向量代數(shù)與空間解析幾何講義課件

第六章向量代數(shù)與空間解析幾何(二)典型例題主要內(nèi)容堂上練習(xí)題小結(jié)1第六章向量代數(shù)與空間解析幾何(二)典型例題主要內(nèi)容堂上一、主要內(nèi)容第4節(jié)平面的方程一、平面的點法式方程經(jīng)過點法向量為的平面的點法式方程為:關(guān)鍵確定平面的法向量2一、主要內(nèi)容第4節(jié)平面的方程一、平面的點法式方程經(jīng)過點法一般地,過不在同一直線上的三點的平面方程為:----稱為平面的三點式方程3一般地,過不在同一直線上的三點的平面方程為:----稱為平面平面的點法式方程

平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程

任意一個形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.熟記平面的幾種特殊位置4平面的點法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標原點；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于xOy坐標面；類似地可討論類似地可討論軸軸xOz面yOz面(由法向量可知)平面的一般方程缺誰//誰5平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標原點；平面通過軸今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便!當(dāng)平面不與任何坐標面平行,且不過原點時,才有截距式方程.并作圖.?化為截距式方程,平面的截距式方程6今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便!定義（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角兩平面的夾角.7定義（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角兩平按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//兩平面垂直、平行的充要條件取銳角8按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：/點到平面的垂直距離外一點,四、點到平面的距離并作向量即由于9點到平面的垂直距離外一點,四、點到平面的距離并作向量即由于9的距離公式為10的距離公式為10點到平面距離公式結(jié)論:兩平行平面之間的距離:11點到平面距離公式結(jié)論:兩平行平面之間的距離:11第5節(jié)直線的方程定義空間直線可看成兩平面的交線.空間直線的一般方程一、空間直線的一般式方程L注(2)直線L的一般方程形式不是唯一的.12第5節(jié)直線的方程定義空間直線可看成兩平面的交線.空間直線方向向量的定義如果一非零向量平行于//二、空間直線的點向式方程與參數(shù)方程1.點向式方程

一條直線可以有許多方向向量.求此直線的方程一條已知直線,這個向量稱為這條直線的方向向量.方向數(shù).向量的方向余弦稱為直線的方向余弦.13方向向量的定義如果一非零向量平行于//二、空間直線的點向式方直線的對稱式方程令直線的參數(shù)方程因為故//故直線方程的幾種形式可以互相轉(zhuǎn)換.(點向式、標準式）14直線的對稱式方程令直線的參數(shù)方程因為故//故直線方程的幾種形則直線的一個方向向量為:

于是對稱式方程可寫成:一般,如直線過兩點----直線的兩點式方程15則直線的一個方向向量為:于是對稱式方程可寫成2.直線的一般方程化為對稱式方程

怎樣將直線的一般方程(1)用代數(shù)的消元法化為比例式;有兩種方法?(2)在直線上找一定點,再求出方向向量,(重要)化為對稱式方程即寫出對稱式方程.162.直線的一般方程化為對稱式方程怎樣將直線的一般方程(13.直線的參數(shù)方程上式何時有用如求直線的參數(shù)方程故?答:直線與平面的交點.173.直線的參數(shù)方程上式何時有用如求直線的參數(shù)方程故?答:定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱之.兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角（銳角）18定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱之.兩直線的夾角公式三兩直線的位置關(guān)系://直線直線例(兩直線垂直、平行的條件)19兩直線的位置關(guān)系://直線直線例(兩直線垂直、平行的條件)1直線和它在平面上的投影直線的定義^^四、直線與平面的夾角夾角稱之.20直線和它在平面上的投影直線的定義^^四、直線與平面的夾角夾角直線與平面的夾角公式直線與平面的//(直線與平面垂直、平行的充要條件)位置關(guān)系：21直線與平面的夾角公式直線與平面的//(直線與平面垂直、平行的設(shè)有兩塊不平行的平面其中系數(shù)不互相成比例交成一條直線L過直線L的所求全體平面平面束(3)表示過直線L的平面?五、過直線的平面束22設(shè)有兩塊不平行的平面其中系數(shù)不互相成比例交成一條直線L過直線第6節(jié)曲面及其方程掌握幾種特殊的曲面方程與圖形1.球面23第6節(jié)曲面及其方程掌握幾種特殊的曲面方程與圖形1.球柱面方程（其他類推）直角坐標系中表示平行于z軸的柱面,在空間為xOy面上的曲線C.其準線2.圓柱面24柱面方程（其他類推）直角坐標系中表示平行于z軸的柱面,在空間

曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動,

總之,位于坐標面上的曲線C,繞其上的一個坐標軸轉(zhuǎn)動,所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到:而用另兩個的變量的平方和的平方根(加正、負號)替代曲線方程中另一個變量即可.旋轉(zhuǎn)曲面方程25曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動,旋轉(zhuǎn)曲面方程:旋轉(zhuǎn)一周的如繞z軸同理,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為26旋轉(zhuǎn)曲面方程:旋轉(zhuǎn)一周的如繞z軸同理,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲3.圓錐面4.旋轉(zhuǎn)拋物面273.圓錐面4.旋轉(zhuǎn)拋物面275.橢球面6.單葉雙曲面7.雙葉雙曲面285.橢球面6.單葉雙曲面7.雙葉雙曲面288.雙曲拋物面(馬鞍面)方程z=xy表示什么曲面？馬鞍面298.雙曲拋物面(馬鞍面)方程z=xy表示什么曲面？第7節(jié)空間曲線及其方程空間曲線的一般方程空間曲線C可看作特點：一、空間曲線的一般方程曲線上的點都滿足方程,滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.空間兩曲面的交線.30第7節(jié)空間曲線及其方程空間曲線的一般方程空間曲線C可看作空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的就得到曲線上的一個點全部點.31空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程隨著參數(shù)的變化可得到消去變量z后得：曲線關(guān)于xOy的設(shè)空間曲線C的一般方程：投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標面上的投影此柱面必包含曲線C,以曲線C為準線、

C投影柱面.母線垂直于所投影的坐標面.32消去變量z后得：曲線關(guān)于xOy的設(shè)空間曲線C的一般方程：投影類似地:可定義空間曲線在其它坐標面上的投影.yOz面上的投影曲線xOz面上的投影曲線空間曲線在xOy面上的投影曲線(或稱投影)(即為曲線關(guān)于xOy面的投影柱面)(即為xOy

面)

C(即為投影柱面與xOy面的交線)33類似地:可定義空間曲線在其它坐標面上的投影.yOz面上的投二、典型例題例1求平行于軸且過點的平面方程.解:設(shè)所求平面方程為:則解得于是所求平面方程為:問:能否設(shè)所求平面方程為?考慮:求平行于軸且過點的平面方程.34二、典型例題例1求平行于軸且過點的平面方程.解:設(shè)所求平例2求過軸且與平面的平面方程.提示:設(shè)所求平面方程為利用平面的夾角公式得到所求平面為35例2求過軸且與平面的平面方程.提示:設(shè)設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件)解例3所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.求平行于平面而與三個坐標面36設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件)代入體積式所求平面方程為所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.求平行于平面而與三個坐標面37代入體積式所求平面方程為所圍成的四面體體積為一個單位的平面方解例4求這平面方程.設(shè)所求平面為在已知平面上任取一點或故所求平面為或38解例4求這平面方程.設(shè)所求平面為在已知平面上任取一點或故所求解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點N,令.

M垂直相交的直線方程.例539解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平交點取所求直線的方向向量為直線方程為代入得將.

M40交點取所求直線的方向向量為直線方程為代入得將.M40解設(shè)所求直線的方向向量為取所求直線的方程例6的交線平行的直線方程.過已知直線外一點作直線與已知直線平行41解設(shè)所求直線的方向向量為取所求直線的方程例6的交線平行的直線解設(shè)平面束方程由即由例7.42解設(shè)平面束方程由即由例7.42例8求通過直線L:且垂直于平面的平面方程,并求直線L在平面上的投影直線的方程.43例8求通過直線L:且垂直于平面的平面方程,并求直線L在方程表示()(A)雙曲柱面;(D)錐面.(C)雙葉雙曲面;(B)旋轉(zhuǎn)雙曲面;B橢圓拋物面雙曲拋物面(馬鞍面）填空設(shè)有曲面方程則方程表示的曲面為方程表示的曲面為??選擇44方程表示()(A)雙曲柱面;(D)錐面.(雙葉雙曲面,它的對稱軸在軸上.y橢圓錐練習(xí)45雙葉雙曲面,它的對稱軸在軸上.y橢圓錐練習(xí)45例9求錐面與柱面所圍成得立體在三個坐標面上的投影.解:交線為在xoy面上:在xoz面上:在yoz面上:包含46例9求錐面與柱面所圍成得立體在三個坐標面上的投影.解:例10將曲線化為參數(shù)方程解:消去z得令則于是所求參數(shù)方程為47例10將曲線化為參數(shù)方程解:消去z得令則于是所求參數(shù)方

選擇題1.曲線在xOy面上的投影柱面方程是().A三、堂上練習(xí)48選擇題1.曲線在xOy面上的投影柱面方程是(

2.

