)論效應(yīng)，嚴(yán)格處理應(yīng)當(dāng)用Dirac方程，我們這里，在非相對(duì)論量子力學(xué)中是作唯象處理。一、自旋算符1.自旋角動(dòng)量滿足的對(duì)易關(guān)系電子作為角動(dòng)量應(yīng)滿足上面的作為角動(dòng)量定義的對(duì)易關(guān)系。§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)電子具有自101引入則有:2.

上面兩條完全確定了電子自旋算符。引入2.上面兩條完全確定了電子自旋算符。102二、泡利算符將（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到所滿足的對(duì)易關(guān)系：（1）定義：

(2)性質(zhì)(A)對(duì)易關(guān)系二、泡利算符將（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到103(B)（單位算符）

(B)104(C)反對(duì)易關(guān)系證明:由用左乘上式兩邊用右乘上式兩邊在把兩式相加同樣可以證明另外兩式.(C)反對(duì)易關(guān)系證明:由1053、矩陣表示上面我們引入了自旋算符，并討論了它的代數(shù)，在適當(dāng)表象中，可以將它們表示成矩陣。習(xí)慣上選取SZ

表象（即σZ

表象）。今后不再聲明。（1）泡利矩陣算符在自身表象中的矩陣是對(duì)角矩陣，對(duì)角元素即算符的本征值。3、矩陣表示（1）泡利矩陣106令由即可得出令由即可得出107于是，為厄米矩陣：則于是，為厄米矩陣：則108而亦即習(xí)慣上取α=0,于是得到：而亦即習(xí)慣上取α=0,于是得到：109再由對(duì)易關(guān)系式

再由對(duì)易關(guān)系式110得到的泡利矩陣是泡利矩陣自旋算符（7.2-20）（7.2-21）得到的泡利矩陣是泡利矩陣自旋算符（7.2-20）（7.2-2111將上式與軌道角動(dòng)量平方算符的本征值比較，可知s與角量子數(shù)相當(dāng)，我們稱s為自旋量子數(shù)。但這里s只能取一個(gè)數(shù)值，即s=1/2.(2)電子自旋角量子數(shù)S=1/2S2算符的本征值是把它記作:將上式與軌道角動(dòng)量平方算符的本征值112三、電子自旋態(tài)的表示方法

1.

考慮了電子的自旋，電子的波函數(shù)應(yīng)寫為：由于只能取兩個(gè)數(shù)值。所以（7.2-11）式實(shí)際上上可以寫為兩個(gè)分量2.我們可以把這兩個(gè)分量排成一個(gè)二行一列的矩陣：三、電子自旋態(tài)的表示方法1.考慮了電子113若已知電子的自旋，則電子自旋，則3.物理意義（玻恩統(tǒng)計(jì)解釋）若已知電子的自旋，3.物理意義（玻恩統(tǒng)計(jì)解釋）114于是，4.波函數(shù)歸一化表示為：

5、力學(xué)量的平均值包括自旋在內(nèi)的一般的算符應(yīng)為其中僅對(duì)x,y,z空間波函數(shù)作用的普通算符，不包括對(duì)自旋的運(yùn)算，對(duì)自旋的運(yùn)算是用矩陣描述了。于是，4.波函數(shù)歸一化表示為：5、力學(xué)量的平均值其中115算符在態(tài)中，對(duì)自旋和軌道求平均的結(jié)果是算符在態(tài)中，只對(duì)自旋求平均的平均值是算符在態(tài)中，對(duì)自旋和軌道求平均的結(jié)果是算116在有些情況下，不含自旋或?yàn)榭臻g部分和自旋部分之和，的本征函數(shù)可分離變量求解。6、自旋與軌道運(yùn)動(dòng)無(wú)耦合情況一般電子的自旋與軌道運(yùn)動(dòng)互相有影響，若自旋與軌道的相互影響可以忽略時(shí)或者在有些情況下，不含自旋或?yàn)榭臻g部分和自旋部分之和，6117§7.3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)

1896年塞曼（P.Zeeman）發(fā)現(xiàn)：置于強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子（光源）發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，間隔相同。為此獲1902年諾貝爾物理獎(jiǎng)。因?yàn)椴槐匾胱孕?，所以洛侖茲很快作出了?jīng)典電磁學(xué)解釋。稱為正常塞曼效應(yīng)。無(wú)外磁場(chǎng)

加強(qiáng)磁場(chǎng)正常塞曼效應(yīng)

