《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)一、知識結(jié)構(gòu)框圖二、學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）知識與技能：會從不同角度探索基本不等式，會用基本不等式解決簡單的最值問題；（2）過程與方法：經(jīng)歷基本不等式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；（3）情感態(tài)度價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神，并在探究的過程中，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性三、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）基本不等式的定義，證明方法和幾何解釋（2）用基本不等式解決簡單的最值問題.難點(diǎn)：（1）基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡單最值問題.四、教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計(jì)意圖情境導(dǎo)學(xué)探新知情境1：展示第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，介紹趙爽弦圖歷史淵源.情境2：介紹知名校友國際數(shù)學(xué)新秀韋東奕.師：展示部分北京數(shù)學(xué)家大會的圖片，介紹發(fā)展史.生：欣賞和感受數(shù)學(xué)歷史文華,榜樣就在我們身邊.滲透德育，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性.合作探究釋疑難問題1：你能否從數(shù)學(xué)家的角度來欣賞會標(biāo)，由哪些幾何圖形構(gòu)成？蘊(yùn)含怎樣的不等關(guān)系？重要不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.師：提出問題1，留給學(xué)生一分鐘時(shí)間獨(dú)立思考.生：整個(gè)圖案由正方形和四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成.生：大正方形面積不小于四個(gè)直角三角形面積和.師：設(shè)直角三角形的直角邊分別為a,b,如何表示上述不等關(guān)系？師：觀察數(shù)學(xué)模型，當(dāng)a,b,滿足什么條件時(shí)，大正方形面積等于四個(gè)直角三角形面積和？生：時(shí)取得相等激發(fā)學(xué)生探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形出發(fā)抽象出重要不等式，為接下來基本不等式做鋪墊，體會數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合的思想.合作探究釋疑難問題2：由重要不等式出發(fā)，如何才能得到兩個(gè)正數(shù)和與積的不等關(guān)系？基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號.是兩個(gè)正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，是兩個(gè)正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)師：重要不等式體現(xiàn)了平方和與積的關(guān)系，你能想到哪些方法使其轉(zhuǎn)變成兩個(gè)正數(shù)和與積的關(guān)系？生：小組交流討論，時(shí)長3分鐘.生：可用正數(shù)代替原式中的a,b,即得到生：原不等式兩邊同時(shí)加即即師：何時(shí)取等？生：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?師：板書基本不等式體會代換方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，感受數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，通過分析基本不等式的結(jié)構(gòu)特征得到基本不等式的代數(shù)解釋，加深對基本不等式的認(rèn)識，多種方法下，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.合作探究釋疑難問題3：是否還有其它方式證明？做差法證明基本不等式.師：有哪些方式可以比較兩個(gè)代數(shù)式的大小？生：做差法.生：一人黑板板書做差法證明基本不等式，其余同學(xué)練習(xí)本證明.生：黑板上講解證明思路，過程.師：結(jié)合板書同學(xué)證明步驟，講強(qiáng)調(diào)取等的重要性.從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度實(shí)現(xiàn)基本不等式的證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識升華.合作探究釋疑難問題4：“當(dāng)時(shí)等號成立”“僅當(dāng)時(shí)等號成立”含義分別是什么？師：結(jié)合第一章我們研究的常用邏輯用語，你能否發(fā)現(xiàn)，“”和“等號成立”之間的關(guān)系？