論文寫作 論線性空間與歐式空間的對比

目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1緒論31.1研究目的與研究意義31.2研究現(xiàn)狀31.3研究內(nèi)容3\o"CurrentDocument"2歐式空間簡介42.1提出背景4\o"CurrentDocument"2.2定義與基本性質(zhì)52.3度量矩陣8\o"CurrentDocument"2.4標(biāo)準(zhǔn)正交基92.5同構(gòu)12\o"CurrentDocument"2.6正交變換16\o"CurrentDocument"2.7對稱變換19\o"CurrentDocument"3線性空間簡介213.1線性空間的概念223.2線性變換的定義22\o"CurrentDocument"3.3線性變換的性質(zhì)和運(yùn)算23\o"CurrentDocument"3.4線性變換的矩陣24\o"CurrentDocument"4線性空間與歐式空間的對比284.1基礎(chǔ)域的對比討論284.2運(yùn)算的對比討論294.3基的對比討論294.4向量坐標(biāo)的對比討論294.5線性變換的對比討論29\o"CurrentDocument"4.6同構(gòu)的對比討論30\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)31\o"CurrentDocument"致謝32論線性空間與歐式空間的對比線性空間與歐式空間是《高等代數(shù)》的兩部分重要內(nèi)容，兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，簡要描述他們的定義、概念、特征，并從它們的基礎(chǔ)域、運(yùn)算、基、向量的坐標(biāo)、線性變換、同構(gòu)幾個(gè)方面進(jìn)行對比討論?！娟P(guān)鍵詞】歐式空間線性空間對比OnthecomparisonoflinearspaceandEuclideanspaceAbstractLinearspaceandEuclideanspaceis"HigherAlgebra"isthetwoimportantparts,theyaredifferentandcontact,abriefdescriptionofthedefinition,conceptandcharacteristicsofthem,andfromtheirbasicdomains,operation,matrix,vectorcoordinate,lineartransformationofseveralaspectsofthediscussionthan.【Keywords]Euclideanspacelinearspacecontrast1緒論1.1研究目的與研究意義線性空間與歐式空間是《高等代數(shù)》中兩部分重要內(nèi)容，兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系。本論文旨在從不同的方面對其進(jìn)行比較與討論。在線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算只有加法與數(shù)量乘法，統(tǒng)稱為線性運(yùn)算，如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個(gè)具體模型，那么就會發(fā)現(xiàn)向量的度量性質(zhì)，如長度，夾角等在線性空間的理論中沒有得到反映。但是向量的度量性質(zhì)在許多問題中（其中包括幾何問題）有著特殊的地位，所以有必要引入度量的概念。以解析幾何為例，向量的長度與夾角等度量性質(zhì)都可以通過向量的內(nèi)積來表示，向量的內(nèi)積有代數(shù)性質(zhì)。而線性空間無法研究這些性質(zhì)，所以引入了歐幾里得空間的概念，歐式空間概念的提出對于擴(kuò)大對解析幾何問題的研究有指導(dǎo)意義［1］。1.2研究現(xiàn)狀有限維線性空間是高等代數(shù)的一部分很重要的內(nèi)容，陳少軍曾在《有限維線性空間的基與維數(shù)研究》中對有限維的線性空間進(jìn)行研究。重點(diǎn)的介紹了幾種求有限維線性空間的基與維數(shù)的方法，其中包括一種常用而又很重要的方法：一般元素含有的相互獨(dú)立的待定數(shù)。對于歐式空間與線性空間的關(guān)系問題，張錦來教授研究了歐式空間上線性變換的若干問題，推導(dǎo)出歐式空間上的變換是線性變換的充分條件孫霞在《常見線性空間與歐式空間的基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法》一文中闡述到，高等代數(shù)的線性空間概念是重要的一個(gè)屬性，歐式空間的深入理解是認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要信息，而且線性空間與歐式空間的維數(shù)與正交基的標(biāo)準(zhǔn)是認(rèn)識空間的基礎(chǔ)。文章在對數(shù)域中對線性空間與歐式空間的方面進(jìn)行說明，探討數(shù)域P所起的作用，維數(shù)的基與標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法與步驟［2］。1.3研究內(nèi)容在我看來，歐式空間可以理解為幾何空間的度量性在線性空間推廣的結(jié)果。線性空間缺乏度量性，不能在線性空間上被描述向量的長度及向量間的夾角，這一不足制約了線性空間的使用。而向量的長度及向量的夾角在幾何空間都能通過向量的內(nèi)積來定義，所以只要在線性空間中加上內(nèi)積性質(zhì)，就使得線性空間具有了度量屬性。從大的方面來看，歐式空間就是具有內(nèi)積性的線性空間，但從基礎(chǔ)域、基、向量的坐標(biāo)、過渡矩陣、線性變換子空間、同構(gòu)等方面，他們又具有不同的性質(zhì)。這也是論文需要研究的內(nèi)容。2歐式空間簡介2.1提出背景約在公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得建立了角和空間中距離之間聯(lián)系的法則，現(xiàn)稱為歐幾里得幾何。歐幾里得首先開發(fā)了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空間的抽象數(shù)學(xué)空間中。這些數(shù)學(xué)空間可以被擴(kuò)展來應(yīng)用于任何有限維度，而這種空間叫做n維歐幾里得空間（甚至簡稱n維空間）或有限維實(shí)內(nèi)積空間。這些數(shù)學(xué)空間還可被擴(kuò)展到任意維的情形，稱為實(shí)內(nèi)積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數(shù)教科書中也被稱為歐幾里得空間。為了開發(fā)更高維的歐幾里得空間，空間的性質(zhì)必須嚴(yán)密地表達(dá)并被擴(kuò)展到任意維度。盡管這樣做的結(jié)果導(dǎo)致數(shù)學(xué)非常抽象，但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質(zhì)，即平面性。還另存在其他種類的空間，例如球面則非歐幾里得空間，相對論所描述的四維時(shí)空在重力出現(xiàn)的時(shí)候也不是歐幾里得空間［3-5］。有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據(jù)距離和角表達(dá)的特定聯(lián)系的點(diǎn)所成的集合。其一是平移，它意味著移動這個(gè)平面就使得所有點(diǎn)都以相同方向移動相同距離。其二是關(guān)于在這個(gè)平面中固定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，其中在平面上的所有點(diǎn)關(guān)于這個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相同的角度。歐幾里得幾何的一個(gè)基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉(zhuǎn)可以把一個(gè)圖形變換成另一個(gè)圖形，平面的兩個(gè)圖形（也就是子集）應(yīng)被認(rèn)為是等價(jià)的（全等）。歐幾里得空間的最后問題是它在技術(shù)上不是向量空間，而是向量空間作用于其上仿射空間。直覺上，區(qū)別在于對于原點(diǎn)應(yīng)當(dāng)位于這個(gè)空間的什么地方?jīng)]有標(biāo)準(zhǔn)選擇，因?yàn)樗梢缘教幰苿?。這種技術(shù)本文中很大程度上被忽略了。歐式空間，也可以稱為平直空間，在數(shù)學(xué)中是對歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個(gè)一般化把歐幾里德對于距離、以及相關(guān)的概念長度和角度，轉(zhuǎn)換成任意數(shù)維的坐標(biāo)系。這是有限維、實(shí)和內(nèi)積空間的“標(biāo)準(zhǔn)”例子。歐式空間是一個(gè)特別的度量空間，它使得我們能夠?qū)ζ涞耐負(fù)湫再|(zhì)，例如緊性加以調(diào)查。內(nèi)積空間是對歐式空間的一般化。內(nèi)積空間和度量空間都在泛函分析中得到了探討。歐式空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發(fā)揮了作用。一個(gè)定義距離函數(shù)的數(shù)學(xué)動機(jī)是為了定義空間中圍繞點(diǎn)的開球。這一基本的概念正當(dāng)化了在歐式空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分，會同導(dǎo)入機(jī)動性手法，局部歐式空間，探討了非歐氏流形的許多性質(zhì)。當(dāng)一個(gè)線性空間定義了內(nèi)積運(yùn)算之后它就成為了歐式空間。歐式空間是無窮