§7.3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)18118一、強(qiáng)磁場(chǎng)中的正常塞曼效應(yīng)類氫（或堿金屬）原子：一、強(qiáng)磁場(chǎng)中的正常塞曼效應(yīng)類氫（或堿金屬）原子：119無(wú)磁場(chǎng)時(shí)能量本征方程為：

也是的本征函數(shù)。在強(qiáng)磁場(chǎng)中，因?yàn)橥獯艌?chǎng)很強(qiáng)，可以略去自旋軌道耦合。波函數(shù)中自旋和空間部分可以分離變量。哈密頓量H的本征態(tài)可選為守恒量完全集（H,L2,Lz,Sz)的共同本征態(tài)。有磁場(chǎng)時(shí)能量本征值為：無(wú)磁場(chǎng)時(shí)能量本征方程為：120當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

討論：（1）躍遷規(guī)則：當(dāng)時(shí)，當(dāng)121（2）每條光譜線都分裂為三條，間隔相同Larmor頻率：

（3）不引入自旋也可解釋正常塞曼效應(yīng)。雖然能級(jí)，但對(duì)譜線分裂無(wú)影響。（2）每條光譜線都分裂為三條，間隔相同Larmor頻率：（122鈉黃線的正常塞曼分裂加強(qiáng)磁場(chǎng)589.3nm3p3s未加磁場(chǎng)ms=–1/2ms=+1/210-101-1鈉黃線的正常塞曼分裂加強(qiáng)磁場(chǎng)589.3nm3p3s未加磁場(chǎng)m123

1897年普雷斯頓（T.Preston）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)磁場(chǎng)較弱時(shí)，譜線分裂的數(shù)目可以不是三條，間隔也不盡相同。在量子力學(xué)和電子自旋概念建立之前，一直不能解釋。稱為反常塞曼效應(yīng)（復(fù)雜塞曼效應(yīng)）。它可以用電子自旋與軌道相互作用來(lái)得到解釋.二、弱磁場(chǎng)中的反常塞曼效應(yīng)1897年普雷斯頓（T.Preston）發(fā)124§7.4兩個(gè)角動(dòng)量的耦合一、角動(dòng)量理論的普遍結(jié)果(這里只給出結(jié)果)1.角動(dòng)量的定義：簡(jiǎn)記為:滿足上述對(duì)易關(guān)系的矢量算符，稱為角動(dòng)量算符。引入則有2、的本征值§7.4兩個(gè)角動(dòng)量的耦合一、角動(dòng)量理論的普遍結(jié)果125（j取定后，m有2j+1個(gè)取值）例：軌道角動(dòng)量例：電子的自旋角動(dòng)量（j取定后，m有2j+1個(gè)取值）例：軌道角動(dòng)量例：電子的自旋126以表示體系的兩個(gè)角動(dòng)量算符，它們滿足角動(dòng)量的定義的一般對(duì)易關(guān)系：

和是相互獨(dú)立的，因而的分量和的分量都是可對(duì)易的：二、兩個(gè)角動(dòng)量之和以表示與之和：以表示體系的兩個(gè)角動(dòng)量算符，它們滿127稱為體系的總角動(dòng)量，它滿足角動(dòng)量的一般對(duì)易關(guān)系：此外，還有一些其他的對(duì)易關(guān)系也很容易證明：或者這些對(duì)易關(guān)系必需證明,也很容易證明稱為體系的總角動(dòng)量，它滿足角動(dòng)量的一般對(duì)易關(guān)系：此外，還有一128二、無(wú)耦合表象與耦合表象以表示和的共同本征矢：以表示和的共同本征矢：因?yàn)橄嗷?duì)易，所以它們的共同本征矢：二、無(wú)耦合表象與耦合表象以表示129組成正交歸一的完全系。以這些本征矢作為基矢的表象稱為無(wú)耦合表象，在這個(gè)表象中，都是對(duì)角矩陣。另一方面算符也是相互對(duì)易的，所以它們有共同本征矢,j和m表示和的對(duì)應(yīng)本征值依次為和:組成正交歸一完全系，以它們?yōu)榛傅谋硐蠓Q為耦合表象。