生：“當(dāng)時(shí)等號成立”是說“”是“等號成立”的充分條件;“僅當(dāng)時(shí)等號成立”是說“”是“等號成立”的必要條件，也就是“”和“等號成立”互為充要條件.師：肯定學(xué)生能夠前后知識融會貫通.強(qiáng)調(diào)基本不等式取等條件，加深學(xué)生對于等號是否成立的理性認(rèn)識.加強(qiáng)學(xué)生前后知識間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.合作探究釋疑難問題5：如圖AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b,過點(diǎn)C做垂直于AB的弦DE，連接AD,BD，你能利用這個(gè)圖形得到基本不等式的幾何解釋嗎？師：前后4人小組，4分鐘時(shí)間討論交流.生：小組討論，選派小組代表上臺為同學(xué)展示交流成果，其他同學(xué)做補(bǔ)充.師：肯定小組交流成果.師：幾何畫板動態(tài)演示，使學(xué)生直觀感受變與不變.師：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，半徑即為，，圓中直徑不小于任意一條弦，當(dāng)且僅當(dāng)弦過圓心時(shí)，二者相等.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)基本不等式的幾何解釋相對較困難，給出幾何圖形后，引導(dǎo)學(xué)生將和與圖中的幾何元素建立起聯(lián)系，再觀察這些幾何元素在變化中表現(xiàn)得大小關(guān)系，從而得到基本不等式的幾何解釋，幾何畫板演示增強(qiáng)視覺直觀，數(shù)形結(jié)合.典例練習(xí)夯基礎(chǔ)典例練習(xí)夯基礎(chǔ)題組一.對基本不等式的理解1.已知，則的最小值為（）2.已知且，則的最大值為（）A.3.給出下列條件：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；eq\o\ac(○,4)其中能使成立的條件有（）個(gè)個(gè)個(gè)D.4個(gè)師：最小值的含義是什么？學(xué)生思考后回答，教師總結(jié)，即求一個(gè)實(shí)數(shù)M，使所有值都大于等于M，并且能取到M.生：第一題可以利用基本不等式求得，首先滿足應(yīng)用條件代入公式，求得，當(dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)等號成立.師：引導(dǎo)學(xué)生在該題的基礎(chǔ)之上，對基本不等式進(jìn)行變形，得到（板書），總結(jié)得到“兩個(gè)正數(shù)積定和最小”生：第二題符合基本不等式應(yīng)用條件，代入公式求得，當(dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)等號成立.師：引導(dǎo)學(xué)生對基本不等式進(jìn)行變形得（板書），總結(jié)得到“兩個(gè)正數(shù)和定積最大”生：分析基本不等式的應(yīng)用前提，即兩個(gè)正數(shù)，將，看作兩個(gè)整體，要求a,b同號.師：學(xué)生共同總結(jié)應(yīng)用基本不等式的注意事項(xiàng)，教師補(bǔ)充，即“一正，二定，三相等”(板書).題組一是典型而較為簡單能夠用基本不等式求解的問題，通過本例的教學(xué)，可以幫助學(xué)生理解如何直接應(yīng)用基本不等式解決問題，設(shè)置三個(gè)題目，逐漸強(qiáng)化基本不等式的應(yīng)用條件，并由學(xué)生親自發(fā)現(xiàn)和總結(jié)公式變形，形成求解最值問題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步發(fā)展模型思想，整體思想.由題目出發(fā)，總結(jié)易錯(cuò)和注意事項(xiàng),加深學(xué)生對于基本不等式理解，增加學(xué)生獲得感，滿足感.典例練習(xí)夯基礎(chǔ)題組二基本不等式求最值1.已知，求的最小值2.已知，求的最大值師：引導(dǎo)學(xué)生觀察求最小值的代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，是否可以利用基本不式？如果可以，如何求？學(xué)生：思考后，介紹解題思路.師：板書詳細(xì)解題過程師：第二題，你有哪些方法可以求最大值？生：基本不等式法和函數(shù)法可以求得最大值.練習(xí)本完成.師：投影講解，強(qiáng)調(diào)步驟規(guī)范性.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所求代數(shù)式的形式，判斷能否利用基本不等式解決問題，同時(shí)強(qiáng)調(diào)代數(shù)式的最值必須是代數(shù)式能取到的值，為學(xué)生求解代數(shù)式的最值問題提供示范.課堂小結(jié)提素養(yǎng)課堂小結(jié)知識要點(diǎn)：

（1）基本不等式的條件及結(jié)構(gòu)特征

（2）基本不等式在幾何、代數(shù)兩方面的意義思想方法：

（1）數(shù)形結(jié)合思想

（2）整體與局部（3）模型思想師：引導(dǎo)同學(xué)們相互總結(jié)本節(jié)課的收獲和注意事項(xiàng).生：踴躍發(fā)言，從知識層面和思想方法兩個(gè)角度總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容.引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法，梳理課堂內(nèi)容，形成知