大的。在線性空間中，向量之間的運(yùn)算只有加法和數(shù)乘這兩種基本運(yùn)算，而向量的度量性質(zhì)，如長度、夾角、距離等，在線性空間中沒有得到反映。因此有必要在線性空間中引入度量的概念。而在解析幾何中我們看到，向量的長度與夾角等度量性質(zhì)都可以通過向量的內(nèi)積表示，所以我們選取內(nèi)積作為基本概念。在線性空間中引入內(nèi)積以后就成為歐式空間［6］。2.2定義與基本性質(zhì)【定義1】設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)線性空間，如果在V上定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，記作G,。)，稱為內(nèi)積。如果它有以下性質(zhì)：(a,P)=(P,a)(taR)=k(a,p)(a+P招二(a,y)+(B招(a,a)>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，(a,a)=0這里a,p,Y是V中任意向量，k是任意實(shí)數(shù)，就稱線性空間V對內(nèi)積(,P)構(gòu)成一個(gè)歐幾里得空間，簡稱歐式空間。注：1.二元函數(shù)意為對V中任意向量a,p，有唯一的實(shí)數(shù)對應(yīng)內(nèi)積的定義方法不唯一，不同的內(nèi)積構(gòu)成的歐式空間不同例：設(shè)V是一個(gè)n維實(shí)線性空間，在V中取定一組基。設(shè)A是一個(gè)正定矩陣，定義V的內(nèi)積如下:a=(811X2(a,p)=(x1f"1I^2(y11)/.2k>由于A為正定矩陣顯然這樣定義的內(nèi)積符合定義中所列條件。因此，V對內(nèi)積(,p)構(gòu)成一個(gè)歐式空間。a=(811X2(a,p)=(x1由于A為正定矩陣定義中的性質(zhì)1.說明內(nèi)積是對稱的。因此，與性質(zhì)2.及3.相對應(yīng)的有:

2L(a,州)=k(a,p)3，.(a,p+y)=(a,p)+(a,y)進(jìn)一步的，在歐式空間v中，對任意向量a,a，…,a；p,p，…,p及任意12s12t實(shí)數(shù)k,k，…,k；l,l，…,l，都有12s12亳2k"(,,p)i=1j=1【定義2】由(a,a)>0，設(shè)a是歐式空間中的一個(gè)向量，非負(fù)實(shí)數(shù)\.：'。0)稱為向量a的長度，記為aI。向量的長度一般都是正數(shù)，只有零向量的長度才等于零。我們把長度為1的向量稱為單位向量。長度的性質(zhì)：1.|ka|=|k|.|a|，keR,agV2-a+p|v|a|+|p|(運(yùn)用柯西-布捏可夫斯基不等式)a+p|2=(a+p,a+p)=Q,a)+2(x,p)+(p,p)證明：<q|2+2a||p|+|pI2=板|+叩考慮解析幾何中向量夾角;a,p的余弦可以通過內(nèi)積表示為cos：cos：a,p；=(a,p)由于|cos0|<1，因此，為了在歐式空間中引入夾角概念，必須首先證明【柯西-布捏可夫斯基不等式】對于歐式空間V中任意兩個(gè)向量a,p，都有

i(a,p—aipi當(dāng)且僅當(dāng)a,P線性相關(guān)時(shí)等號成立。證明：(分a,P線性相關(guān)或線性無關(guān)兩種情況)若a,P線性相關(guān)，不妨設(shè)0=kaPI|（a,0）=|（a,ka）=|k|阻,a]=|a||ka|=|aPI若a,0線性無關(guān)，那么對任意實(shí)數(shù)k，a+k0=0因此，（x+kp,a+kp）=（0,0》2+2（a,0》+Cx,a）＞0即實(shí)系數(shù)方程(0,0)x2+2(a,0^+(a,a)=0無實(shí)數(shù)解。因此，（a,0*-（0,0）a,a）<0即奴0)2<(0,0)a,a)兩邊開方，既得|偵0)<^|0|這時(shí)，我們就可以定義兩個(gè)向量的夾角。【定義3】歐式空間v中兩個(gè)非零向量a,0之間的夾角：ia,0;規(guī)定為a,0：=arccos","【定義4】如果向量a,0的內(nèi)積為零，即(a,0)=0。那么a,0稱為正交或垂直，記作a±0。顯然，兩個(gè)非零向量正交的充分必要條件是它們的夾角為-2并且，從定義可以看出，零向量與任何向量正交，零向量是唯一與自己正交的向量?！竟垂啥ɡ怼慨?dāng)a,0正交時(shí)，a+012=a|2+1012證：a+0|2=G+0,a+0)=(a,a)+(0,0)=|a|2+|012推廣到多個(gè)向量的情形，即如果向量氣地,…。〃兩兩正交，那么|a+a+…+a|2=|a』2+|a|2+…+|a|2

【定義5】設(shè)a,p是歐式空間v中兩個(gè)向量，它們之間的距離d（a,。）定義為

d（a,p）=a_p|距離的性質(zhì)有：d(a,p)=d(p,a),a_p))d(a,P)>0，當(dāng)且僅當(dāng)a,a_p))(d(a,p)=&—Pd(a,Y)<d(a,p)+d(p招dGy)=a_^=_p)+(3_y)證：11'''<|a_p+|p_Y2.3度量矩陣設(shè)v是一個(gè)n維線性空間，在V中取定一組基8『82,???,8，對V中兩個(gè)向量nna=X8+X8+…+X81122nnp=J8+J8++J81122nn?）有(a,0)=差?）有(a,0)=差nX^y8,8.任,8)

(8["Jnn)Ji任,8)

(8["Jnn)J這樣，就將向量之間的內(nèi)積通過基之間的內(nèi)積表示出來。因此，只需確定基之間的內(nèi)積即可。矩陣【定義6】設(shè)8「82,???,8n是歐式空間V的一組基G,8)...(8,8