概括起來(lái)講如下：組成正交歸一的完全系。以這些本征矢作為基矢的表象稱為無(wú)另一方1301、無(wú)耦合表象基底：

維數(shù)：封閉關(guān)系：

只對(duì)作用，

只對(duì)作用。1、無(wú)耦合表象基底：維數(shù)：封閉1312、耦合表象基底：

不能區(qū)分角動(dòng)量1和2了！

封閉關(guān)系：

2、耦合表象基底：封閉關(guān)系：1323、無(wú)偶合表象基底與偶合表象基底的變換

對(duì)于確定的j1和j2,在維子空間，上式中稱為矢量耦合系數(shù)或克來(lái)布?！叩牵–lebsch—Gordon）系數(shù)表象變換矩陣元，不改變維數(shù)：3、無(wú)偶合表象基底與偶合表象基底的變換對(duì)于確定的j1和j2133三.C-G系數(shù)的性質(zhì)證明：1.證明由展開式:用算符分別作用于上面展開式的兩邊，得到再利用上面展開式代入上式左邊得到三.C-G系數(shù)的性質(zhì)證明：用算符134經(jīng)過移項(xiàng)，于是有由于作為基矢是線性無(wú)關(guān)的，因此僅當(dāng)時(shí)才有或者在C－G系數(shù)中必有所以上面的展開式可以寫成于是有：于是有：1352.再證明2.再證明1363.最后證明因此，的取值系列為：等差數(shù)列求和耦合表象基與無(wú)耦合表象基矢數(shù)目相等3.最后證明因此，的取值系列為：等差數(shù)列求和耦合表象基137對(duì)于確定的和，總角量子數(shù)的取值系列為

例如，電子的軌道和自旋的總角動(dòng)量

當(dāng)當(dāng)稱為角量子數(shù)條件。對(duì)于確定的和，總角量子數(shù)的取138四.C—G系數(shù)的計(jì)算C－G系數(shù)計(jì)算較復(fù)雜，一般要利用群論方法。不過，事實(shí)上已制成表，可供查閱。我們的書中已經(jīng)給出了一個(gè)小的表（P211）表格的內(nèi)容是：兩個(gè)角動(dòng)量，其中一個(gè)是電子的自旋即：由上面討論可知，

四.C—G系數(shù)的計(jì)算139§7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)用精度高的光譜儀，可觀察到光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)和反常塞曼效應(yīng)可由軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的耦合作用來(lái)解釋。我們以氫原子或類氫離子為例來(lái)說明光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。一、類氫離子的H其中此項(xiàng)可以由Dirac方程導(dǎo)出,現(xiàn)在可以認(rèn)為是唯象引入§7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)用精度高的光譜儀，可140下面我們來(lái)研究能級(jí)，當(dāng)然用微擾論方法來(lái)求解。二、H0的本征函數(shù)類氫離子的本征值本征函數(shù)是已知的。由于電子具有自旋運(yùn)動(dòng)，要完全描述電子運(yùn)動(dòng)要引入自旋力學(xué)量量子數(shù)。1、以為力學(xué)量完全集力學(xué)量完全集中本應(yīng)包含，但，是常數(shù)算符，任意函數(shù)都是它的本征函數(shù)，因此力學(xué)量完全集中就不必再列入它了。下面我們來(lái)研究能級(jí)，當(dāng)然用微擾論方法來(lái)求解。二、H0的本征函141其共同本征函數(shù)（無(wú)耦合表象）為其共同本征函數(shù)（無(wú)耦合表象）為1422、以為力學(xué)量完全集（耦合表象）同理略去算符其中總角動(dòng)量算符：其共同本征函數(shù)記作它們可以用無(wú)耦合表象基矢表示出來(lái)（利用C－G系數(shù)）2、以為力143三、微擾論方法求H的本征值和本征函數(shù)H0的本征值是2n2度簡(jiǎn)并（考慮到自旋）簡(jiǎn)并微擾方法中，無(wú)微擾H0的本征函數(shù)現(xiàn)在可以有兩種選法：或是無(wú)耦合表象的，或是耦合表象的。下面來(lái)討論選用耦合表象更為方便。1、表象的選?。?）ml和ms不是好量子數(shù)（不是守恒力學(xué)量對(duì)應(yīng)的量子數(shù)）三、微擾論方法求H的本征值和本征函數(shù)144自旋與全同粒子課件145(3)耦合表象的基矢是本征函數(shù)綜上所述，在用微擾論方法求解能級(jí)時(shí)選用耦合表象將比較方便。2.微擾論求能級(jí)和波函數(shù)(簡(jiǎn)并微擾論)(3)耦合表象的基矢146自旋與全同粒子課件147得到一級(jí)近似方程有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，得久期方程:此對(duì)角矩陣的行列式為零，于是得到解為得到一級(jí)近似方程148一級(jí)近似下能級(jí)為一級(jí)近似下能級(jí)為149四.堿金屬上面討論的結(jié)果很容易推廣到堿金屬原子作如下對(duì)應(yīng)變換即得到四.堿金屬150自旋與全同粒子課件151鈉原子3P項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)和復(fù)雜塞曼效應(yīng)鈉原子3P項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)和復(fù)雜塞曼效應(yīng)152§7.6全同粒子體系的特性一、多粒子體系的描寫假設(shè)我們有個(gè)粒子組成的體系，那么體系的波函數(shù)應(yīng)該和所有粒子的坐標(biāo)以及時(shí)間有關(guān)：

