2023高考真題知識總結方法總結題型突破：25 三角形中面積的計算問題(學生版)

專題25三角形中面積的計算問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅱ)記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．2．(2022·浙江)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【知識總結】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．變形(1)a＝eq\f(bsinA,sinB)，b＝eq\f(asinB,sinA)，c＝eq\f(asinC,sinA)；(2)sinA＝eq\f(asinB,b)，sinB＝eq\f(bsinA,a)，sinC＝eq\f(csinA,a)；(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．2．三角形面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r，R為別是△ABC內切圓半徑和外接圓半徑)，并可由此計算R、r．3．解三角形有關的二級結論(1)三角形內角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)．(2)三角形中的三角函數(shù)關系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠eq\f(π,2))；④sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；⑤coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠eq\f(π,2))．(3)三角形中的不等關系①在三角形中大邊對大角，大角對大邊．②A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB．③若△ABC為銳角三角形，則A＋B>eq\f(π,2)，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC為鈍角三角形(假如C為鈍角)，則A＋B<eq\f(π,2)，sinA<cosB，cosA>sinB．④c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為銳角．⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinx＜x＜tanx．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則1＜sinx＋cosx≤eq\r(2)．(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．注意：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：①若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；②若式子中含有a，b，c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”，然后進行三角恒等變換；③若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；④含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；⑤同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理．【方法總結】三角形中面積的計算問題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，此類問題一般是一問計算角或邊，另一問計算面積．對于計算面積的一問一般用公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．但要結合三角恒等變換并同時用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【題型突破】1．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2－ab－2b2＝0．(1)若B＝eq\f(π,6)，求A，C；(2)若C＝eq\f(2π,3)，c＝14，求S△ABC．2．(2014·浙江)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大??；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．3．(2017·全國Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2．(1)求c；(2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．4．如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，滿足AD⊥AC，cos∠BAC＝－eq\f(1,3)，AB＝3eq\r(2)，BD＝eq\r(3)．(1)求AD的長；(2)求△ABC的面積．5．已知△ABC內接于半徑為R的圓，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．(1)求A；(2)若AD是BC邊上的中線，AD＝eq\f(\r(19),2)，求△ABC的面積．6．已知△ABC是斜三角形，內角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c．若csinA＝eq\r(3)acosC．(1)求角C；(2)若c＝eq\r(21)且sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，求△ABC的面積．7．(2020·全國Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知B＝150°．(1)若a＝eq\r(3)c，b＝2eq\r(7)，求△ABC的面積；(2)若sinA＋eq\r(3)sinC＝eq\f(\r(2),2)，求C．8．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC－ccos(B＋C)＝－eq\f(b,3cosA＋B)．(1)求tanC；(2)若c＝3，sinAsinB＝eq\f(16,27)，求△ABC的面積．9．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，點D在BC上，且cos∠ADC＝eq\f(1,7)．(1)求BD；(2)若cos∠CAD＝eq\f(\r(3),2)，求△ABC的面積．10．在△ABC中，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B＝eq\f(2π,3)，b＝eq\r(6)．(1)若cosAcosC＝eq\f(2,3)，求△ABC的面積；(2)試問eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1能否成立？若能成立，求此時△ABC的周長；若不成立，請說明理由．11．(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積；(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．12．(2020·北京)在△ABC中，a＋b＝11，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面積．條件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)；條件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16)．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．13．在①cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)；②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°；③c＝2，cosA＝eq\f(1,8)三個條件中任選一個填至橫線上，并加以解答．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面積S．(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)14．從①B＝eq\f(π,3)，②a＝2，③bcosA＋acosB＝eq\r(3)＋1這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解決相應問題．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝eq\r(6)，且________，求△ABC的面積S的大?。?5．在條件①(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，②asinB＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，③bsineq\f(B＋C,2)＝asinB中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b＋c＝6，a＝2eq\r(6)，________，求△ABC的面積．16．在①2ccosB＝2a－b，②△ABC的面積為eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)，③cos2A－cos2C＝sin2B－sinAsinB，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．(如果選擇多個條件作答，則按所選的第一個條件給分)已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大?。?2)若c＝2且4sinAsinB＝3，求△ABC的面積．17．在①eq\r(3)sinB＝cosB＋1，②2bsinA＝atanB，③(a－c)sinA＋csinC＝bsinB這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并加以解答．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，若________，求角B的值與△ABC的面積．(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)18．在條件①btanA＝(2c－b)tanB，②cos2A＋2cos2eq\f(A,2)＝1，③eq\r(3)sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanA)＋\f(1,tanB)))＝2sinC中任選一個，補充到下列問題中，并給出問題解答．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，________，b＋c＝6，a＝2eq\r(6)．(1)求角A的值；(2)求△ABC的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19．在①eq\f(b,a)＝eq\f(cosB＋1,\r(3)sinA)；②2bsinA＝atanB；③(a－c)sinA＋csin(A＋B)＝bsinB這三個條件中任選一個