(81,82)...(81,8矩陣222稱為基8],82廣?,8的度量矩陣。=XAYT在知道了一組基的度量矩陣之后，任意兩個(gè)向量的內(nèi)積就可以通過坐標(biāo)按上式計(jì)算，因而度量矩陣完全確定了內(nèi)積。2.3.1度量矩陣的性質(zhì)度量矩陣是正定矩陣證：由（，￡）=（.,￡），A為實(shí)對稱矩陣。又a70時(shí)，（X,O）>0，即X豐0時(shí)，XAXr>0，故A為正定矩陣。TOC\o"1-5"\h\z2.設(shè)E點(diǎn)，…點(diǎn)n,n，-,n分別是n維歐式空間v的兩組基，它們的度量矩12n12n陣分別為A和B，由￡上，…點(diǎn)至0n,n，…，門的過渡矩陣為C，那么B=CTAC12n12n（不同基的度量矩陣是合同的）。證明：￡,￡，…點(diǎn)至Un,n,??『的過渡矩陣為c12n12n即n=c￡+C￡+…+C￡=wc￡i1i12i2ninkikk=1因此bijC￡,二￡〕=室CC(￡上)=工乙以KkikijlJkiijklkiklij、k=1l=1/k=1l-1k=1l-bij即B=CtAC3.V是一個(gè)n維歐式空間，則任一正定矩陣D都可以看成V的某一組基的度量矩陣。（證明思想：n階正定矩陣都是合同的）特別的單位矩陣也可看成V的某一組基的度量矩陣。2.4標(biāo)準(zhǔn)正交基歐式空間與線性空間的主要差別是在歐式空間中有度量性質(zhì)，而度量性質(zhì)又是由內(nèi)積的概念做基礎(chǔ)，內(nèi)積可以通過度量矩陣表示。因此，如何選擇基，使得度量矩陣最簡單是一個(gè)重要問題?！径x7】歐式空間V中一組非零的向量，如果它們兩兩正交，就稱為一個(gè)正交向量組。顯然，正交向量組是線性無關(guān)的。在〃維歐式空間中，兩兩正交的非零向量不能超過n個(gè)?！径x8】在n維歐式空間中，由n個(gè)正交向量組成的基稱為正交基。由單位向量組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。設(shè)匕,％，…點(diǎn)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，由定義有，'點(diǎn)H當(dāng)；」j偵jT'2'i'"顯然，一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是：它的度量矩陣為單位矩陣。同時(shí)，由于度量矩陣的性質(zhì)3.在n維歐式空間中，標(biāo)準(zhǔn)正交基是存在的。在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量的內(nèi)積有特別簡單的表達(dá)式。設(shè)a=X8+X￡+…+X￡122nnP—J￡+J￡++J￡22nn(a,p)—xj+xj+…+xj—XtY1122nn這一內(nèi)積表達(dá)式，對于任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基都是一樣的。即所有的標(biāo)準(zhǔn)正交基，在歐式空間中有相同的地位。【定理1】n維歐式空間中任一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基。證明：設(shè)a1，a2，^,a是一正交向量組，我們對n-m作數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n-m—0時(shí)，a1，a2，—,a就是一組正交基了。假設(shè)n-m—k時(shí)定理成立，也就是說，可以找到向量p，P，…，P，使得12ka，a，…。，p，p，…，p成為一組正交基。12m12k現(xiàn)在來看n-m—k+1的情形，因?yàn)閙<n，所以一定有向量p不能被a1，a2，...，am線性表出，作向量a-p-ka-ka-???-ka這里k1，k2，…，ks是待定系數(shù)。用a,與am+1作內(nèi)積，得(a,a)=。,a)-k(a,a)(i=1,2,…,m)取取k=熾4iva,a)有(a,a「=0由P的選擇可知a1。0。因此，a『a2，…,a,a1是一正交向量組，根據(jù)歸納法假定，a],a2，...,a,由P的選擇可知【定理2】對于n維歐式空間中任意一組基七e2,…點(diǎn)，都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基氣yn，使L(,e，…,e)=L&,n，…,n)i=1,2,.,n12i12i證明：(施密特正交化)設(shè)E,E，…,E是一組基，我們來逐個(gè)的求出向量12nn12n12n-.一1首先，可取氣=時(shí)匕，一般的，假定已經(jīng)求出n『n2，…,n，匕們是單位正交的，具有性質(zhì)l(,e，…,e)=Lfn,n，…,n)i=1,2,…,m12i12i下一步求nm+1因?yàn)閘G,e，…,e)=L(n,n,…,n)，所以e不能被n,n,…,n線性表出。12m12mm+112m作向量&=e—21G,n由m+1m+1m+1iii=1顯然有，&+1豐0且白+1,n.)=0,i=1,2,.,m人&令n=——m+1m+1gm+1n「n2,…,nm，nm+1就是一單位正交向量組，同時(shí)l?,e2，…,Em+1)=L(n1,n2,...,%+])

【定理3】由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣。如果第一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基，同時(shí)兩組基之間的過渡矩陣是正交矩陣，那么第二組基一定也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。證明：設(shè)&點(diǎn)，…點(diǎn)及門m，…，門是歐式空間v的兩組基，并設(shè)由TOC\o"1-5"\h\z12n12n&上，…點(diǎn)到mm,???m的過渡矩陣是a12n12n）設(shè)&,&，…點(diǎn)及門m，…，門是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么它們的度量矩陣都是單12n12n位矩陣，又由&,&，…點(diǎn)到mm,???m的過渡矩陣是a,即12n12nE=AtEA=AtA所以a是一個(gè)正交矩陣。）設(shè)A是一個(gè)正交矩陣，如果E點(diǎn)，…,E是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么它的度量矩12n陣是單位矩陣，于是氣m2，???mn的度量矩陣為AtEA=AtA=E所以，氣電，…m是標(biāo)準(zhǔn)正交基。2.5同構(gòu)【定義9】實(shí)數(shù)域R上歐式空間v與V，稱為同構(gòu)的，如果由v到V，有一個(gè)雙射^，滿足1.曲很）+抑）1.曲很）+抑）2.3.此"）=叩這里a,PeV,尾R這樣的映射。稱為V到V'的同構(gòu)映射。如果b是歐式空間V到V'的一個(gè)同構(gòu)映射，那么b也是線性空間V到V'的一個(gè)同構(gòu)映射。因此，歐式空間的同構(gòu)具有線性空間同構(gòu)的性質(zhì)。設(shè)b是歐式空間V到V'的一個(gè)同構(gòu)映射：1.b（0）=0