其中“坐標(biāo)”包括粒子的空間坐標(biāo)和自旋量子數(shù)。體系的Hamiltonian是：

U(q)是粒子在外場(chǎng)中的勢(shì),W是兩個(gè)粒子間的相互作用能.§7.6全同粒子體系的特性一、多粒子體系的描寫153二、全同粒子的不可區(qū)分性1、全同粒子；質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在性質(zhì)完全相同的粒子。

2、全同粒子體系：電子系、質(zhì)子系、中子系、光子系、電子氣、中子星等等。顯然，對(duì)于全同粒子體系，哈密頓中的都相同，也都有相同的組成，但是在量子力學(xué)中，全同粒子體系與非全同粒子體系有更多的區(qū)別。

在經(jīng)典力學(xué)中，即使兩個(gè)粒子是全同的，它們也仍然是可區(qū)別的，因?yàn)樗鼈兏髯杂凶约旱能壍?。但是在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描寫，當(dāng)兩個(gè)粒子的波函數(shù)在空間中發(fā)生重疊的時(shí)候，我們無(wú)法區(qū)分哪個(gè)是“第一個(gè)”粒子，哪個(gè)是“第二個(gè)”粒子。所以，在量子理論中有“全同粒子不可區(qū)別性原理”：3.全同性原理:當(dāng)一個(gè)全同粒子體系中兩個(gè)粒子交換不改變體系的狀態(tài)。二、全同粒子的不可區(qū)分性1、全同粒子；質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在154三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性和粒子的統(tǒng)計(jì)性

對(duì)全同粒子體系的波函數(shù)引入交換算符，它的作用是把波函數(shù)中的第i個(gè)粒子和第j個(gè)粒子的坐標(biāo)交換位置：

那么全同性原理告訴我們：這樣交換以后的狀態(tài)與原來(lái)的狀態(tài)是不可區(qū)別的，所以，按照量子力學(xué)的基本原理

而所以解得，也就是說，三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性和粒子的統(tǒng)計(jì)性對(duì)全同粒子體155若，則稱為交換對(duì)稱波函數(shù)，

若，則稱為交換反對(duì)稱波函數(shù)。

交換對(duì)稱性或反對(duì)稱性是全同粒子體系波函數(shù)的特殊的固有的性質(zhì)，因此也是(微觀)粒子的特殊的、固有的性質(zhì)。它決定了粒子所服從的統(tǒng)計(jì)。也就是說，描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。這一點(diǎn)可以從全同粒子體系的哈密頓算符是粒子交換下不變的這點(diǎn)出發(fā),很易得到證明.全同粒子體系的哈密頓算符是粒子交換不變的若，則稱為交156設(shè)t時(shí)刻波函數(shù)是對(duì)稱的：到t+dt時(shí)刻,所以，若在t

時(shí)刻是對(duì)稱的，則仍保持為對(duì)稱。同樣可以證明全同粒子體系的反對(duì)稱波函數(shù)的反對(duì)稱性不隨時(shí)間改變.因?yàn)樵O(shè)t時(shí)刻波函數(shù)是對(duì)稱的：所以，若157玻色子:

自旋為整數(shù)的粒子稱為玻色子，描述全同玻色子體系的波函數(shù)是交換對(duì)稱的，全同玻色子體系服從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)。例如光子（自旋為1）、介子(自旋為0）。費(fèi)米子:

自旋為半整數(shù)的粒子稱為費(fèi)米子，描述全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)是交換反對(duì)稱的，全同費(fèi)米子體系服從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)。例如電子、質(zhì)子、中子（自旋都是1/2）。玻色子:費(fèi)米子:158§7.7全同粒子體系的波

函數(shù)泡利原理一、兩個(gè)全同粒子體系下面主要討論無(wú)相互作用的全同粒子體系的波函數(shù)。當(dāng)然外場(chǎng)是存在的。研究此問題的重要性在于，此種情況的結(jié)果可以作為考慮粒子間相互作用問題的零級(jí)近似。用微擾方法來(lái)求相互作用問題。1、體系H的本征函數(shù)H0稱為單粒子哈密頓φj稱為單粒子波函數(shù)§7.7全同粒子體系的波