球面與交線在xOy面上投影曲線方程是()．D492.球面表示().(A)雙曲柱面與平面x=2交線;(B)雙曲柱面;(C)雙葉雙曲面;(D)單葉雙曲面.A3.50表示().(A)雙曲柱面與平面x=2填空題4.母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是5.雙曲拋物面(馬鞍面)與xOy面的交線是相交于原點的兩條直線.51填空題4.母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是曲面方程和空間曲線方程的概念了解平面方程,直線方程掌握其求法平面與平面,平面與直線,直線與直線的夾角以及平行垂直的條件會求會利用平面,直線的關(guān)系解決問題點到平面和點到直線的距離會求球面,柱面,旋轉(zhuǎn)曲面會求其方程常用的二次曲面方程及其圖形了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程了解空間曲線在坐標面上的投影曲線方程了解并會求四、小結(jié)52曲面方程和空間曲線方程的概念了解平面方程,直線方程掌握其求法第六章向量代數(shù)與空間解析幾何(二)典型例題主要內(nèi)容堂上練習(xí)題小結(jié)53第六章向量代數(shù)與空間解析幾何(二)典型例題主要內(nèi)容堂上一、主要內(nèi)容第4節(jié)平面的方程一、平面的點法式方程經(jīng)過點法向量為的平面的點法式方程為:關(guān)鍵確定平面的法向量54一、主要內(nèi)容第4節(jié)平面的方程一、平面的點法式方程經(jīng)過點法一般地,過不在同一直線上的三點的平面方程為:----稱為平面的三點式方程55一般地,過不在同一直線上的三點的平面方程為:----稱為平面平面的點法式方程

平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程

任意一個形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.熟記平面的幾種特殊位置56平面的點法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標原點；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于xOy坐標面；類似地可討論類似地可討論軸軸xOz面yOz面(由法向量可知)平面的一般方程缺誰//誰57平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標原點；平面通過軸今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便!當(dāng)平面不與任何坐標面平行,且不過原點時,才有截距式方程.并作圖.?化為截距式方程,平面的截距式方程58今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便!定義（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角兩平面的夾角.59定義（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角兩平按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//兩平面垂直、平行的充要條件取銳角60按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：/點到平面的垂直距離外一點,四、點到平面的距離并作向量即由于61點到平面的垂直距離外一點,四、點到平面的距離并作向量即由于9的距離公式為62的距離公式為10點到平面距離公式結(jié)論:兩平行平面之間的距離:63點到平面距離公式結(jié)論:兩平行平面之間的距離:11第5節(jié)直線的方程定義空間直線可看成兩平面的交線.空間直線的一般方程一、空間直線的一般式方程L注(2)直線L的一般方程形式不是唯一的.64第5節(jié)直線的方程定義空間直線可看成兩平面的交線.空間直線方向向量的定義如果一非零向量平行于//二、空間直線的點向式方程與參數(shù)方程1.點向式方程

一條直線可以有許多方向向量.求此直線的方程一條已知直線,這個向量稱為這條直線的方向向量.方向數(shù).向量的方向余弦稱為直線的方向余弦.65方向向量的定義如果一非零向量平行于//二、空間直線的點向式方直線的對稱式方程令直線的參數(shù)方程因為故//故直線方程的幾種形式可以互相轉(zhuǎn)換.(點向式、標準式）66直線的對稱式方程令直線的參數(shù)方程因為故//故直線方程的幾種形則直線的一個方向向量為:

于是對稱式方程可寫成:一般,如直線過兩點----直線的兩點式方程67則直線的一個方向向量為:于是對稱式方程可寫成2.直線的一般方程化為對稱式方程

怎樣將直線的一般方程(1)用代數(shù)的消元法化為比例式;有兩種方法?(2)在直線上找一定點,再求出方向向量,(重要)化為對稱式方程即寫出對稱式方程.682.直線的一般方程化為對稱式方程怎樣將直線的一般方程(13.直線的參數(shù)方程上式何時有用如求直線的參數(shù)方程故?答:直線與平面的交點.693.直線的參數(shù)方程上式何時有用如求直線的參數(shù)方程故?答:定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱之.兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角（銳角）70定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱之.兩直線的夾角公式三兩直線的位置關(guān)系://直線直線例(兩直線垂直、平行的條件)71兩直線的位置關(guān)系://直線直線例(兩直線垂直、平行的條件)1直線和它在平面上的投影直線的定義^^四、直線與平面的夾角夾角稱之.72直線和它在平面上的投影直線的定義^^四、直線與平面的夾角夾角直線與平面的夾角公式直線與平面的//(直線與平面垂直、平行的充要條件)位置關(guān)系：73直線與平面的夾角公式直線與平面的//(直線與平面垂直、平行的設(shè)有兩塊不平行的平面其中系數(shù)不互相成比例交成一條直線L過直線L的所求全體平面平面束(3)表示過直線L的平面?五、過直線的平面束74設(shè)有兩塊不平行的平面其中系數(shù)不互相成比例交成一條直線L過直線第6節(jié)曲面及其方程掌握幾種特殊的曲面方程與圖形1.球面75第6節(jié)曲面及其方程掌握幾種特殊的曲面方程與圖形1.球柱面方程（其他類推）直角坐標系中表示平行于z軸的柱面,在空間為xOy面上的曲線C.其準線2.圓柱面76柱面方程（其他類推）直角坐標系中表示平行于z軸的柱面,在空間

曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動,

總之,位于坐標面上的曲線C,繞其上的一個坐標軸轉(zhuǎn)動,所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到:而用另兩個的變量的平方和的平方根(加正、負號)替代曲線方程中另一個變量即可.旋轉(zhuǎn)曲面方程77曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動,旋轉(zhuǎn)曲面方程:旋轉(zhuǎn)一周的如繞z軸同理,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為78旋轉(zhuǎn)曲面方程:旋轉(zhuǎn)一周的如繞z軸同理,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲3.圓錐面4.旋轉(zhuǎn)拋物面793.圓錐面4.旋轉(zhuǎn)拋物面275.橢球面6.單葉雙曲面7.雙葉雙曲面805.橢球面6.單葉雙曲面7.雙葉雙曲面288.雙曲拋物面(馬鞍面)方程z=xy表示什么曲面？馬鞍面818.雙曲拋物面(馬鞍面)方程z=xy表示什么曲面？第7節(jié)空間曲線及其方程空間曲線的一般方程空間曲線C可看作特點：一、空間曲線的一般方程曲線上的點都滿足方程,滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.空間兩曲面的交線.82第7節(jié)空間曲線及其方程空間曲線的一般方程空間曲線C可看作空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的就得到曲線上的一個點全部點.83空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程隨著參數(shù)的變化可得到消去變量z后得：曲線關(guān)于xOy的設(shè)空間曲線C的一般方程：投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標面上的投影此柱面必包含曲線C,以曲線C為準線、

C投影柱面.母線垂直于所投影的坐標面.84消去變量z后得：曲線關(guān)于xOy的設(shè)空間曲線C的一般方程：投影類似地:可定義空間曲線在其它坐標面上的投影.yOz面上的投影曲線xOz面上的投影曲線空間曲線在xOy面上的投影曲線(或稱投影)(即為曲線關(guān)于xOy面的投影柱面)(即為xOy

面)

C(即為投影柱面與xOy面的交線)85類似地:可定義空間曲線在其它坐標面上的投影.yOz面上的投二、典型例題例1求平行于軸且過點的平面方程.解:設(shè)所求平面方程為:則解得于是所求平面方程為:問:能否設(shè)所求平面方程為?考慮:求平行于軸且過點的平面方程.86二、典型例題例1求平行于軸且過點的平面方程.解:設(shè)所求平例2求過軸且與平面的平面方程.提示:設(shè)所求平面方程為利用平面的夾角公式得到所求平面為87例2求過軸且與平面的平面方程.提示:設(shè)設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件)解例3所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.求平行于平面而與三個坐標面88設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件)代入體積式所求平面方程為所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.求平行于平面而與三個坐標面89代入體積式所求平面方程為所圍成的四面體體積為一個單位的平面方解例4求這平面方程.設(shè)所求平面為在已知平面上任取一點或故所求平面為或90解例4求這平面方程.設(shè)所求平面為在已知平面上任取一點或故所求解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點N,令.

M垂直相交的直線方程.例591解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平交點取所求直線的方向向量為直線方程為代入得將.

M92交點取所求直線的方向向量為直線方程為代入得將.M40解設(shè)所求直線的方向向量為取所求直線的方程例6的交線平行的直線方程.過已知直線外一點作直線與已知直線平行93解設(shè)所求直線的方向向量為取所求直線的方程例6的交線平行的直線解設(shè)平面束方程由即由例7.94解設(shè)平面束方程由即由例7.42例8求通過直線L:且垂直于平面的平面方程,并求直線L在平面上的投影直線的方程.95例8求通過直線L:且垂直于平面的平面方程,并求直線L在方程表示()(A)雙曲柱面;(D)錐面.(C)雙葉雙曲面;