2.b(2.b(-a)S)aeV3.G(ka+ka+...+ka)=ka(x)+ka(x)++ka(x)1122ss1122ss4.V中向量氣,a2，.,as線性相關(guān)的充分必要條件是他們的象5?)a(a2)…q(a)線性相關(guān)。歐式空間的同構(gòu)關(guān)系也具有反身性、對稱性、傳遞性。證明：(反身性)每個(gè)歐式空間到自身的恒等映射顯然是一同構(gòu)映射。因而同構(gòu)關(guān)系是反身的。(對稱性)設(shè)b是歐式空間V到V'的一個(gè)同構(gòu)映射，它的逆映射Q-1也適合定義中的1.與2.，且對于a,pgV'，有(a,p)=〈Q1(a))cG-1(p)!G-1(a)q-1(p))這就是說，b-1是V'到V的一個(gè)同構(gòu)映射，因而同構(gòu)關(guān)系是對稱的。(傳遞性)設(shè)b具分別是V到V，，V，到V〃的同構(gòu)映射，Ta適合定義中的1.與2.，且對于a,pgVUa)Tb(p)E(a))TG(p)))"b(p))=(a,p)這就是說Tb是V到V〃的一個(gè)同構(gòu)映射，因而同構(gòu)關(guān)系是傳遞的?！径ɡ?】兩個(gè)有限維歐式空間同構(gòu)的充分必要條件是它們的維數(shù)相等。證明：(必要性)如果歐式空間V與V，是同構(gòu)的，那么他們作為線性空間也是同構(gòu)的。所以他們的維數(shù)相同。(充分性)設(shè)歐式空間V與V'的維數(shù)相同都為n在V中取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基％,%,???,￡，在V，中取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基￡',￡',…,￡'12n定義V到V'的一個(gè)映射b為b(k￡+k￡+…+k￡)=k￡'+k￡'+…+k￡'1122nn1122nn顯然b是一個(gè)雙射，且Ja+B)=bG+b(P)如果a=X￡+X￡+…+X￡1122nnP—J￡+J￡++J￡1122nnb(a)-x￡'+x￡'+…+x￡1122nnb(p)-J￡'+J￡'+...+J￡‘1122nn由于￡,￡，…點(diǎn),￡',￡,…,￡都是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以12n12nGGbCp))-xj+xj+…+xj-G,p)1122nn因此b是歐式空間V到V，的一個(gè)同構(gòu)映射，故V與V'是同構(gòu)的。這個(gè)定理說明，歐式空間的結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)決定。五、子空間歐式空間的子空間對于元空間的內(nèi)積顯然也是一個(gè)歐式空間?，F(xiàn)在討論歐式空間中子空間的正交關(guān)系?！径x10】設(shè)V是歐式空間V的一個(gè)子空間。如果一個(gè)向量a對于任意的1PeVi，恒有(a,P)—0，則稱a與子空間匕正交，記為a±匕?！径x11】設(shè)匕，匕是歐式空間V的兩個(gè)子空間。如果對于任意的aeV,PeV，恒有(a,P)—0，則稱V,V為正交的，記為V±V。121212因?yàn)橹挥辛阆蛄颗c它自己正交，因此，若aeV，alV，則a—0若VlV2，則VnV2—折【定理4】如果子空間V,V，…,V兩兩正交，那么和V+V+…+V是直和。12s12s證明：設(shè)aieV,i—1,2,.,s，且a+a++a=0用a.與等式兩邊作內(nèi)積，得(a,a)二0從而a=0.即匕+V2+…+V是直和【定義12】子空間V稱為子空間V的一個(gè)正交補(bǔ)，如果V±V，并且2112V+V2=V。V1的正交補(bǔ)記為V;，維V])+維V;證：因?yàn)閂1±咋，V1+咋是直和又V1+咋二V，因此，維VJ+維V;TOC\o"1-5"\h\zV『恰好由V中與V正交的全部向量組成。11證明：當(dāng)v=h｝或v=v時(shí)，顯然成立。11設(shè)V主h｝且V主V，在V中取一組正交基￡上，…上，可以把它擴(kuò)充成v的11112m一組正交基￡,￡，…點(diǎn)上，…上，則12mm+1nV±=lG1,…,￡)設(shè)aeV，則a=a￡+a￡++a￡+a￡+???+a￡1122mmm+1m+1nn依次用￡,￡,???,￡與上式做內(nèi)積，得12maG.,￡)=0又G.,￡.)n0，所以a1=a2=.=am=0a=am+1￡m+1+???+依ef另一方面，當(dāng)然V;中任一向量都與V1正交，因此，咋恰好由V中與V1正交的全部向量組成。由此可知，若a1V由此可知，若a1V1則aeV11由V=V]十V;可知，V中任一向量a都可以唯一的分解為a=a+a其中a其中a1e匕性eV;我們稱a1為向量a在子空間匕上的內(nèi)映射。匕都是匕都是V的正交補(bǔ)，于是【定理5】n維歐式空間V的每一個(gè)子空間V都有唯一的正交補(bǔ)。1證明：如果v=h｝，那么它的正交補(bǔ)就是v，唯一性是顯然的。1設(shè)V7^｝，在V中取一組正交基e上，…上，可以把它擴(kuò)充成V的一組正1112mmm+1n交基E點(diǎn)，???,￡,￡,???,￡mm+1n由第二式+a，其中aeV,aeV31133由于a1a,a1a(a,a)=(a+a,a)=(a,a)+(a,a)=(a,a)=021131113111即a1=0，a=aeV同理可證V3uV2因此V2=V32.6正交變換【定義13】歐式空間V的線性變換A稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對于任意的a,PgV都有Ga,aP)4,p)【定理6】設(shè)是〃維歐式空間V的一個(gè)線性變換，于是下面四個(gè)命題是相互等價(jià)的：A是正交變換A保持向量的長度不變，即對于agV,Aa=a如果￡點(diǎn)，…點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么A&,A&，…,A&也是標(biāo)準(zhǔn)正交基12n12nA在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣證明：(1.與2.等價(jià))如果A是正交變換，那么Ga,Aa)=(a,a)兩邊開方，既得Aa=a反過來，如果A保持向量的長度不變，那么(Aa,Aa)=(a,a)(AP,AP)=(P,P)(AJ+p)A(a+p))=(a+p,a+p)又(A(a+p)A(a+p))=(Aa,Aa)+2(Aa,aP)+(AP,AP)(a+p,a+p)=(a,a)+2(a,p)+(p,p)即(Aa,aP)=S,P)A是正交變換(1.與3.等價(jià))設(shè)￡上，…點(diǎn)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，即12n￡七)={0當(dāng)；二?偵j*…，n)如果刀是正交變換，那么這就是說A￡yA￡2，…,A￡是標(biāo)準(zhǔn)正交基反過來，如果A￡1，班2，…,A￡是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么，由a=X￡+X￡+…+X￡1122nnp=J￡+J￡++J￡1122nnAa=xA￡+xA￡+…+xA￡Ap=jA￡+jA￡+...+jA￡Ga,AP)=xj+xj++xj=(x,p)1122因此，A是正交變換(3.與4.等價(jià))設(shè)A在標(biāo)準(zhǔn)正交基￡1，￡尸…,￡〃下的矩陣為A，即偵￡,A￡，…,A￡)=G,￡,???,￡)A12n12n如果A￡1,A￡2,…,A￡n是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么A可以看做由標(biāo)準(zhǔn)正交基￡,￡，—,￡到A￡,A￡，…,A￡的過渡矩陣，因此，A是正交矩陣。12n12n反過來，如果A是正交矩陣，那么A￡1，A￡2，…,A￡是標(biāo)準(zhǔn)正交基。因?yàn)檎痪仃囀强赡娴模⑶移淠婢仃囈彩钦痪仃?，兩個(gè)正交矩陣的乘積仍是正交矩陣，因此正交變換是可逆變換，其逆變換仍是正交變換兩個(gè)正交變換的乘積也是正交變換如果A是正交矩陣，那么由AAT=E可知，|a|2=1或者|a|=±1因此，正交變換的行列式等于+1或者-1。行列式等于+1的正交變換通常稱為旋轉(zhuǎn)，或者稱為第一類的；行列式等于-1的正交變換稱為第二類的。例：在歐式空間中任取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基￡上，…點(diǎn)，定義線性變換A為12nA￡=-￡,A￡.=￡.,i=1,2,…,n那么A就是一個(gè)第二類的正交變換，從幾何上看，這是一個(gè)鏡面反射?！径ɡ?】如果A是n維歐式空間V的一個(gè)正交變換，匕是A的一個(gè)不變子空間，則V1也是A的不變子空間。1證明：設(shè)aeV±，要證AaeVi，即Aa1V任取peV，APeV，因a1V(a,p)=0因此(Aa,AP)=(a,P)=0即Aa1V，AaeVi，V;也是A的不變子空間。2.7對稱變換【定義14】設(shè)A是歐式空間的一個(gè)線性變換，如果對V中任意兩個(gè)向量a,P，都有Ga,P)=3aP)則A稱為一個(gè)對稱變換?！径ɡ?】n維歐式空間V的線性變換A是對稱變換的充要條件是A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣都是對稱矩陣。