159可以證明下面兩個(gè)函數(shù)是H的屬于能級(jí)E的本征函數(shù)證明：同樣可以證明第二式.2、交換簡(jiǎn)并(7.7-2)式表示的兩個(gè)不同的波函數(shù)屬于同一個(gè)能級(jí),這兩個(gè)波函數(shù)的不同僅僅是兩個(gè)粒子作了交換.這種簡(jiǎn)并稱為交換簡(jiǎn)并.可以證明下面兩個(gè)函數(shù)是H的屬于能級(jí)E的本征函數(shù)證明：同樣可以160對(duì)稱波函數(shù)：由于交換簡(jiǎn)并的存在，可以將上面兩個(gè)波函數(shù)重新線性組合成新的對(duì)稱的波函數(shù)，而且它們?nèi)詫儆谕粋€(gè)能級(jí)。應(yīng)當(dāng)注意：由全同性原理可知，這兩個(gè)波函數(shù)盡管是不同的波函數(shù)，但描述了同一個(gè)量子態(tài)。3、對(duì)稱化波函數(shù)，泡利原理根據(jù)全同性原理，描述全同粒子體系的波函數(shù)必須是對(duì)稱化的。由于交換簡(jiǎn)并的存在，我們可以用線性組合來(lái)構(gòu)造對(duì)稱化的波函數(shù)：對(duì)稱波函數(shù)用于描述全同玻色子體系.對(duì)稱波函數(shù)：由于交換簡(jiǎn)并的存在，可以將上面兩個(gè)波函數(shù)重新線性161反對(duì)稱波函數(shù)：若時(shí)，因此，兩個(gè)全同F(xiàn)ermi子不能處于同一個(gè)單粒子態(tài)。(此即泡利原理)1、體系的H和波函數(shù)反對(duì)稱波函數(shù)用于描述全同費(fèi)米子體系H0稱為單粒子哈密頓φj稱為單粒子波函數(shù)二、N個(gè)粒子體系反對(duì)稱波函數(shù)：若時(shí)，162H的本征值和本征函數(shù)可以用單粒子哈密頓算符的本征值和本征函數(shù)表示：其中注：交換簡(jiǎn)并顯然存在：粒子交換只不過是中填入不同的排列，它們?nèi)允荋的屬于E的本征函數(shù)。此結(jié)果的證明與兩個(gè)粒子的情況一樣2、對(duì)稱化波函數(shù)與泡利原理描述全同粒子體系的波函數(shù)必須是對(duì)稱化的波函數(shù)。交換簡(jiǎn)并的存在使我們有可能把波函數(shù)進(jìn)行線性組合。H的本征值和本征函數(shù)可以用單粒子哈密頓算符的本征值和本征函數(shù)163（1）費(fèi)米子體系的反對(duì)稱波函數(shù)1)由行列式性質(zhì)可知，展開式共有N！項(xiàng)，每一項(xiàng)均為中填入的各種不同排列，一半項(xiàng)系數(shù)為正，一半系數(shù)為負(fù)。因?yàn)槊恳豁?xiàng)均是H的屬于E的本征函數(shù).ⅱ）反對(duì)稱性任意兩粒子交換相當(dāng)于行列式中兩列交換，行列式值改變一個(gè)負(fù)號(hào)。（1）費(fèi)米子體系的反對(duì)稱波函數(shù)1)164iii）歸一化展開式的N！項(xiàng)每項(xiàng)都是歸一化的，而且互相正交的（因?yàn)椴煌瑔瘟Ｗ討B(tài)正交）因此歸一化系數(shù)為。iv)泡利不相容原理

如果N個(gè)單粒子態(tài)中有兩個(gè)單粒子態(tài)相同，則（7.7-8）行列式中有兩行相同，因而行列式等于零。這表示不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)密子處于同一狀態(tài)。這個(gè)結(jié)果稱為泡利不相容原理(2)玻色子系的對(duì)稱波函數(shù)iii）歸一化iv)泡利不相容原理如果N個(gè)165（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函數(shù)中的某一種排列，表示對(duì)所有可能的排列求和.i)同費(fèi)米子的情況（共N！項(xiàng)之和，每項(xiàng)都是H的屬于E的本征函數(shù)）ⅱ）對(duì)稱性共N！項(xiàng)之和，每項(xiàng)是中填入的各種不同的排列，各種排列都在求和之中，所以兩粒子交換只不過