證明：（必要性）如果A是n維歐式空間V的一個(gè)對稱變換，￡上，…點(diǎn)是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交12n基，并設(shè)證明：（必要性）如果A是n維歐式空間V的一個(gè)對稱變換，￡上，…點(diǎn)是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交12n(aa…a、11121nA=aa…a.2122……2n…[an1an2…annJTOC\o"1-5"\h\z于是\o"CurrentDocument",￡)=C￡+a￡++a￡,￡)=aij1i12i2ninjji\o"CurrentDocument",a￡+a￡HFa￡)=ai1j12j2njnij因?yàn)锳是一個(gè)對稱變換，所以a=aG,j=1,2,...,n)即A是一個(gè)對稱矩陣（充分性）如果A在標(biāo)準(zhǔn)正交基￡1,￡尸…,￡n下的矩陣A是對稱的，那么對于V中任意兩個(gè)向量a,Pa=G,￡,…,￡）Xp=（￡,￡,…,￡Y其中X,Y分別是a,p對于基￡「￡2，…點(diǎn)的坐標(biāo)所對應(yīng)的列向量都有Ga,p）=（AX\Y=XtAtY=XtAY=（a,Ap）所以A是一個(gè)對稱變換。實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)復(fù)習(xí)：實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)實(shí)對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的對于任意一個(gè)n級實(shí)對稱矩陣A都存在一個(gè)n級正交矩陣T，使TtAT=T-1AT成對角形?！径ɡ?】如果A是n維歐式空間V的一個(gè)對稱變換，那么可以找到V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，使A在這組基下的矩陣是對角矩陣。證明：任取V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基E上，…點(diǎn)，則A在這組基下的矩陣a是一12n個(gè)實(shí)對稱矩陣，因此有正交矩陣乙使TtAT=T-1AT成對角形。令匕電，…,^)二(￡],%,???,￡T因T是正交矩陣，所以氣,％,…,^也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，而且A在*l，???mn下的矩陣就是對角矩陣t-1at【定理10】如果A是n維歐式空間V的一個(gè)對稱變換，V]是A的一個(gè)不變子空間，則V1也是A的不變子空間。1證明：設(shè)aeV±，要證AaeVi，即Aa1V任取peV1，都有APeV,因a1匕(a,AP)=0因此(Aa,p)=(a,AP)=0即Aa1V，AaeVi，V;也是A的不變子空間。3線性空間簡介線性空間是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，線性空間的理論不僅是高等代數(shù)的核心，它用公理化的方法引入了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng).同時(shí)線性空間與線性變換也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論時(shí)經(jīng)常用到的兩個(gè)極其重要的概念，而且廣泛滲透到各個(gè)領(lǐng)域中，如經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)、工程技術(shù)、自然科學(xué)等.所以線性空間理論既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要支柱，也是應(yīng)用很廣泛的理論之一。線性空間又被稱作向量空間，線性空間的概念是維向量空間概念的抽象和提高，它把直觀、具體的平面與集合空間推廣到了抽象的線性空間.所以從一定意義上來講，線性空間是幾何學(xué)的推廣與升華，特別是在解析幾何學(xué)中.3.1線性空間的概念定義：設(shè)V是非空集合，F(xiàn)是某一個(gè)數(shù)域：V上定義了一個(gè)加法運(yùn)算(也就是說，給出了一個(gè)對應(yīng)法則，按照這個(gè)法則，V中任意兩個(gè)元素a與p，在V中都有一個(gè)確定的元素Y與只對應(yīng)，稱為a與P的和，記法y=a+p)，同時(shí)也定義了一個(gè)用F上的數(shù)乘以V中元素，乘積保持為V中元素的數(shù)乘運(yùn)算(也就是說，給出了這樣一個(gè)對應(yīng)法則，對于F上的任意一個(gè)數(shù)人與V中任意一個(gè)元素a，按照這個(gè)法則，V中總有一個(gè)確定的元素5與之對應(yīng)，稱為人乘a的數(shù)乘積，有關(guān)這兩個(gè)運(yùn)算還滿足以下八條運(yùn)算律［7］：設(shè)a,p,yeV,人,咋F(1)a+p=p+a；⑵(a+p)+y=a+(p+y);V中存在零元素，記它為0，對任何V中元素a，都有a+0=a成立；對V中的任何元素a，V中一定還存在a的負(fù)元素，記為-a，使得a+(-a)=0；1a=a；人(pa)=X(pa)；(人+p)a=^a+pa；人(a+p)=Xa+Xp.這時(shí)便稱V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間.注：實(shí)數(shù)域R上的線性空間稱為是線性空間；復(fù)數(shù)域C上的線性空間稱為復(fù)線性空間.3.2線性變換的定義定義1線性空間V的一個(gè)變換A稱為線性變換，如果對于V中任意的元素a,p和數(shù)域p中任意數(shù)k，都有A(a+p)=A(a)+A(p),

A(ka)=kA(a).也可以把這兩個(gè)式子統(tǒng)一，線性空間V的一個(gè)線性變換A稱為線性變換，如果對于V中的任意a、6和數(shù)域P中的任意數(shù)k1、k2有A(ka+kp)=kA(a)+kA(p)注我們用花體拉丁字母A、B：…代表V的變換，，A(a)或Aa代表元素a在變換A下的像；例線性空間V中的恒等變換或稱為單位變換E即E(a)=a(aGV)3.3線性變換的性質(zhì)和運(yùn)算設(shè)A是V的線性變換，則A(0)=0，A(-a)=-A(a).證因?yàn)锳(-a)=A((-1)a)=(-1)A(a)=-A(a).線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變.證令8=ka1+ka2+?.?+ka.線性變換A作用兩邊有A(8)=kA(a)+kA(a)+..?+kA(a).

1122rr設(shè)A、B是線性空間V的兩個(gè)線性變換，它們的乘積(AB)(a)=A(B(a))(aeV).其它運(yùn)算(AB)C=A(BC)；A(a)+B(a)=(a+B)(a);A+(B+C)=(A+B)+C；A+B=B+A；A(B+C)=AB+AC；(B+C)A=BA+CA.B稱為A的逆變換，如果AB=BA=E，記為At，At是線性變換。線性變換指數(shù)的法則：Am+n=AmA,(Am)n=Amn(m,nZ0)當(dāng)線性變換A可逆時(shí)有A-n=(A-1)n(n是正整數(shù))設(shè)f(x)=axm+a.xm-i+...+a是P[x]中一多項(xiàng)式，A是V中的一線性變換，我們定義f(A)=aAm+a.Am-i+..?+aE

f(A)稱為線性變換的A的多項(xiàng)式3.4線性變換的矩陣3.4.1線性變換A對應(yīng)矩陣A的性質(zhì)定義2設(shè)81+82...+8n是數(shù)域P上n維線形空間V的一組基，A是V中的一個(gè)線性變換，基向量的像可以被基線性表出：A8—a8+a8HFa8,111212n1nA8—t2a8+a8+???+a8,121222n2nA8—a8用矩陣乘法表示就是n1+a8+???+a8n-A(8+8?12??+8)=(A8，A8…n12A8)n=(81，82???8)A其中a11a??12a13A=a：21a…22a：23(a、n1a…n2annI矩陣A稱為A在基8，8,...8下的矩陣。12n引出以上定義的有定理1設(shè)81，82，...七線性空間V中任意n個(gè)向量，存在唯一的線性變換A使A8=設(shè)81，82，...七線性空間V中任意n個(gè)向量，存在唯一的線性變換A使注定理說明線性變換后的像仍舊是V中一個(gè)向量設(shè)81,82是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基，在這組基下，每個(gè)線性變換按公式(5)對應(yīng)一個(gè)nxn矩陣，這個(gè)對應(yīng)具有以下性質(zhì):線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和；線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積；線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣；注線性變換A對應(yīng)A的秩為AV的維數(shù)，而V的維數(shù)n=A的秩+A的零度,故矩陣A的秩應(yīng)不大于V的維數(shù).3.4.2相似矩陣定理2設(shè)線性空間V中線性變換A在兩組基8,￡,???￡下的矩陣分別為A和B，從基(6)到(7)的過度矩陣是X,于是B=X-1AX.定義3設(shè)A,B為數(shù)域P上兩個(gè)n級矩陣，如果可以找到數(shù)域P上的n級可逆矩陣X，使得B=X-1AX，就說A相似于B，記作A相B.注也就是說定理3中矩陣A，B相似，并且可逆.相似矩陣具有以下性質(zhì)：反身性:A相似A；對稱性:如果A相似B，那么B相似A；傳遞性：如果A相似B，B相似C，那么A相似C.3.4.3對角矩陣定義4設(shè)A是數(shù)域P上空間V的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域P中的一個(gè)氣，存在一個(gè)非零向量&，使得A&=人&.0那么稱為A的一個(gè)特征值，而&稱為A的屬于特征值氣的一個(gè)特征向量.定理3設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，A的矩陣可以在某組基下為對角矩陣的充分必要條件是，A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.A在基81，82，...8.下的矩陣形式:2n定理4如果人,人，…人是線性變換A的不同的特征值，而a,a,...a是屬12nz1i2iri于特征值七的線性無關(guān)的特征向量，i=1,2,..?n，那么向量組a,a...a...a,a...a...aa...a也線性無關(guān).11121七21222r2k1,k2krk注對于一個(gè)線性變換，求出屬于每個(gè)特征值的線性無關(guān)的特征向量，把它們合在一起還是線性無關(guān)的.如果它們的個(gè)數(shù)等于空間的維數(shù)，那么這個(gè)線性變換在一組合適的基下的矩陣是對角矩陣.定義5設(shè)A是數(shù)域P上一n級矩陣，人是一個(gè)文字，矩陣人E-A的行列式

人1一-|XE-A\=TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a—a…—a11121n:人??-—a2122n?????????:n1氣…七稱為A的特征多項(xiàng)式，這是數(shù)域P上的一個(gè)乃級多項(xiàng)式.人1一-|XE-A\=例1設(shè)線性變換A在基E,E，…E下的矩陣是12n(122\A=212，"221)求由％,%，???￡組成的特征向量，及特征向量對應(yīng)的對角矩陣.解因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為人-1—2—2XE—A=—2人一1—2=(人+1)2(1—5).—2—2X—1所以特征值是-1(二重)與5.把-1代入齊次方程組(X—1)x—2x—2x=0;<—2x+(X—1)x—2x=0;—2x—2x+(X—1)x=0.°123得到—2x—2x—2x=0;

123<—2x—2x—2x=0;—2x—2x—2x=0.133它的的基礎(chǔ)解系是(11(010，1—1kLJ-1k因此，屬于-1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是&jTe2，§=8-8而屬于-1的全部特征向量就是k§+k&，k,k取遍數(shù)域P中不全為零的數(shù)對.TOC\o"1-5"\h\z112212再把特征值5代入，得\o"CurrentDocument"4x—2x—2x=0;\o"CurrentDocument"<—2x+4x—2x=0;\o"CurrentDocument"—2x—2x+4x=0.V133它的基礎(chǔ)解系是1因此，屬于5的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是q=￡+￡+￡，故線性變換A的特征值-1（二重）與5,對應(yīng)的特征向量是&廣匕-e2,&2=e2-S3,&=e+e+e.3123由此可見，A在基e「e2,e3的過度矩陣是（101）x=011"-1-11J對在e「e2,e3下的對角矩陣'-100、B=X-1AX=0-10"005J例2設(shè)三維線性空間V上的線性變換A在基下e,e,e下的矩陣為123aaa111213aaa212223aaa313233v1）求A在基e3,e2,e1下的矩陣;2）求A在基e「ke2,e3下的矩陣，其中kgP且k主0；3）求A在基e1+e2,e2,e3下的矩陣.解1）因TOC\o"1-5"\h\zAe=ae+ae+ae3333232131Ae=ae+ae+ae2323222121Ae=ae+ae+ae

1313212111故，a在基e,e,e下的矩陣為123

aaa333231B=aaa1232221、aaa,312111a,TOC\o"1-5"\h\zA&=a8+-^i(kE)+aS

1111k2313A(k8)=ka8+a(kS)+ka8121222323aAS=a8+^3(kS)+a8131k2331故A在基81,k82,83下的矩陣為A(8+8)=(a+A(8+8)=(a+a)(8+8)+(a+aA8=a(8+8)+(a—a)8+a82121222122323A8=a(8+8)+(a—a)8+a822—a—a)8+(a+a)8113131223132(akaa)111213aaB=-^1a-^32k22kakaaJ313233故A在基81+82,82,83下的矩陣為a21Ia+a21Ia